《数学归纳法》教学案例记学生核心素养的培养之路

王洪艳

在高考数学中，数列常常会涉及到数列的放缩，对于我们学校的学生，尤其是C层次的学生，大多数可能认为这类问题无从下手，有些学生遇到此类问题甚至会望而生却！为了鼓励学生，也为了学生不轻易放弃这类问题，本人特意研究了一下今年的高考大纲与往年的区别！研究发现，今年高考大纲对数学归纳法的要求大大增加，而数学归纳法恰好是解决此类问题的一种极为重要的方法。为此学生学会和学懂这种方法就显得极为重要。

课堂实录

1.课堂导入

师：请学生思考一下，问题1，如何验证？问题2是否正确？问题3应该是什么？

生：问题1，一个一个验证就好了……

教师趁机问道：那验证结果一定正确吗？生：当然正确了，一个一个验证的，肯定正确啊！

教师给予肯定，学生继续回答。生：问题2，我算得的结果是前四项都是1，但是通项……

有些犹豫，教师见状，给予学生提示，

师：请你算一下第五项是多少啊？生：是25，师：那这个通项对吗？生：不对！

师：非常好，那问题三你的猜想是什么？

生：我猜想是 。师：那这个正确吗？生犹豫：应该正确吧。师：你能证明吗？

学生摇头，教师给予肯定，并作总结及点评两种归纳法，即完全归纳法和不完全归纳法，而且讲解了两种归纳法的联系及区别！

教师提出问题：那么如果来解决不完全归纳法存在的问题呢？不完全归纳法归纳出来的结论是否正确呢？那么我们必须要寻找一种用有限个步骤就可以处理完无限个对象的方法，即数学归纳法。

教师板书点明课题。

设计意图：由学生知道的实例开始引入，可以使得學生对此产生兴趣，并不畏惧新课程。在旧的知识基础上提出新的疑问，也是引进新课程的方法之一，这样既可以回顾旧的知识，又可以使得学生联想到旧的知识和新的知识之间的关联，同时对本节课的内容产生期待。

由数列前几项的猜想通项公式，学生也意识到这种方法的残缺性，所以探求一种新的方法势在必行，也借此引出本节课的课题。

2.探究发现

师：请大家观察投影上的三个实例，边观察边思考，要想把纸抽内的纸都抽出来;鞭炮所有的都响;多米诺骨牌全都倒下，需要知道满足什么条件？

生：纸抽内纸都抽出来，只需要前面一张抽出来后，后面的也跟着出来就可以了;

要想使得鞭炮全都响，只需要前面一个响了，后面的也跟着响就可以了;多米诺骨牌也类似，只需要前一张倒下，后面的跟着倒下就可以了！

师：好，请同桌来说一下。

生：我觉得这三个事件都得满足第一个得发生。也就是说，第一张纸得抽出来，第一个鞭炮得响，第一张牌得倒下！

师：大家觉得说得有道理吗？生一同答道：有道理！师：那大家是不是得鼓励一下啊！班级响起掌声！

师：那么现在谁能把这三个生活中的实例抽象出数学表达呢？

生：（1）证明当n=1时命题成立，

（2）假设当n=k（k ∈ N+，k≥ n0）时命题成立，

证明当n=k+1时命题也成立。

师：非常棒！但是大家想一下，第一项就一定是n=1吗？

教师见有的学生摇头，所以就提问摇头的学生，

生：应该把第一条改为：证明当n取第一个值n0时命题成立。

师：很好！两位同学说出了这节课的中心，即数学归纳法证明的步骤，现在老师将它补充完整！即两个步骤一个结论。

师：数学归纳法也正是解决这类与自然数有关的证明题的一种重要的方法。

设计意图：类比思想是高中数学常用的一种思想方法，将生活中的实例类比到数学方法中，也让学生意识到数学来源于生活而高于生活。

数学抽象也是高中数学学科素养之一，将生活中的实例，抽象成数学方法，这样可以引起学生的高度兴趣。

教学反思

本节课是高中选修2-3的内容，对学生难度较大，但作为第一课时，个人认为这样处理还是比较合理，比较到位的。

由于学生基础较差，所以这里的难度就显得更大一些，但从课堂表现来看，本节课收到的效果还是不错的，我觉得主要表现如下：

1.数学建模思想是高中数学学科素养比较重要的一种思想之一。本节课从生活

实例出发，回归自然，让学生观察发现，得到自己认为比较好的事实结论，再将事实结论归纳总结到数学方法，这正是体现了这种数学建模思想。另外，这样不仅可以引起学生的兴趣，又可以活跃课堂气氛，使得学生有“话”可说，打破了传统的教师讲，学生听的教学。

2.运用类比的思想，将一些类似的事物类比到数学思想方法上，这样更容易理解，

也更容易让学生接受，不会感到陌生，让学生在和谐轻松的状态下学到新的知识是很好的一种教学手段。

3.本节课以学生为主，教师通过适当的引导，使得学生真正理解数学归纳法的本

质及来源，并能够利用数学归纳法解决一些与自然数相关的数学问题。

4.学会配凑是本节课的一个难点，将n=k+1时的条件配凑成n=k时的结论是学生很难理解，很难实施的一个步骤，然而教师运用一问一答的手段，轻松克服了这个难点。

5.本节课师生对话很多，教师不吝啬自己的鼓励，基本上学生的每一个回答都得到了教师肯定及表扬，这也使得课堂气氛活跃很多。

总之，本节课既能体现高中数学学科素养的培养，又能感受到课堂轻松愉快的氛围，让学生在轻松的氛围中学到新的知识是本节课的最大成功之处。