一维Zakharov-Rubenchik方程的有效紧致差分格式

胡云霞 李宏伟

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

考虑在一个有界区域Ω=(a,b)上的一维Zakharov-Rubenchik方程(ZR方程)的高阶紧致有限差分格式：

(1)

ρt+(u-vρ)x=-κ(|B|2)x,x∈(a,b),t∈(0,T],

(2)

(3)

并带有如下初值及周期边界条件：

(4)

目前，关于ZR方程数值解法的研究工作较少. 2011年，王廷春教授和郭柏灵教授研究了一维非线性薛定谔方程两种守恒紧致差分格式的无条件收敛性. 2014年，Zhao和Li[5]提出并研究了求解一维ZR方程的几种数值方法，包括守恒型和非守恒型时域有限差分方法. 2018年，王廷春教授和张鲁明教授等人[6]发展了两种数值方法来近似求解ZR方程，包括用于空间离散的有限差分积分傅里叶伪谱方法和对于时间积分的指数波积分傅里叶伪谱方法. 张鲁明教授等人[7]提出了Zakharov方程的紧致差分格式，这是ZR方程中v=0时的一个特例，Zakharov系统的一些重要求解方法在文献[8]中也得到了很好的研究. 纪兵权教授和他的合作者[9]于2019年提出了一维ZR方程的守恒紧致Crank-Nicolson格式，这是一种隐式非线性格式，其在误差精度上保持了O(τ2+h4). 正如人们所知，保持原微分方程的一些守恒性质是判断一种数值模拟方法成功与否的一个重要标准. 目前有众多学者致力于研究各种偏微分方程的紧致差分格式，详见参考文献[10-15].在此，文章的目的是构造和分析ZR方程(1)-(4)的半隐式守恒紧致差分格式.

文章的结构如下. 在第二部分，提出了一种半隐式高阶紧致有限差分格式，并证明了该格式的无条件稳定性和离散层次上的守恒定律. 最后，在第三部分中提供了一些数值算例，来验证文中格式的高阶精度及其符合离散守恒定律，从而证明所提出的数值格式的有效性和准确性.

2 紧致有限差分格式及其守恒定律

此处Μ和Α是保持差分格式在空间层次四阶精度的两个紧致差分算子.设Zh={s|s=(s-1,s0,…,sJ),s-1=sJ-1,s0=sJ}表示区域[a,b]上一系列网格函数s组成的空间. 对于空间Zh中的任意函数s和w，定义以下离散形式的内积和范数：

在结点(xj,tn)处考虑微分方程(1)-(3)，将算子Μ和Α分别作用方程(1)-(3)，得到关于ZR系统(1)-(4)的如下半隐式紧致有限差分格式(SICFD)：

(5)

(6)

(7)

其中，0≤j≤J-1 ， 1≤n≤N-1，注意到初边值条件(4),可得

(8)

(9)

(10)

(11)

其带有同(8)的初边值条件. 当n=0时，利用CNCFD方法的线性迭代算法可以得到第一层的数值，这里SICFD和CNCFD方法的截断误差均为O(τ2+h4).

引进如下J×J维矩阵:

SICFD格式(5)-(7)可以写成矩阵形式：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中1≤n≤N-1.

为了分析当前SICFD格式(5)-(8)的守恒性质，先介绍一些相关引理.

引理1[15]对于任何实值对称正定矩阵GJ×J及∀vn∈Zh(n=1,2,…N-1),有

其中Im(w)与Re(w)分别表示w的虚部与实部，G=RRT，R是通过对G进行Cholesky分解得到的矩阵.

引理2对于∀v,w∈Zh,关于内积有如下的等价关系：

(δxv,w)=-(δxw,v).

(18)

证关于此引理的证明，通过分部求和公式的简单推导，直接可以得到结论.

引理3对于∀vn,wn∈Zh,存在如下法则：

δt(vnwn)=wnδtvn+vnδtwn,n=1,2,…,N-1.

(19)

证考虑(19)式中右端项,有

从而引理得证.

定理1SICFD格式(5)-(8)满足两个量恒定不变

(20)

(21)

证将方程(6)对j从0到J-1求和，根据边界条件(8)，直接可得

所以

(22)

同样，考虑方程(10)中当n=0时，对j从0到J-1求和，根据边界条件(8)，有

(23)

综合(22)式与(23)式，直接有

(24)

定理2SICFD格式(5)-(8)在离散层次上满足质量和能量的守恒定律：

(25)

(26)

证首先,同时对(15)式两端与(Bn+1+Bn-1)作内积,然后两边取虚部,有

(27)

应用引理1得

(28)

Mn+1=Mn-1,n=1, 2 , … ,N-1.

(29)

对于CNCFD格式中的(9)式(当n=0时)，通过与(29)式相同的证明方法可以得到类似结论M1=M0，结合(29)式，则有

Mn=M0,n=1 , 2 , … ,N.

(30)

现在，对(15)式两端同δtBn作内积，然后两边取实部，有

(31)

根据引理1有

(32)

再由引理3,可得

(33)

现在考虑(33)式右端中的第二项，根据(16)式和(17)式及引理2，有

(34)

对比En的定义形式，综合(32)-(34)式易得

En+1=En-1,n=1 , 2 , … ,N-1.

(35)

同理，对于CNCFD格式(8)-(11),可以得到类似的守恒性质：

En+1=En,n=0 , 1 , … ,N,

(36)

故E1=E0. 因此，

En=E0,n=1 , 2 , … ,N.

(37)

3 数值结果

在本节中，通过对ZR方程的数值算例进行误差分析，得到SICFD和CNCFD两种格式的数值解与精确解的L2误差、收敛阶及守恒性质，从而验证SICFD格式的稳定性和有效性.

例1ZR方程(1)-(4)有如下的孤子解：

(38)

其中

x0与θ0为常数，分别代表t=0 时刻孤子波在空间和相位上的变化. 通过(38)式中t=0 时取得初值条件

B0(x)=B(x,0) ,ρ0(x)=ρ(x,0) ,u0(x)=u(x,0).

(39)

定义t=tn时的L2误差为

eB(tn)=‖Bn-B(tn)‖L2,eρ(tn)=‖ρn-ρ(tn)‖L2,eu(tn)=‖un-u(tn)‖L2,n≥0.

现取(38)式中参数

ω=κ=v=c=η=1 ,β=7 ,x0=2 ,θ0=0 ,

计算区域Ω=[a,b]=[-24,24].

为了分析L2误差在空间和时间层面上的收敛性，我们选择固定时间步长和空间步长分别为τ=0.000 1和h=0.001. 更准确地说，表1和表2列出了当T=2时，SICFD方法在不同网格尺寸下的L2误差和相应的收敛阶. 从这两个表可以看出，本文提出的紧致差分格式(SICFD)在空间上保持了四阶精度，在时间上保持了二阶精度. 表3是用来比较SICFD和CNCFD格式的L2误差和CPU时间的，从这个表中我们可以看出，两种方法在相同的网格大小和时间步长下具有几乎相同的L2误差，但是SICFD方法比另一方法消耗的时间要少得多. 所以我们更倾向于选择SICFD方法作为一种较好的紧致差分格式来求解ZR方程. 图1显示了用SICFD方法(5)-(8)计算时Mn的守恒性(当h=0.1 ,τ=0.01)，从图1可以看出，SICFD方法很好地模拟了守恒性质，同时也验证了定理2中的定律.

表1 当T=2,τ=0.000 1时,SICFD格式在不同空间剖分h处的误差及收敛阶

表2 当 T=2 , h=0.001 时,SICFD格式在不同时间剖分τ处的误差及收敛阶

表3 当 T=2 时,SICFD格式在不同剖分下的误差及CPU的运行时间

图1 SICFD格式的数值和精确Mn的对比

4 结 论

为了更有效求解一维Zakharov-Rubenchik问题，本文设计了一种半隐式紧致差分格式，该格式所需网格点少，离散精度高，省时高效.文中分析了该方法的几个守恒定律和数值稳定性．通过数值算例比较了与其他差分方法的误差及计算耗时，结果表明了该方法的高阶收敛性及有效性．该格式的无条件稳定性和离散层次上的守恒性说明了此种半隐式紧致差分格式的可行性，为非线性方程在数值计算方面的研究提供了一种良好的方法.