构造双偶数n = 4m阶空间最完美幻立方的方法

詹 森，王辉丰

（1.广东技术师范大学 计算机科学系，广东 广州 510665；2.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

文献[1-5]讨论了关于空间幻立方的问题，其中文献[1]给出SCE双偶数阶空间中心对称幻立方的构造方法。在此基础上，本研究将文献[5]给出的在平面上构造最完美幻方推广到构造空间最完美幻立方，进而讨论双偶数n = 4m（m为正整数）阶空间最完美幻立方的构造方法。

空间最完美幻立方[2，4]的定义如下。

本研究中相关方阵元素的记号与文献[1]的a(k,i,j)、b(k,i,j)、d(k,i,j)、e(k,i,j)等相同，再在其相关记号的顶端加*号，如基方阵、元素a*(k,i,j)。

1 构造n = 4m(m为正整数) 阶空间最完美幻立方的步骤

2 定理及证明

定理 立方阵D*是一个双偶数n = 4m(m为正整数)阶空间最完美幻立方。

证明 分4步证明如下。

所以，立方阵D*的4条空间对角线及与其同方向的泛对角线上相隔2m个位置的两个数字是对称的，从而其上n个数字之和都等于幻立方常数。

第三步 每个截面可分割成4个2m × 2m的正方形，在每个正方形内中任意选取一个2 × 2小正方形(包括跨边界的小正方形)，其中4个数字之和都等于2(1+ n3)。

第四步 证立方阵D*的n2条纵列上n个数字之和都等于幻立方常数。

分如下4种情况计算。

（1）当k = 1,2,…,2m，i = 1，j = 1,2,…,2m时，

对k = 2h + 1，h = 0,1,…,m - 1，有

j = 2s+ 1，s= 0,1,…,m - 1，有

得到

对k = 2h + 1，h = 0,1,…,m - 1，j = 2s，s= 1,2,…,m，有

得到

对k = 2h，h = 1,2,…,m，有

j = 2s+ 1，s= 0,1,…,m - 1，有

得到

对k = 2h，h = 1,2,…,m，j = 2s，s= 1,2,…,m，有

得到

（2）当h = 2m + 1,2m + 2,…,4m，i = 1，j = 1,2,…,2m时，