考虑后悔规避的灰色群体偏离靶心度决策方法

钱丽丽，刘思峰，邓桂丰

(1.南京航空航天大学经济与管理学院，江苏 南京 210016；2.上海立信会计金融学院统计与数学学院，上海 201209)

1 引言

灰靶决策模型是灰色系统理论中的重要内容，自邓聚龙教授[1]最早提出灰靶概念以来，灰靶决策[2]不仅在经济管理、军事决策、石油开发等众多领域被广泛应用，而且其理论本身也得到了很大的发展。目前关于灰靶决策的研究主要集中在以下四方面的工作：①优化研究方法。文献[3]构造了4种新型一致效果测度函数，充分考虑目标效果值中靶和脱靶两种不同情形，建立了一种新的多目标加权灰靶决策模型；文献[4]考虑到决策指标间的相关性、重要性差异以及不同量纲对决策结果产生的影响，引进加权马氏距离对传统灰靶决策方法进行了改进；文献[5]构造了基于非线性函数的强“奖优罚劣”算子，进一步扩大了指标间的区分度，从而提高了决策质量。②拓展研究范围。由于环境的复杂性以及人类认识的局限性，决策信息往往表现出不确定性或灰性，人们对灰靶决策信息的研究也从实数不断延伸拓展到区间数、区间灰数、三参数区间灰数以及直觉模糊数等，且不少研究者在拓展建模对象的同时也不断优化了灰靶决策的建模方法。文献[6]首次将灰靶决策模型由实数序列拓展到区间数序列，建立了区间数多指标灰靶模型；文献[7]则专门针对决策对象众多的多属性决策问题建立了基于样本集的区间数灰靶分类决策模型；文献[8]针对属性值为区间灰数的情形建立了正、负靶心灰靶决策模型，使决策更加全面合理，提供了灰靶模型发展的新视角；文献[9]在研究区间灰数距离计算方法的基础上，通过比较指标集中各指标值与靶心连线所围成图形(蛛网)面积大小对方案进行判断，在一定程度上弱化了指标异常值对灰靶决策的影响；文献[10]从备选方案当前状态和未来发展趋势两方面考虑，提出了基于区间灰数的动态灰靶决策方法；文献[11-13]则分别针对区间灰数型面板数据、三参数区间灰数以及直觉模糊数构建了相应的灰靶决策模型。③融合行为科学。在研究方法不断优化以及研究范围不断拓展的基础上，众多学者在决策过程中进一步考虑融入决策者的风险态度和心理行为。文献[14]将前景理论与灰靶决策方法相结合，定义正负理想靶心以及前景价值函数，构建基于区间数的方案综合前景值最大化的优化模型；文献[15]定义了区间灰数的距离测度和排序方法，针对区间灰数的风险型动态决策问题，建立了基于累积前景理论的正负椭球灰靶模型；文献[16]则将决策者的后悔心理融入决策过程中，建立了基于后悔理论的多目标灰靶决策方法。④集结群体意见。文献[17-18]分别针对信息值为区间灰数、三参数区间灰数的情形，在确定决策者权重后，按照方案的综合前景值对方案进行排序；文献[19]考虑群体决策中决策者评价信息的差异程度，提出相应的类别加权算子，建立了具有多个靶心的环形灰靶决策方法；文献[20]在权重信息不完全的情境下基于多粒度语言信息提出了多阶段灰靶决策方法并将其推广至群决策模型中；文献[21]则提出了灰色多属性的偏离靶心度群体决策模型。

目前，灰靶决策在方法优化、对象拓展以及科学行为融合方面都比较成熟，而关于群体灰靶决策的研究尚处于起步阶段。在实际中，由于决策问题的复杂性以及单个决策者自身的限制，如何有效集结群体专家的评价信息显得尤为重要，因此群体灰靶决策值得深入研究，研究的视角也可多样化。文献[21]就是首次引入了群体正负靶心的概念，建立了群体偏离靶心度矩阵，利用各群体偏离靶心度的大小对各方案的优劣进行判断，其基本思想是“群决策的结论应尽量接近所有成员最理想方案，越接近群体正靶心而同时又远离群体负靶心的方案越优”[21]。本文认为，群体正负靶心的构造能够体现群体意见的集结，群体偏离靶心度对于群体灰靶决策是一个有益的尝试。然而，文献[21]也有不足之处：(1)决策者的权重向量是已知的、确定的。群决策中专家权重的确定是重点也是难点，权重值会影响决策结果的科学性。文献[21]直接给定了专家权重，这种处理方式没有考虑决策问题本身含有的信息对权重赋值的影响，不够客观；(2)对区间灰数的运算处理在很大程度上都是借鉴了区间数的运算规则，未能体现区间灰数的特征和本质；(3)没有考虑未来自然状态的不确定性，同时也没有考虑决策者的风险态度和心理行为，而决策者们对方案主观上的风险偏好及心理因素对决策结果有直接影响。另外，纵观关于群体灰靶决策的文献，尽管文献[17-18]已考虑了决策者的心理行为，将前景理论引入决策过程中，但由于计算中有不少未知参数，且一般需要决策者事先确定参照点信息，使得应用有些不方便。在此背景下，由文献[22-23]提出的后悔理论引起广泛关注，其在各类决策问题中得到了充分应用[24-31]。文献[24-31]一致认为，融入后悔理论的计算过程涉及的参数相对较少，且决策者不需要事先给定参考点，在应用上比前景理论有优势。但目前还没有文献将后悔理论融进风险型群体灰靶决策模型中。

基于此，本文尝试将后悔理论引入到信息值和状态概率均为区间灰数的风险型多指标群体决策过程中，通过建立决策者的综合灰色感知效用矩阵引入灰色偏离靶心度的概念，由此构建群体正负靶心灰靶决策模型；在专家权重未知的背景下以灰色群体偏离靶心度综合值最大化为目标、并依据极大熵原理构建优化模型，求解最优权重向量，得出各方案的灰色群体偏离靶心度并进行排序；最后运用本文所提方法分析解决了一个新产品投资方案选择的案例，说明该模型的实用性。

2 考虑后悔规避的群体灰靶决策方法

2.1 问题描述

(1)

现欲对上述群体决策问题确定最佳方案。

决策过程中会涉及区间灰数的运算和排序，关于具体运算规则和排序方法可参见文献[27]，这里不再重复列述。

由于各指标具有不同的量纲，为便于直接比较，需要将原始数据进行规范化处理。

对于效益型指标值和成本型指标值，可分别采用上限效果测度和下限效果测度

(2)

(3)

由此可得决策者Mk在状态St下的规范化灰色决策矩阵

(4)

以及加权规范化灰色决策矩阵

(5)

其中

(6)

2.2 后悔理论在群体灰靶决策中的应用

后悔理论最早由Bell[22], Loomes 和Sudgen[23]分别独立提出，它们的表现形式不同，但思想相同，都认为在决策过程中决策者会将其选择方案获得的结果与其他方案可能获得的结果进行比较，因而产生后悔和欣喜两种心理，且试图避免选择会使其后悔的方案，即决策者是后悔规避的[25]。本文依据经典的后悔理论，研究如何将决策者的后悔规避心理融入到群体灰靶决策过程中。

文献[27]已针对区间灰数情形给出了灰色效用函数、灰色后悔-欣喜函数以及灰色感知效用函数的定义，并分别采用幂函数v(x)=xα(0<α<1)、R(Δv)=1-exp(-δΔv)(δ>0)表示效用函数和后悔-欣喜函数。这里α和δ分别表示决策者的风险厌恶系数和后悔规避系数；α越小，表示决策者的风险厌恶程度越大；δ越大，表示其后悔规避程度越大。Δv则是关于两个方案结果效用值之差的变量，可证若Δv0>0，则有|R(-Δv0)|>R(Δv0)，这表明决策者对-Δv0的心理感知比对Δv0更加敏感[24-25]。与欣喜这种正面情绪相比较，后悔作为一种负面情绪对效用的影响更强。

由此，在状态St下，决策者Mk对方案Ai关于指标Bj的灰色感知效用函数可表示为

(7)

这里

(8)

从而可建立决策者Mk的综合灰色感知效用矩阵为

(9)

(10)

为决策者Mk的灰靶决策的最优效果向量，称为Mk的灰色正靶心。

(11)

为决策者Mk的灰靶决策的最劣效果向量，称为Mk的灰色负靶心。

定义3 决策者Mk对方案Ai的灰色正靶心距为

(12)

定义4 决策者Mk对方案Ai的灰色负靶心距为

(13)

定义5

(14)

称为决策者Mk对方案Ai的灰色偏离靶心度。

2.3 群体正负靶心灰靶决策

现有l个决策者，依据定义5建立灰色偏离靶心度矩阵如下：

(15)

+S(⊗)={+s(1)(⊗),+s(2)(⊗),…,+s(l)(⊗)}

(16)为群体灰色正靶心。

-S(⊗)={-s(1)(⊗),-s(2)(⊗),…,-s(l)(⊗)}

(17)

为群体灰色负靶心。

设决策者的权重向量为L={λ1,λ2,…λl}

定义8 方案Ai关于群体灰色正靶心的灰色正靶心距为

(18)

定义9 方案Ai关于群体灰色负靶心的灰色负靶心距为

(19)

定义10 称

(20)

为方案Ai的灰色群体偏离靶心度。

εi(⊗)越大，说明方案Ai离群体正靶心越近，同时离群体负靶心越远，从而Ai越优。

2.4 决策者权重的确定

(21)

2.5 方法步骤总结

步骤1 依据文献[27]将原始数据信息转化为“核”和灰度的区间灰数形式，并由式(2) (3) (4)得到每个状态下的各决策者的规范化灰色决策矩阵。

步骤2 确定决策者关于指标值权重向量的标准区间灰数形式，由式(5) (6)得出各状态下各决策者的加权规范化灰色决策矩阵。

步骤3 根据式(7) (8) (9)，建立各决策者的综合灰色感知效用矩阵。

步骤4 根据式(10) - (14)，计算各决策者对各方案的灰色偏离靶心度，并由式(15)建立灰色偏离靶心度矩阵。

步骤5 根据式(16) - (19)，计算各方案关于群体灰色正负靶心的靶心距，再由式(20)得出各方案的灰色群体偏离靶心度的表达式。

步骤6 据式(21)建立目标优化模型，计算出最优权重向量并代入式(18)-(20)，求出各方案的灰色群体偏离靶心度的具体值并进行排序。

3 算例分析

某公司欲投资开发一种新产品，根据考察的情况拟定了3种开发方案，考虑的指标主要包括销售量B1、市场占有率B2、开发成本B3等三方面。而未来经济形势、市场环境不确定，“好”“中”“差”的概率分别为区间灰数[0.4,0.6]、[0.4.0.5]、[0.1,0.3]。现公司邀请了三位专家Mk(k=1,2,3)对这三个方案Ai(i=1,2,3)进行评估决策。根据公司提供的数据资料，专家们的评估值具体可见表1。三位专家对三个指标的区间灰数权重向量分别为：[0.5,0.7]、[0.3,0.4]、[0.5,0.6]；[0.6,0.8]、[0.3,0.5]、[0.4,0.5]；[0.5,0.7]、[0.4.0.5]、[0.4,0.6]。现欲选出最佳投资开发方案。

表1 风险决策矩阵

步骤1设销售量B1、市场占有率B2、开发成本B3的论域[27]分别为[0,30]、[0,20]、[80,130]，由此将原始区间灰数转化为“核和灰度”的简化形式，并对效益型指标B1、B2和成本型指标B3，分别采用上限效果测度和下限效果测度规范化处理后，得三种状态下三位专家的规范化灰色决策矩阵

步骤2将三位专家对三个指标的区间灰数权重向量转化为“核和灰度”的简化形式：

ω(1)(⊗)=(0.40.2,0.230.2,0.370.2)

ω(2)(⊗)=(0.450.2,0.260.2,0.290.2)

ω(3)(⊗)=(0.390.2,0.290.2,0.320.2)

由式(5)，得三种状态下三位专家的加权规范化灰色决策矩阵

步骤3依据文献[33][25]，分别构造效用函数v(x)=x0.88、后悔-欣喜函数R(Δv)=1-e-0.3Δv，并将市场“好”“中”“差”的概率转化为“核和灰度”的形式0.440.2、0.390.2、0.170.2。由式(7) (8) (9)，得三位专家的综合灰色感知效用矩阵如下：

U(1)(⊗)=

U(2)(⊗)=

U(3)(⊗)=

步骤4由式(10) - (13)计算出三位专家的灰色正靶心和灰色负靶心，以及对方案的正靶心距和负靶心距，由此依据定义5建立灰色偏离靶心度矩阵如下：

步骤5由式(16)(17)分别得出群体灰色正靶心和群体灰色负靶心

+S(⊗)={0.560.5,0.610.5,0.590.5}

-S(⊗)={0.440.5,0.320.5,0.460.5}

再由式(18)(19)计算出三个方案关于群体正靶心的正靶心距和关于群体负靶心的负靶心距，由此根据定义10得三个方案的灰色群体偏离靶心度如下：

ε1(⊗)=

ε2(⊗)=

ε3(⊗)=

步骤6建立目标优化模型

这里取μ=0.5，利用matlab软件求解上述模型，可得专家权重最优解

0.3660)

代入式(20)，可得三种方案的灰色群体偏离靶心度，具体值见表2。

表2 各方案结果表

按照区间灰数大小排序规则[27]可知，方案A1最优，且大幅度优于A2,A3，应选择方案A1。

本文的方法能够反映决策者的后悔规避的心理行为和风险规避的风险态度，构建了融入科学行为情境下的群体灰靶决策模型，较好地解决了风险型多指标群决策问题。同时采用定量化的、客观的方式求解专家权重，实现了主观与客观的结合和统一。

4 结语

本文针对信息值和状态概率均为区间灰数的风险型多指标群决策问题，提出了一种基于后悔理论和区间灰数信息的群体偏离靶心度决策方法。在考虑区间灰数本身信息特征的基础上，将决策者的后悔规避的心理行为融入到决策过程中，建立了灰色偏离靶心度矩阵；结合极大熵原理，以灰色群体偏离靶心度综合值最大化为目标构建模型求解最优专家权重，并对方案进行排序。本文所提方法引入了群体灰色正负靶心、灰色群体偏离靶心度的概念，同时也融入了决策者的科学行为心理，为群体灰靶决策模型提供了新的途径和视角。