构建几何模型，突破平面向量难点问题

◇ 福建 林良斌

高中的向量问题兼具了数与形的两个特征，数是通过代数运算求解，形则更需几何观察.本文将从形的角度出发，通过构建几何模型，实现多思少算，提高向量问题的解题效率.

1 构造向量减法的三角形模型

从同一点出发的两个向量a，b，它们的差a－b是向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，通过向量减法的几何意义，我们可以把一些相关问题转化为三角形问题来解决，使代数问题几何化，解题更加直观和简单.

如图1所示构造三角形，由于(a－b)⊥b，则该三角形为直角三角形，又因|a|＝2|b|，所以a 与b 的夹角为.

图1

对比代数方法的解答过程，通过构建向量减法的几何模型，只需作图观察，问题的解决变得一目了然，省去了代数计算的烦琐.

如图2 所示，对任意的实数λ，当|a－λb|取到最小值时，(a－λb)⊥λb，此时，|a|＝2，|a－λb|＝，所以|λb|＝1.又因为|b|＝1，所以λ＝±1.

图2

在减法模型的基础上加上变量λ，使向量aλb 的起点在向量b 所在直线上滑动，形成一个动态模型，由于垂线段的长度最短，所以能轻易破解题目的难点，减少了构造函数求最值的过程.

2 构造圆的模型

圆的定义就是到定点距离等于定长的所有点的集合，若一个向量a 的模|a|为定值，并且固定其起点，那么终点的轨迹就是一个圆.

图3

在减法模型的基础上，这里向量差的模是一个定值，如图3，向量m 的终点轨迹构成了一个圆，利用圆上的动点到圆外一点的距离最大值结论来解决问题.

3 构造平行四边形对角线模型

向量的加减运算包含很多平面图形的性质，把向量a，b 的和与差求平方和，会得到这两个向量模的平方和的2倍，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，利用这一性质可以把问题几何化，使问题更加直观.

由于|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝10.

图4

令x＝|a＋b|，y＝|a－b|，所以x2＋y2＝10(x，y≥1)，其图象为一段圆弧MN，如图5所示，令z＝x ＋y，则y＝－x＋z，所以当直线y＝－x＋z 过M，N两点时，z 取最小值是4.当直线y＝－x＋z 与圆弧MN 相 切时，z 最大.

图5

平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，这个几何模型的运用将原来的问题转化成了线性规划问题来解决，更为简便.

4 构建向量数量积的几何模型

两个向量a，b 的数量积a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，其中|b|cos〈a，b〉就是向量b 在向量a 方向上的投影，利用这个模型可以将一些复杂的问题简单化.

图6

所以

利用向量数量积的几何模型，特别是在直角三角形中，如图7，直角△ABC中有成立，通过这样的模型转化，把复杂的数量积运算过程变得很简单.

图7

如图9所示，延长AO交圆O 于点D，连接BD，CD，所 以 ∠ABD ＝∠ACD＝90°.

图8

图9

所以

本题如果从代数角度考虑将难以入手，这里考虑几何模型，延长半径构造出以圆的直径为斜边的两个直角三角形，从而构造出数量积的几何模型.

综上所述，向量的综合题往往难度比较大，学生往往习惯用代数方法和几何方法进行求解.代数法，由于计算复杂，很多学生都陷入无休止的计算中.掌握几种常见的向量几何模型，既能有效帮助学生掌握几种基本的方法，摆脱烦琐的计算，又能使他们在这几种模型的处理方法上举一反三、触类旁通，在解决问题时有另一种思路或者选择.