浅谈导函数隐零点范围的估计策略

◇ 江西 李树森

利用导数研究不等式，需要构造函数，将所研究的问题转化为函数的最值来处理，在求函数的最值时，常常需要确定导函数的零点，有时会碰到导函数有零点但求解其零点比较困难的情况，此时称此零点为隐零点.虽然将这个零点虚设出来，通过整体代入能简化函数并研究其函数值的范围，但有时需要将这个零点的范围较为精准地进行估计，才能达到解决问题的目的，因此如何确定隐零点的范围，成为解决问题的关键.本文从解不等式、目标函数反解、二分法、放缩法、利用单调性等角度介绍其范围的估计方法.

1 构造隐零点的不等式求解隐零点的范围

分析问题转化为fmin(x)≥0，因此研究导函数，利用零点存在判定定理判断导函数零点存在，但求解困难，通过虚设零点，将其零点与参数a 之间的关系整体代入，简化函数，根据条件构造含零点的不等式，通过解不等式确定零点的范围，最后利用函数思想可以求解参数a 的范围.

解由已知条件可得fmin(x)≥0，且

令φ(x)＝aexx2－(a＋1)(a＞0)，则

当x∈(0，＋∞)，φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，又φ(0)＝－(a＋1)＜0，而

当x∈(0，x0)时，φ(x)＜0，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)上为减函数；

当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)＞0，f′(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上为增函数.

又因为φ(x)＝aexx2－(a＋1)在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x0≤1，所以0＝φ(x0)≤φ(1)，由0≤φ(1)，可得

利用零点存在判定定理，判定零点的存在，找到隐零点x0与参数a 的关系aex0＝，将其整体代入函数中，简化目标函数得，从而构造了隐零点x0的不等式，解出零点的范围，这即为所求的隐零点的范围.

2 通过隐零点代换，利用多项式函数的临界值反解出隐零点的边界

分析解决不等式f(x)＞kx 恒成立，可以通过分离参数，得到构造函数将问题转化为求目标函数g(x)的最小值(最小值的取值范围)，借助导数，判断导函数g′(x)存在零点，此零点不易求解，再通过虚设零点，利用零点的关系整体代入，求出函数g(x)的最小值，其值不是一个具体的数，需要估计零点的精确的范围，将其最小值的范围限定在一个很小的范围内，从而确定整数k 的最大值.

解当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞kx 恒成立，等价于当x∈(1，＋∞)时，恒成立.

因此当x∈(1，m)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，则g(x)在x∈(1，m)上单调递减；当x∈(m，＋∞)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，则g(x)在x∈(m，＋∞)上单调递增.所以当x∈(1，＋∞)时，

3 利用二分法估计隐零点的范围

分析由题意函数有2个零点，可转化为研究函数y1＝－k 与函数y2＝2xe－x－ex的图象有2 个交点，即研究函数y2＝φ(x)＝2xe－x－ex的单调性和极值的范围，通过求导得φ′(x)＝e－x(2－2x－e2x)，此函数的零点不易求解，故可虚设零点，整体代入，预设存在零点的一个范围，利用二分法，将零点存在的区间逐步缩小，以便准确求出极值的范围，顺利寻找到满足条件的整数k的最小值.

解由题意函数g(x)有2个零点，可转化为函数y1＝－k 与函数y2＝2xe－x－ex的图象有2个交点，令φ(x)＝2xe－x－ex，则

当x∈(－∞，x0)，h(x)＞0，即φ′(x)＞0，所以φ(x)在(－∞，x0)为增函数；当x ∈(x0，＋∞)，h(x)＜0，即φ′(x)＜0，所以φ(x)在(x0，＋∞)为减函数.

在判断隐零点的范围时，我们常在预判的过程中将范围扩大，借助“二分法”思想，将其范围一分为二，重新确定一个新的有解范围，直至将隐零点精确在一个很小的范围内，往往能够达到解题的目的.在本题中，开始预设零点x0∈(0，1)，发现函数的极大值范围较大，通过“二分法”将其零点x0缩小到一个小的区间(0，)，此时函数φ(x)的极大值φ(x0)∈(－，－1)，从而确定了符合条件的最小整数k.其实二分法思想是一种逼近的思想，最终将零点控制在一个精准的范围内.

4 放缩函数，通过解不等式确定零点的边界

分析证明不等式f(x)＜ex－x2－3x＋1，可构造函数g(x)＝xlnx＋ex－x2－2x，研究其最小值，通过求导得g′(x)＝ex＋lnx－x－1，此零点不可求，虚设零点，整体代入得g(x0)＝(x0－1)lnx0－再确定零点的范围，即可证明.

解设g(x)＝xlnx ＋ex－x2－2x，则g′(x)＝ex＋lnx－x－1，g″(x)＝ex＋－1，因为x＞0时，g″(x)＝ex＋－1＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上为增函数，又因为

即

本题在不等式证明过程中，通过构造函数，并且运用了两次求导，利用零点存在定理判定了零点的存在，通过虚设零点、整体代换进行求解.其中取点估算是此题的难点，本题中通过对代换后的目标函数g(x0)＝(x0－1)lnx0－(x0＋1)2＋分析，要证明g(x0)＞0，注意到(x0－1)lnx0＞0，将目标函数放缩得g(x0)＝(x0－1)lnx0－(x0＋1)2＋，通过解不等式－(x0＋1)2＋，得到零点的一个边界点－1，通过计算确定隐零点类似本题中运用放缩法取点，在近几年的高考中常常考查.

5 构造隐零点的等量关系，利用函数的单调性确定隐零点的范围

分析为了研究函数f(x)的最小值，可借助导数工具.f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x＋1)，利用零点存在判定定理判定零点存在，发现此导函数零点求解很困难，需要虚设此零点，整体代换，简化目标函数.但是为了求出函数f(x)的最小值g(a)的值域，此时需要准确确定隐零点的范围，利用隐零点x0与a 之间的关系，利用函数思想，确定函数的单调性，借助反解出零点的范围，从而求出函数g(a)的值域.

解因为f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x＋1)(x＞0)，令φ(x)＝f′(x)，则φ′(x)＝xex＋2a＞0，则f′(x)在(0，＋∞)上为增函数，f′(0)＝2a－1＜0，f′(1)＝4a＞0，故∃x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，即(x0－1)ex0＋2a(x0＋1)2＝0，即

又因f′(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f′(x0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，x0)上为减函数；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)在(x0，＋∞)上为增函数.又因为，令得，即h(x)在(0，1)为减函数，又因为h(0)＝，h(1)＝0，

所以0≤x＜1，即0≤x0＜1，所以

这是一道比较复杂的导函数零点不可求的问题，这种题的解题通法是先利用零点存在原理，找出零点x0的大致区间，再绕开x0的具体值，转而判断导函数在这个区间的单调性，同时借助f′(x0)＝0整体代换，进而将问题化繁为简.本题之所以比较复杂，就是因为本题设置了一个参数0＜a≤，通过这个参数的取值范围使得零点精确的范围原形毕露，为求最小值的值域立下了汗马功劳.

处理函数与不等式问题，常常需要研究导函数的零点，这是处理不等式问题的关键之处，解题时先利用零点存在判定定理，预设出零点存在的范围，虚设此零点，整体代换简化目标函数.预设的零点在研究最值(极值)范围过大时，往往需要将零点的范围进一步缩小.若遇到隐零点的关系式无参数时，常常利用“二分法”思想将范围缩小，或者借助目标函数的临界值反解出零点的边界点，并验证该边界点的函数值的正负号，将零点范围缩小；遇到参数时，往往需要借助参数与隐零点之间的关系，将问题转化为函数问题，利用函数的单调性，来估算其范围.确定范围的方法有很多，在研究问题时需要同学们灵活多变，才能轻松破解此类问题.