行星轮安装孔周向位置误差对行星轮系振动特性的影响研究

王鑫磊, 项昌乐, 李春明,3, 平思涛

(1.北京理工大学 机械与车辆学院，北京 100081；2.中国北方工业有限公司，北京 100053；3.中国北方车辆研究所，北京 100072；4.重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044)

0 引言

行星齿轮传动作为高功率小体积的机械传动系统，在国防、能源、交通运输等行业广泛应用。但是，因行星传动结构及内部激励复杂，其振动机理尚未完全解明。有资料显示，行星轮安装孔周向位置误差作为行星轮系齿轮啮合的内部非线性激励，是导致齿轮早期失效的重要因素之一。因此，研究行星轮安装孔周向位置误差的动力学建模和振动特性，具有重要的理论意义和工程价值。

目前，国内外主要采用动力学建模方法对行星轮安装孔位置误差进行研究。Kalrarman建立了耦合齿轮安装及制造误差的非线性时变行星轮系动态模型，对行星轮系的载荷分配进行了研究[1]；Parker等对行星轮啮合相位关系进行研究，研究了行星轮间啮合相位间的关系与太阳轮- 行星轮啮合和齿圈- 行星轮啮合相位间的关系[2]；Boguski等研究了一种直接测量行星轮系载荷分配的方法，采用该方法对有行星轮安装孔位置误差的四行星轮系进行了载荷分配测量与计算对比，证明了这种测量方法的有效性[3]；Iglesias等提出了一种研究行星轮安装孔位置误差的改进模型，该模型考虑切向和径向两种误差形式，研究行星轮安装孔位置误差对传递误差的影响[4]；Leque等建立了三维行星轮系模型以明显获得行星载荷分配情况，在该模型中耦合入行星轮安装孔位置误差等制造误差，以获得各种误差对行星轮系载荷分配的影响[5]；史志伟建立了一种计算行星轮间啮合相位的计算方法，讨论了任一行星轮处外啮合与内啮合相位差的计算过程，并提出调节啮合相位可以实现系统的振动抑制[6]；田磊研究了制造及装配误差引起的啮合错位对行星轮系均载性能的影响，引入行星轮安装孔位置误差研究二者共同作用时对均载性能的影响[7]；姜京旼基于多体动力学仿真软件Admas搭建了轴孔位置误差对行星轮均载影响研究的虚拟平台，研究了行星行星架的轴孔位置误差对风机齿轮箱行星轮均载特性及寿命的影响[8]。

然而，目前针对行星轮安装孔位置误差的研究，主要集中在考虑其对接触线长度的影响方面，而且分析时忽略了行星轮安装孔位置误差引起的啮合线位置和压力角变化，也未考虑行星轮安装孔位置误差引起的行星轮位置角变化对啮合相位关系的影响[9-10]。实际上，行星轮安装孔位置误差不仅会改变啮合线位置和压力角从而引起接触线长度变化，而且会改变位置角而引起啮合相位变化，以及会影响行星轮系相位调谐能力。因此，有必要建立考虑接触线长度变化以及啮合相位变化的行星轮安装孔位置误差动力学模型，对行星轮安装孔位置误差与接触线长度、啮合相位的关系进行研究，分析行星轮安装孔位置误差对系统动态特性的影响。

本文针对行星轮安装孔周向位置误差导致行星轮系振动特性变化问题，考虑行星轮安装孔周向位置误差对啮合线长度的影响，以及对行星轮系啮合相位关系的影响两方面因素，建立行星轮安装孔周向位置误差动力学模型，研究行星轮安装孔周向位置误差对系统动态传递误差的影响，进而分析行星轮安装孔周向位置误差对行星轮系振动特性的影响规律，以期为行星轮系的减振降噪及早期失效分析提供理论和数据支撑。

1 行星轮安装孔周向位置误差对啮合状态影响分析

行星轮安装孔位置误差是较为常见的误差之一，是指行星轮在行星架上的安装孔出现的位置度误差，分为切向误差和径向误差。本文主要讨论行星架孔切向即周向误差对行星轮系振动特性的影响。

行星轮安装孔周向位置误差对啮合状态的影响示意如图1所示。

图1 行星轮安装孔周向位置误差对啮合状态影响示意图Fig.1 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on gear meshing

图1中：P1为行星轮Ⅱ理想的位置，P2为行星轮Ⅱ实际的位置；实线表示行星轮理想情况下的啮合状态，虚线表示行星轮Ⅱ存在行星架孔位误差时的啮合状态；行星轮安装孔周向位置误差改变了啮合线位置，ls为理想情况下行星轮Ⅱ-太阳轮的啮合线，lsk为行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时行星轮Ⅱ-太阳轮的啮合线；行星轮安装孔周向位置误差也会改变行星轮的位置角，λ1为理想情况下行星轮Ⅱ的位置角，λ2为行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时行星轮Ⅱ的位置角；行星轮安装孔周向位置误差会改变压力角，αs和αr为理想情况下行星轮Ⅱ的内、外啮合压力角，αsk和αrk为行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时行星轮Ⅱ的内、外啮合压力角，Os为太阳轮安装圆心，x、y分别为以Os为原点建立的直角坐标系横轴和纵轴。

行星轮安装孔周向位置误差引起的啮合线位置变化、位置角变化及压力角变化，会导致行星轮啮合相位以及接触线长度的改变，其中E1为理想情况下太阳轮上的啮合位置点，E2为行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时太阳轮上的啮合位置点；啮合位置点的变化会引起该啮合时刻下啮合刚度的变化，即啮合相位关系产生变化，F1为理想情况下行星轮上的啮合位置点，F2为行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时行星轮上的啮合位置点。理想情况下E1点与F1点重合，啮合位置不发生变化；行星轮Ⅱ行星架孔存在位置误差时，E2点与F2点并不重合，E2F2为行星轮安装孔周向位置误差导致的啮合位置变化。

2 行星轮安装孔周向位置误差的动力学建模

考虑到齿轮系统传动轴、支承轴承和箱体等的支承刚度相对较大，不考虑其弹性，忽略由轮齿啮合引起的弯、扭等有关自由度间具有的弹性耦合和粘性耦合等因素，轴承支撑与轮齿啮合通过弹簧和阻尼来模拟。模型中轮齿啮合刚度为含轮齿弯曲变形、剪切变形、轴向压缩变形、赫兹接触变形以及轮体变形的综合时变啮合刚度，误差激励为所研究的行星轮安装孔周向位置误差激励。

图2 典型2K-H直齿行星传动平移- 扭转耦合动力学模型Fig.2 Coupling dynamic model of translation and torsion of a 2K-H planetary gear train

典型2K-H直齿行星传动的平移- 扭转耦合动力学模型如图2所示。图2中：xn、yn(n=1，2，3，4)分别为以第n个行星轮安装孔圆心为原点建立的系杆随动坐标系横轴和纵轴；kspn和csp分别为第n个行星轮和太阳轮的啮合刚度和啮合阻尼；krpn和crp分别为第n个行星轮和齿圈的啮合刚度和啮合阻尼；ksx、ksy、csx、csy分别为太阳轮在固定坐标系x轴和y轴方向的支撑刚度和支撑阻尼；kcx、kcy、ccx、ccy分别为系杆在固定坐标系x轴和y轴方向的支撑刚度和支撑阻尼；krx、kry、crx、cry分别为齿圈在固定坐标系x轴和y轴方向的支撑刚度和支撑阻尼；kp和cp分别为各行星轮系在其系杆随动坐标系中纵横轴方向的支撑刚度和支撑阻尼；ksu、kcu、kru、csu、ccu、cru分别为太阳轮、系杆和齿圈的扭转刚度和扭转阻尼；xs、xc、xr分别表示太阳轮、系杆和齿圈在x轴方向的振动位移；ys、yc、yr分别表示太阳轮、系杆和齿圈在y轴方向的振动位移。该模型中包含太阳轮、行星架、齿圈3个中心构件与4个行星轮共7个构件，每个构件均含有2个平动自由度和1个转动自由度，故该行星轮系动力学模型共有21个自由度。基于拉格朗日原理，推导获得的行星齿轮传动平移- 扭转耦合振动动力学运动微分方程[1]可表示为

(1)

行星架孔存在位置误差时，外啮合压力角αsk、内啮合压力角αrk以及位置角λ2可由几何关系(见图3)推导得到，其计算表达式为

αsk=

(2)

(3)

(4)

式中：Rc为行星架的半径；xP2和yP2为P2点在行星轮Ⅱ系杆随动坐标系P1x2y2中的坐标值，可由计算行星架孔存在位置误差时行星轮旋转轴心位置得到，如图3(b)所示。由几何关系分析，可得P2的坐标：

xP2=Mpncosγ,
yP2=Mpnsinγ，

(5)

(6)

式中：〈,〉表示矢量间的角度；Mpn为P1P2矢量长度；φ为〈P1P2,xt〉；λ1为〈y,x〉。

图3 行星轮安装孔周向位置误差对啮合线位置、压力角以及位置角的影响示意图Fig.3 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing line, pressure angle and location angle

图4 行星轮安装孔周向位置误差对接触线长度影响示意图Fig.4 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on contact line length

行星轮安装孔周向位置误差对接触线长度的影响如图4所示。图4中，A1B1和A2B2分别为行星轮理想位置和实际位置下与太阳轮的啮合线，C1和C2分别为行星轮理想位置和实际位置下齿根圆与齿廓线的交点，D为太阳轮齿根圆与齿廓线的交点，EF表示行星轮安装孔周向位置误差导致的太阳轮- 行星轮轮齿间接触线长度的变化量。通过几何推导可得其计算式：

EF=A2B2-A2E-FB2，

(7)

A2B2=(Rbs+Rbp)tanαs，

(8)

式中：Rbs为太阳轮基圆半径；Rbp为行星轮基圆半径；

A2E=Rbp〈P2A2,P2C2〉=
Rbp(αsk-αs+λ1-λ2+β)，

(9)

β=〈P1A1,P1C1〉；

FB2=Rbs〈OsD,OsB2〉=
Rbs(αsk-αs+λ1-λ2+β′)，

(10)

β′=〈OsD,OsB1〉.

结合(7)式～(10)式，可得由行星轮安装孔周向位置误差引起的行星轮- 太阳轮啮合线长度变化eesp：

eesp=EF=(Rbs+Rbp)(αs-αsk+
λ2-λ1+tanαsk-tanαs).

(11)

根据几何关系推导，同样可得到行星轮安装孔周向位置误差导致的齿圈- 行星轮啮合线长度变化eerp：

eerp=(Rbr-Rbp)(αrk-αr+λ2-
λ1+tanαr-tanαrk)，

(12)

式中：Rbr为齿圈基圆半径。

将行星轮安装孔周向位置误差引起的接触线长度变化eejp(j=(s，r)，当j=s时表示太阳轮与行星轮啮合的相关参数，当j=r时表示齿圈与行星轮啮合的动态相关参数)作为轮齿啮合的误差激励，耦合入典型2K-H直齿行星传动的平移- 扭转耦合动力学模型动态传递误差δjn中。行星架孔存在位置误差时，太阳轮- 行星轮和齿圈- 行星轮的动态传递误差为

δjn=hfpi(δjn)((yj-yn)cosφjn-
(xj-xn)sinφjn+uj+δun-eejp)，

(13)

(14)

式中：xj和yj分别为太阳轮(j=s)或齿圈(j=r)在x轴方向和y轴方向的位移；xn、yn分别为第n个行星轮在x轴方向和y轴方向的位移；φjn=λ2-δαjk，当δ=1时表示太阳轮与行星轮啮合，当δ=-1时表示齿圈与行星轮啮合；hfpi为轮齿分离系数，用来表征在理论啮合位置处，由于误差等原因导致两啮合齿的啮合线长度为负，即两啮合齿对未接触上的现象。

行星轮安装孔周向位置误差对啮合相位关系影响，如图5所示。图5中，K1为T1点在行星轮基圆上的镜像点，K2为与K1点距离行星轮基圆齿厚tb弧长的点，K3为与K2点距离整数倍基圆齿距的点，N1M1和N2M2分别为行星轮理想位置下与太阳轮和齿圈的啮合线，M′1和M′2分别为行星轮实际位置下与太阳轮和齿圈的啮合线与该行星轮基圆的切点，Δθ2为行星轮Ⅱ理想位置和实际位置下逆时针周向位置角相位差，θ4为理想位置下行星轮Ⅳ逆时针周向位置角，Rbr为齿圈基圆半径，Rar为齿圈齿顶圆半径，Eq、Fq、Tq、Gq、Dq(q=1，2)分别表示行星轮与太阳轮(q=1)和齿圈(q=2)轮齿的啮合状态，Eq表示第2个齿开始进入啮合，Fq表示第1个齿开始退出啮合，Tq表示第2个齿在节点位置处啮合，Gq表示第3个齿开始进入啮合，Dq表示第2个齿开始退出啮合。Parker等[2]在对行星轮系啮合相位进行相关研究后提出：一般情况下，行星轮系啮合相位分为两部分，第1部分是不同行星轮- 太阳轮(或齿圈- 行星轮)的啮合相位的差异计算；第2部分是同一行星轮与太阳轮(或齿圈)的啮合相位差异计算[2]。

图5 行星轮安装孔周向位置误差对啮合相位影响示意图Fig.5 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing phase

因此，行星架孔存在位置误差时，行星轮逆时针周向位置角会发生改变，其计算式为

(15)

式中：θn为正常情况下的行星轮逆时针周向位置角；P1nP2nx为行星轮安装孔周向位置误差的切向矢量长度，P1n为第n个行星轮安装孔的理想位置，P2n为第n个行星轮安装孔的实际位置，P2nx为矢量P1nP2n在第n个行星轮系杆随动坐标系P1xnyn中xn轴方向的分量，如图6所示。

图6 行星轮安装孔周向位置误差径向切向矢量分解示意图Fig.6 Radial and tangential vector decompositions of circumferential position error of planet wheel mounting hole

行星架孔存在位置误差时，不同行星轮- 太阳轮或齿圈- 行星轮的啮合相位差异计算式为

(16)

式中：φsn为第n对太阳轮- 行星轮与第1对太阳轮- 行星轮的啮合相位差，选定任意一对太阳轮- 行星轮为第1对轮辐φs1为0；φrn为第n对齿圈- 行星轮与第1对齿圈- 行星轮的啮合相位差；zs、zr分别为太阳轮和内齿轮的齿数。

同一行星轮与太阳轮(或齿圈)的啮合相位差异对于所有行星轮都是一致的，统一用φsr表示。φsr可以通过图5中K1、K2、K3点的相对位置确定。

行星架孔存在位置误差时，啮合压力角改变成为外啮合压力角αsk和内啮合压力角αrk，φsr改变为Δφsr，其计算式为

|Δφsr|=T2K3/Pbt=|E2K3-E2T2|/Pbt，

(17)

E2K3=Pbt-Pbt(dec(K2E2)/Pbt)，

(18)

E2A2=T1T2-E2T2-tb，

(19)

T1T2=Rbp(tanαsk+tanαrk)+Rbp(π-αsk-αrk)，

(20)

(21)

式中：Pbt为基圆齿距；tb为行星轮基圆齿厚。

将行星轮安装孔周向位置误差引起的啮合相位变化Δφsn、Δφrn(i=1，2，3，4)以及Δφsr耦合入典型2K-H直齿行星传动的平移- 扭转耦合动力学模型的时变啮合刚度矩阵Ke(t)中，进而将Ke(t)和动态传递误差δjn输入典型2K-H直齿行星传动的平移- 扭转耦合动力学模型中，采用MATLAB软件对该动力学模型进行求解，最终获取行星轮安装孔周向位置误差影响下的行星轮系动态响应。

3 仿真结果与讨论

为验证模型的正确性，仿真参数设置参照相关研究的实验[11-13]，仿真参数如表1所示。本文选择4阶Runge-Kutta方法在MATLAB软件中对系统振动微分方程进行求解，计算时间步长选择10-6s，以保证计算的准确性。

表1 仿真输入参数Tab.1 Simulation parameters

行星轮安装孔周向位置误差对啮合刚度影响，如图7(a)所示，其中ep2表示行星轮安装孔周向位置误差。该计算模型下，正常啮合情况下行星轮Ⅱ-太阳轮的啮合刚度大致在8×108N/m，且有着明显的时变性，与图7(b)所示相关研究一致[11-13]，从而验证了模型的正确性。由图7(a)可知，行星架孔存在位置误差时，时变啮合刚度在量级、曲线形状上虽没有明显变化，但是在啮合相位上出现了明显变化，这一变化将会影响行星轮系的振动特性。

图7 行星轮安装孔周向位置误差对啮合刚度的影响Fig.7 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on meshing stiffness

行星轮安装孔周向位置误差对行星轮均载性能的影响，如图8(a)～图8(d)所示。由图8可见，行星轮安装孔周向位置误差明显影响了4个行星轮间的载荷分配，其中存在行星轮安装孔周向位置误差的行星轮Ⅱ以及其对应行星轮Ⅳ承受了更大载荷，这一现象在相关研究中[14-15]也被发现，如图8(e)所示，验证该建模方法的正确性。均载性能往往是行星轮系统正常工作最关键的因素，行星轮安装孔周向位置误差对行星轮系均载性能的影响会加大故障发生的可能性。

行星轮安装孔周向位置误差对传递误差的影响，如图9所示。图9(a)所示为行星轮Ⅱ-太阳轮的动态传递误差曲线；图9(b)所示为行星轮Ⅱ-齿圈的动态传递误差曲线。该计算模型下行星轮Ⅱ-太阳轮的动态传递误差大致在10-5m量级，且有着明显的周期时变特性。由图9可知，行星架孔存在位置误差时，行星轮Ⅱ-太阳轮和行星轮Ⅱ-齿圈的传递误差均会明显增加，相位上也有一定的偏移。传递误差曲线很好地反映了系统的振动特性，行星轮安装孔周向位置误差不仅会明显增大系统的振动幅度，还会改变系统的振动形式，增大系统故障的发生的可能性。

行星轮安装孔周向位置误差对行星轮Ⅱ在x轴方向位移时域频域的影响，如图10所示。图10中fm为啮合频率，fc为行星架转频，图10(a)为时域曲线分析，图10(b)为频域曲线分析。由图10(a)可知，行星轮安装孔周向位置误差增加了行星轮Ⅱ在x轴方向的振动，且存在调制现象。由图10(b)可知，行星架孔存在位置误差时，啮合频率及其倍频幅值均上升，在啮合频率及其倍频左右均存在行星架转频的边频，可作为行星轮安装孔周向位置误差识别的依据。

图8 行星轮安装孔周向位置误差对行星轮均载性能的影响Fig.8 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on load sharing ratio

图9 行星轮安装孔周向位置误差对传递误差的影响Fig.9 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on dynamic transmission error (DTE) of planetary gear set

图10 行星轮安装孔周向位置误差对行星轮Ⅱ在x轴方向位移时域和频域的影响Fig.10 Influence of circumferential position error of planet wheel mounting hole on dynamic response of planet wheel Ⅱ in both time domain and frequency domain

4 仿真结果实验验证

行星轮安装孔周向位置误差实验台如图11所示。实验台由电机、行星齿轮箱、转速转矩传感器、磁粉制动器、控制系统和数据采集系统组成。其中，电机为驱动端，电机通过联轴器和行星齿轮箱输入端联接，输出端通过弹性联轴器和转速转矩传感器联接，磁粉制动器为负载端，控制系统通过RS485通讯卡控制变频器，进而控制驱动电机转速。另外，控制系统通过调节磁粉制动器的输出电流改变磁粉制动器的加载力。实验行星齿轮箱的主要设计参数如表2所示。

图11 行星轮安装孔周向位置误差实验台Fig.11 Experimental setup of planetary gear set with circumferential position error of planet wheel mounting hole

行星轮安装孔周向位置误差实验台测点布置如图12所示，共有5个加速度振动测点，测点A位于电机顶部，测点B位于太阳轮端轴承座上，测点G位于内齿圈上方齿轮箱处，测点H位于行星架端轴承座上，测点I位于行星架端行星齿轮箱处，测点I所测的加速度信号方向为轴向方向，实验采用比利时鲁文测试系统(LMS)，采样频率为20 480 Hz.

表2 实验行星齿轮箱主要参数Tab.2 Design parameters of planetary gear box

图12 实验台和采集系统示意图Fig.12 Schematic diagram of experimental setup

图12中太阳轮为输入与电机相连，行星架为输出与负载相连。当输入转速为600 r/min、行星轮存在100 um行星轮安装孔周向位置误差时，测点G的振动加速度响应时域图和频域图如图13所示。从图13(a)中可以看出，振动加速度在-2g～2g范围内波动；从图13(b)中可以看出，啮合频率fm及其谐频周围存在大量的边频带。对振动信号进行包络解调分析，结果如图14所示。由图14可以发现，行星架转频率fc(2.441 Hz)及其倍频为主要成分，表明图13(b)中啮合频率的边频成分主要为行星架转频率，与仿真结果一致，从而验证了理论模型的正确性。

图13 振动信号时域和频域图Fig.13 Time domain waveforms and spectrum of test vibration signal

图14 解调后频谱图Fig.14 Spectrum after demodulation

5 结论

本文针对行星轮安装孔位置误差激励机理及响应特性不明问题，提出了一种包含行星轮安装孔周向位置误差的行星轮系动力学建模方法。利用该方法推导了行星轮安装孔周向位置误差与行星轮系轮齿啮合线位置、压力角和位置角之间的映射关系，获得行星轮安装孔周向位置误差影响下的行星轮系动态响应。通过行星轮安装孔周向位置误差模拟实验验证了本文方法的正确性和有效性。得出主要结论如下：

1) 本文所考虑的行星轮安装孔周向位置误差会引起轮齿啮合位置变化，即啮合刚度发生相位偏移，但对齿轮啮合刚度大小无明显影响。

2) 行星轮安装孔周向位置误差将会导致不均载情况出现，在仿真的4个行星轮均匀分布情况下，具体表现为误差孔行星轮和对称行星轮(相位差为180°)承受更大载荷。

3) 行星轮安装孔周向位置误差导致行星轮系动态传递误差变大，且有相位偏移现象出现。

4) 行星轮系振动响应变大且出现明显的调制现象，调制频率边带间隔等于行星架旋转频率。