类比思维在多元微分学中的应用

周小玲　杨付贵

摘  要：类比法是我们学习新知识的重要认知方法，科学地应用类比思维可以提高我们学习工作的效率，增强我们对于学习复杂事物的热情，有利于培养我们创造性思维。在高等数学多元微分学的学习中科学地应用类比思维，有效帮助我们直观地学习新知识。应用类比思维求解多元函数极限、连续、可偏导以及偏导数的问题时，可以将复杂难懂的多元函数与简单易理解的一元函数进行类比，提高我们学习高等数学的积极性。

关键词：类比法;一元函数;多元函数

为了响应国务院《关于深化高等学校创新创业教育改革的实施意见》中关于增強高校学生创新创业意识的号召，越来越多的应用型本科学校增设了实践课程，这就意味着基础课程学时将会减少。我们身为应用型大学的学生，学会高效学习基础课程可以促进我们学业的综合发展。在学习高等数学时科学运用类比思维可以提升学习的效率，下面我来简单谈谈关于类比思维在多元微分学中的应用。

类比法是通过研究个别问题的特殊构造和本质后，科学推理到新问题构造和本质的研究上。再将个别问题富有经验的解决方案合理运用到新问题的解答上，达到举一反三的效果。这是一种研究问题、探究本质、提供解决方案的思维逻辑。

高等数学的微分学习中分为一元函数微分学和多元函数微分学。一元函数只有一个自变量，但很多实际问题的解决都牵涉到多个方面，于是就提出了多元函数，多元函数涉及一个变量依赖于多个变量的求解。一元函数微分内容相对直观易接受，数形结合的方法有利于我们学习;多元函数微分维度高，抽象难懂，数形结合的方法不适用于多元函数微分的求解。因此我们可以研究学习一元函数微分学时所了解的函数概念、定义、连续、偏导的性质，通过类比得到多元函数微分学的相关概念、性质和计算方法。

掌握概念是学习高等数学的基础，在运用类比法学习之前，我们要先了解一元函数和多元函数的概念：

一元函数的概念：设数集D∈R，则称映射 ： 为定义在D上的函数，通常简记为： ，其中 称为自变量， 称为因变量， 称为定义域，简记 ，即

二元函数的概念：设数集 是 ，则称映射 ： 为定义在 上的二元函数，简记为： ，或 ，其中点集 称为该函数的定义域， 和 称为自变量， 称为因变量.

二元函数的概念可以推广到三元函数，以及更多元的函数中.

从一元函数和多元函数的基本概念中，我们不难发现，一元函数和多元函数主要的区别在于自变量个数的不同，因此在求解多元函数微分学时应重点关注自变量的不同。

此外我们还要应该关注函数的其它概念，进行更全面的类比，对相似点和不同点进行深度的探究，科学记忆，避免混淆一元函数和多元函数的概念。类比学习知识点概念，可以巩固我们之前所学习的一元函数重点，还可以通过对一元函数基本概念的研究去推理多元函数的概念，有利于培养我们的创造性思维。一元函数与多元函数概念的类比分析可见它们又很多相似之处，这对于我们研究问题的性质是学习高等数学的核心。在解决数学问题之前我们应当正确理解问题性质。由本文上述的多元函数的概念可知，多元函数与一元函数的重要区分就是自变量的增加，而自变量的增加会加大多元函数性质的复杂程度。自变量的增加使得多元函数的图像变得复杂，单纯从多元函数的解题思路出发，我们很难理解问题的本质，求解问题也更加困难。但是通过类比一元函数和多元函数的性质，我们可以将复杂的多元函数问题转化为直观的一元函数问题进行求解，大大降低了学习的难度。

例1：求

分析：该题中多元函数求极限可以在换元后利用一元函数求极限的方法进行求解.

解：用换元法：令 .

则

对于一元函数的极限、连续性、导数、微分和多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分以及判断极限是否存在？是否连续？是否可导？是否可微和求极限，求导数，求微分的方法都有高度相似之处，分科学运用类比法学习高等数学的多元函数微分学可以帮助我们巩固一元函数微分学的知识，培养我们的推理能力。

比如：对于一元函数连续一定有极限，有极限不一定连续;连续不一定可导，可导一定连续;连续不一定可微，可微一定连续;可微一定可导，可导一定可微;可导一定有极限，有极限不一定可导。而对于多元函数连续一定有极限，有极限不一定连续;连续不一定可偏导，可偏导却不一定连续;连续不一定可微，可微一定连续;可微也一定可偏导，但可偏导却不一定可微;可偏导也不一定有极限，有极限更不一定可偏导;偏导数连续一定可微，但可微分，偏导数却不一定连续。

此外我认为类比思维不仅可以用在多元函数的求解中，也可以运用到其它学科的学习中。拓展我们的思维，增强创新意识，将自己培养成为具有创新力的应用型人才。

参考文献

[1]  彭涟漪，余式厚编著.责任编辑：王世义.趣味逻辑学[M].北京：中国青年出版社.1981.

[2]  高德超.基于类比法的多元函数微分学教学研究[A].广东肇庆：广东理工学院基础课教学研究部.2019.

[3]  《高等数学》（第七版）上、下册，同济大学数学系编，高等教育出版社.