浅析类比思维在微分学中的应用

陈烁　杨付贵

摘  要：开展类比科学思维是推动人类不断发现新世界事物、新技术知识的一种活力量和源泉，是帮助人们不断深造知识和现实生活工作效率的一种有效方法，是高校培养学生创造性类比思维的一种有效捷径。微分在数学课程中科学地发展应用微分类比法，能够抽象、复杂的多元微分函数针对问题将其转化而成为比较形象、简单的一元函数。

关键词：类比思维;微分学;函数

类比关系就是两个事件之间具有一定相似性而又似乎没有明确的比例关系。它把现有的一些事和物和一些原在层面上它看起来与看起来丝毫没有关联，相于的其他事和物紧密维系综合起来，寻找一种不常规的战略目标和问题解决的最佳方式。应用多元运算函数通过应用类比式的思维也就可以准确刻画多元运算函数的一种局部抽象性质。通过运用多元函数微分学中的性质属性可以解决一些困扰我们很久的问题。类比思维在多元微分学的应用中也巧妙的论证了这一点。类比思维大致可以理解为“类”和“比”。“类”顾名思义就是种类、类别、属性。“比”就是比较、依附、仿照。人们在想要处理某个新问题的时候，人脑的第一反映一定是会去寻找与之有关联的东西，往往與过去曾经解决的相仿的问题进行思考和类比，用其解决已有问题的程序与方法去解决新问题.类比法是人们寻觅觉察新的理论的一种重要方式，。例如，电流的形成、电压的作用通过以熟悉的水流的形成，水压使水管中形成了水流进行类比，从而得出电压是形成电流的原因的结论[2]是培养创造性思维的一种途径，如鲁班发明锯子、德雷布尔制造潜艇等，历史上成功的伟人们都离不开类比思维。类比法也是是人们深造自身修养和生活资本的一种方法。

而多元微分学是高等数学中极为精华的一部分，微分学的主要内容是由所有一元函数狭义微分和多元微分函数广义微分共同组成的。一元函数和多元变量函数的主要区别，在于自定义变量的元素个数可以是有一个和只有多个。此在求函数的数值极限、连续、可偏导、可线性微分时，自定义变量的数值变化范围也是我们应该从不同几个方面对其进行详细讨论的。对于一元函数，函数的相应变化只需要依赖一个其他自变量的相应变化;而多元化的函数中则需要仔细考虑一个函数变化相应于其中一个其他自变量或多个其他自变量的相应变化，从而可以进行函数相应的变化调整。首先多元函数极限为 ;多元函数的连续性可表现为：若 ，则函数f（x，y）在点P0（ ）连续;偏导数为 在点（x0，y0）处对x的偏导数： （对y同理）。f（x+x，y）-f（x，y）≈fx（x，y）Δx;可微分可以理解为：Q和E不依赖与Δx和Δy而仅与Q，E有关， 。举一个好的例子表示为： ，当点p（x，y）沿直线y=kx趋于点（0，0）时， ，所以f（x，y）当（x，y）→（0，0）时的极限不存在，点（0，0）是该函数的一个间断点，偏导数存在;由此可以推断出连续，偏导数和微分的关系是可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导;可微与连续的关系：可微与可导是一样的[2];

其次，多元函数复合和隐函数和多元隐属性函数的连续求导定义法则与一元函数通过这种类比推理思维可以进行类比分析，复合函数和隐函数的关系有一个变量类似于多元的隐函数，多元微分函数和隐函数的连续求导定义法则特点类似于一元函数复合和隐函数的求导定义，运用这种类比推理思维，我们现在已经可以直接给出二元函数复合和隐函数的求导定义。定义上假设映射函数x为z=f（u，v），而y为u、v均为函数x、y的映射函数，即y为u=u（x，y），v=V（x，y），则映射函数y为z=f[u（x，y），v（x，y）]这就叫做函数x、y的一个复合映射函数。其中u、v和v叫做中间定义变量，x、y和y叫做自定义变量。再将一元函数复合微分动力学理论中的函数复合微分函数的线性求导微分法则，类比推广到多元函数复合微分函数。多元化的复合向量函数的微分求导方程法则在多元复合函数论的微分学领域中也一直起着不同寻常的意义。假如两个函数中的u=u（x，y），v=V（x，y）在对应点（x，y）的点一并符合对两个x及对x和y的偏导的参数，在对应点（u，v）在函数中的z=f（u，V）中处都是一些符合连续偏导的函数，则在对应点（x，y）的点处的两个复合偏导函数中的z=f[u（x，y），v（x，y）]同时存在两个连续偏导的函数。

多元函数问题处理时一个重要的思路就是归化为一元函数，特别是多元函数极限问题处理，由于极限是微分学的基础，多元函数的求解显得十分重要，已经有许多对多元函数求解的方法[3]，方法很多，但整体的思路还是利用类比思维归化为一元函数极限，充分利用一元函数极限求解的方法。一个很好的例题： 。这道题就是经典的运用类比思维，通过多元函数转化为一元函数。解这个例子：原式=  。

总结：

类比思维在多元微分学中的应用，充分体现了类比思维在解决问题时可以快速启发人们的思想，而且得到解决。而微分学在大学教育数学学习内容主要是由一元函数微分学和多元函数微分学两个不同的类别一同构成的，两部分都有其固有的特点，而此时以一元函数微分学为基础，以类比法为途径，来理解多元函数的内容，就会显得十分的容易，这不为是一种学习的良策。

参考文献

[1]  苑晓英.在高效物理课堂中的应用[J] . 中学物理教学参考，2015年02期：1

[2]  同济大学数学系.高等数学（第六版）[M] 北京：高等教育出版社，2007

[3]  冯英杰，李丽霞.二元函数极限的求法[J].高等数学研究，2003，6（1）：32-33.