类比思维在微分学中的应用

罗芳钰　李东方

摘  要：类比思想是人类发现新知识的重要源泉，是人们提高学习和生活效率的一种方法，是培养创造性思维的一种途径。多元函数微分学教学中科学地应用类比法，能够使抽象、复杂的多元函数问题转化为比较形象、简单的一元函数，在学习高等数学中起着十分重要的作用。下面我先梳理了各知识点，然后对照起来作比较，最后把多元函数与一元函数对照起来做了一个总结。

关键词：类比思维;多元函数;隐函数;一元函数

二元函数的定义：设x，y，z为三个变量，D为x0y坐标面上的非空点集，若对任意的（x，y）∈D，变量Z均按照一定的法则f有唯一的值与之对应，则称Z是X和Y的二元函数，记作Z=f（x，y）。其中X和Y称为自变量，点集D称为函数Z=（x，y）的定义域，常记为Df;Z称为因变量，函数值的集合Zf={z∣z=f（x，y），（x，y）∈Df}称为函数Z=（x，y）的值域。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。函数连续不一定的函数可微，例：y=|x|函数连续不一定函数可导，例：y=|x|当x=0时 y不可导;函数可导不一定连续;函数可导不一定可微;可导指的是偏导数存在，即沿x轴，y轴方向的导数存在（注意只有两个方向），但是二元函数的连续性是从各个方向，以任何形式来取极限的，所以从这个方面来讲，多元函数可导不一定能保证其连续，如果是可微就可以推出连续，因为可微就考察了所有方向。

关于偏导数，在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。x方向的偏导：设有二元函数 z=f（x，y），点（x0，y0）是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x，相应地函数 z=f（x，y）有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f（x0+△x，y0）-f（x0，y0）。如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f（x，y）在（x0，y0）处对 x 的偏导数，记作 f'x（x0，y0）或函数 z=f（x，y）在（x0，y0）处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f（x，y0）在 x0处的导数。y方向的偏导：同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y，如果极限存在那么此极限称为函数 z=（x，y）在（x0，y0）处对 y 的偏导数。记作f'y（x0，y0）。

求法：当函数 z=f（x，y）在（x0，y0）的两个偏导数 f'x（x0，y0）与 f'y（x0，y0）都存在时，我们称 f（x，y）在（x0，y0）处可导。如果函数 f（x，y）在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f（x，y）在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点（x，y），必有一个对 x（对 y）的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f（x，y）对 x（对 y）的偏导函数。简称偏导数。按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

多元复合函数和隐函数的求导法则永远都是一样的，就是链式法则和基本求导公式。

而多元复合函数求导就是求偏导的时候需要把别的参数看作常数;而隐函数求导时，f（y）的导数为f'（y）·y'。

多元复合函数求导法则：如果函数u=φ（t）及ψ（t）都在点t可导，函数z=f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（t），ψ（t）]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。

隐函数的求导法则：对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。隐函数导数的求解一般有好几种方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）;方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④：把n元隐函数看作（n+1）元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求z = f（x，y）的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f（x，y，z）= 0的形式，然后通过（式中F'y，F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。相对比多元复合函数和隐函数的求导法则，一元函数的求导比较简单且方便，通常复杂的多元函数求導都是由一元函数求导一步步演变出来的。一元函数求导基本都是用[f（x）十g（x）]'=f'（x）十g'（x）;[f（x）*g（x）]'=f'（x）*g（x）十f（x）*g'（x）;[f（x）/g（x）]'=[f'（x）*g（x）-f（x）*g'（x）]/g?（x）这几个公式。

二元函数的必要条件：设函数Z=f（x，y）在点（Xo，Yo）处具有偏导数，且在点（Xo，Yo）处有极值，则fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0。与一元函数类似，某点处两个偏导数等于0只是二元函数在该点取极值的必要条件，也就是说，偏导数等于0的点不一定是函数的极值点，但是二元函数偏导数不存在的点也有可能是极值点。多元函数极值的充分条件：设函数Z=f（x，y）在点（Xo，Yo）的某领域内连续且一阶及二阶连续偏导数，又fx（Xo，Yo）=0，fy（Xo，Yo）=0，令fxx（Xo，Yo）=A，fxy（Xo，Yo）=B，fyy（Xo，Yo）=C，则f（x，y）在（Xo，Yo）处是否取得极值的条件如下：①AC-B?>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值;②AC-B?<0时没有极值;③AC- B?=0时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论。多元函数的最值求法：设f（x，y）在有界闭区间D上连续，在D内有可微且有有限个驻点，求函数f（x，y）在D上的最值得步骤，①求出f（x，y）在D内全部驻点处的函数值;②求出f（x，y）在D的边界上的最大值与最小值;③将求出的各驻点处的函数值与边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大的为函数在D上的最大值，最小的为函数在D上的最小值。

总结起来，一元函数极值的充要条件是一阶导数值为0并且二阶导数>0或者<0，多元函数的充要条件也是很知类似的对一阶和二阶导数道进行判定，只不过多元函数而言，一阶导数是一个向量，由函数对各个分量进行偏导数得到的。对于多元函数求极值，一元函数求极值更为简单，通常也有好几种方法可以求出来，通常方法为首先求出函数的极值，函数定义域的边界点的函数值、极值点不可微点的函数值，然后比较这些值的大小，以确定最大值，最小值。为了简便起见，可以不求极值，只解方程f′（x）=0，解出的根x_i是可能的极值点，把f（x_i）与边界点函数值及不可微点函数值一同比较以确定最值。对于一元函数而言，还可以用通过其他方法：①求出函数的值域确定最值.例如，设y=f（x）是一元函数，将它变形为f（x）-y=0，视y为参变数，找出这个方程有实解的必要充分条件，从而确定y需满足的条件，进而求出函数y=f（x）的值域并求出函数的最值;②利用配方求最值;③利用换元法求最值，其要点是把函数式化为较易求出最值的函数;④利用函数的单调性求最值。

参考文献

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[2]  《函数》〔C〕章志敏、张素亮O174/0048科学出版社1985年2月

[3]  邓小荣.高中数学的体验教学法〔J〕.广西师范学院学报，2003（8）