数列常考综合题型及破题思路探究

◇ 山东 杲 峰

数列是高中数学的重难点知识，一些综合类的习题较为抽象，难度较大，是中学生最易失分的题型.

1 数列新定义题型及破题思路

数列新定义题在高中数学相关测试以及高考中出现频率较高，对学生理解以及分析问题的能力要求较高.解题的关键在于深入理解新定义，充分挖掘隐含条件，灵活运用所学数列知识.为使学生掌握该类题的解题思路，实现迅速破题，教师在授课过程中应做好等差与等比数列知识的深入讲解，不仅使其能准确地记忆相关的结论、性质，还应鼓励其进行推导，知其然更知其所以然，避免死记硬背.同时，还要让学生在解题过程中灵活运用题干已知条件，把握本质，实现数列各项关系的灵活推导与转化.

例1已知正整数k，如数列｛an｝满足以下等式：an-k+an-k-1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan，对所有的正整数n（n＞k）恒成立，则称数列｛an｝为“P（k）数列”.（1）证明等差数列｛an｝为P（3）数列；（2）如数列｛an｝既是P（2）数列，又为P（3）数列，证明｛an｝是等差数列.

分析解答数列新定义综合题的关键在于理解新定义，搞清楚题干中给出的等式关系.问题（1）只需要将k=3代入给出的等式，运用等差数列性质便不难证明.问题（2）难度稍大，应紧扣给出的条件，积极回顾所学的等差数列定义进行证明.

解析

（1）由已知条件可知，将k=3代入关系式易得：an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，由等差数列等差中项知识易得出等差数列｛an｝为P（3）数列.

（2）因为数列｛an｝既是P（2）数列，又为P（3）数列.

当n≥3时，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①所以an-2+an-1=4an-（an+1+an+2），an+1+an+2=4an-（an-2+an-1）.

令n=n-1，则由式①可得

又因为当n≥4时，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an， ④

将②③代入④，得到an-1+an+1=2an（n≥4）.所以a3，a4，a5，…，an为等差数列.

设d 为其公差，在①中分别取n=4和n=3，化简得到a2=a3-d，a1=a3-2d.

综上，｛an｝是等差数列.

2 数列与方程题型及破题思路

学生对数列与方程综合题型并不陌生.该类题难度一般不大，通常将数列的相关项或前n 项和与方程的两根关联起来.解答该类问题时需要求出方程的两根，并根据已知条件确定数列的项或者数列的前n 项和.需要注意的是，如果是等比数列与方程相结合的题目，需要对求出的根进行合理取舍，准确求出数列通项公式后，再根据问题要求，灵活运用数列通项公式与前n 项和相关知识解答.

例2｛an｝是递增的等差数列，且a2和a4为方程x2-5x+6=0的两根.求数列的前n 项和Sn.

分析该题难度中等，根据给出的方程不难求出等差数列的通项公式.求数列的前n 项和可使用错位相减法.

解析

因为a2和a4为 方 程x2-5x+6=0 的两根，且数列为递增数列，所以a2=2，a4=3.又因为a4-a2=2d，解得则所以

3 数列与函数题型及破题思路

数列是定义域为正整数的特殊函数，这就意味着一些函数知识可用于解答相关数列习题，包括函数图象、函数性质、导数相关知识等，都能用于分析数列综合题.为使学生更好地掌握该类题型的解题思路，应提高其函数知识应用意识，使其能灵活运用数列通项公式、前n 项和等知识解题.另外，在进行推理时应时刻关注数列的自变量n，保证得出的结论有意义，必要情况下可进行分类讨论.

例3已知｛an｝为公差为d 的等差数列，点（an，bn）在函数f（x）=2x图象上（n 为正数）.（1）证明数列｛bn｝为等比数列；（2）设a1=1，过函数f（x）图象上点（a2，b2）的切线在x 轴上的截距为，求数列｝的前n 项和Sn.

分析（1）根据已知条件运用等比数列定义进行证明.（2）难度较大，需运用导数知识求得切线的斜率与在x 轴上的截距，得出数列｛an｝和｛bn｝的通项公式，而后使用错位相减法求出Sn.

解析

（1）由 已知条 件 可知，bn=2an，则bn+1=2an+1，则bn+1／bn=2d，因此，｛bn｝是以2a1为首项，公比为2d的等比数列.

（2）对函数f（x）=2x求导得到f′（x）=2xln2，则过点（a2，b2）的切线方程为y-2a2=2a2ln2（xa2），令y=0，求得其在x 轴上的截距为

4 数列与不等式题型及破题思路

数列与不等式结合的综合题难度较大，但授课中应注重树立学生的自信，为学生归纳好该类题目的解题思路.该类题目通常和数列的前n 项和结合起来，因此，求解时可灵活应用数列前n 项和求解方法，包括公式法求和、分组求和、列项求和、错位相减法求和等.而后使用基本不等式、函数单调性或放缩法等找到与要求解问题之间的联系.尤其对学生而言，放缩法难度较大，可鼓励学生记忆一些常见的放缩技巧，并不断地训练，直至正确牢固地掌握.

5 结语

为使学生掌握数列综合题型的解题思路，教师在授课过程中应认真汇总常考的数列综合题型，并为学生讲解解题过程以及解题时应注意的关键点，使其积累丰富的解题经验，以便遇到类似问题时能迅速破题.