高考试题中的数学文化价值——以2019年高考数学全国I卷第4题为例

林文贤，林睿忻

（1.韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041；2.中南大学 自动化学院，湖南 长沙 410012）

作为组成人类文化与人类文明的重要部分，数学文化对人类历史文化进程产生了关键和重大的影响.数学文化是人类文化中不可或缺的一部分，促进了人类的发展与繁荣，其文化内涵丰富而深刻，为人类认识和改造自然奠定了思想和方法的基础.人类的思想解放与数学文化密不可分，现代人类文明的发展变化须臾也离不开现代数学文化的发展进步.

新中国建立初期，百废待兴，面临很多新问题，但中央人民政府非常重视基础教育.中央人民政府教育部于1952年公布了《中学数学教学大纲（草案）》［1］.大纲明确要求：在教学的过程中应当使学生注意数学在文化史上的巨大价值.但遗憾的是，多年以来，我们的数学教学侧重于基本知识的传授和基本技能的训练，教师的最大愿望和学生的主要任务就是追求高分，而对于如何揭示与剖析知识和技能背后的数学本质特征，提升学生创造性思维能力等缺乏足够的认知和践行.北京大学第26任校长丁石孙教授曾说：“我们长期以来不仅没有认识到数学的文化教育功能，甚至不了解数学是一种文化……这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教育”［2］.

令人欣喜的是，近些年来，这种情形正在悄然发生着变化，数学文化在课堂教学中的渗透正逐渐常态化.此外, 数学文化越来越引起数学高考命题专家的重视，每年高考试卷中，总有一些体现数学文化的试题，成为高考数学试卷的一道靓丽风景线，并且对中小学数学教学发挥着春风化雨、润物无声的作用.数学文化因这些高考题目而颇受一线数学教师的注重，而且由于数学文化的传播，这些高考试题也成为经典的考试试题，并被广泛讨论和流传.

2019年高考文理科数学全国试题I卷第4题就是一道彰显数学文化、凸显了科学与人文兼顾的好题，真正把“立德树人”作为高考命题的出发点和落脚点，是对数学核心素养的有力呈现，其立意深远、构思精巧、内涵丰富，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用.一经出现，就传遍大江南北，深受考生、家长、教师和网民的广泛关注与热评，也使数学文化得以广为传播.

1 试题呈现

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

2 试题背景

维纳斯雕像（见图1）是1820年2月希腊爱琴海的米洛斯岛上的一位农民伊奥尔科斯在刨地时挖掘到的一尊女姓雕像，出土时她分为上、下两截，双臂下垂，手抚衣衿，左手臂伸过头，握着一个苹果，并与台座和一些断片散落在田地下.当时法国驻米洛斯的领事得知此事，立即与该农民商议，要高价购买此雕像，也得到同意.但由于领事手头没有那么多现金，只好连夜派人到土耳其君士坦丁堡向住在那儿的法国大使汇报与请示，大使立即作出决定同意收买雕像，并指派秘书带齐足够现金前往米洛斯岛购买.不料天有不测风云，农民伊奥尔科斯突然变卦，并已将雕像卖给一位希腊商人，准备装船启运.这时，对这件古希腊最伟大的艺术品情有独钟的法国人非常气愤，当即决定不惜代价武力夺取.英国得知这一消息，也派出军舰前来争抢.霎那间，平日宁静无比的米洛斯岛因维纳斯雕像而战云密布，大动干戈，刀光剑影，多方展开了一场激烈交战，在混战中雕像被抛到地上，双臂不幸摔断，成为了现在的“断臂维纳斯”.

最终志在必得的法国人在争抢中占了上风，雕像被转运到法国舰艇上.后来法国人又把款项足额交到岛上，正式办理了买卖手续.这样，“断臂维纳斯”真正成为法国国家财产.雕像顺利运抵巴黎时，全国上下一片沸腾，人们视之为国宝，并将其献给法兰西国王.

当时雕像登记的名称是“在希腊群岛中的米洛斯所发现的维纳斯像”，简称为“米洛斯维纳斯”，珍藏于法国国家博物馆和艺术陈列馆，就是著名的卢浮宫.米洛斯维纳斯每年都吸引着数以万计来自世界各地的人们络绎不绝地慕名前往一睹芳容.米洛斯维纳斯已经成为赞颂女性人体美的代名词.这尊雕像表达的是古希腊理想美的观念，其端庄秀丽，平静安详，高贵典雅，纯洁神圣，身躯丰腴饱满，充满着青春、健美和充沛的生命力，令人叹为观止.

3 黄金分割

生活中并不缺少美，只是缺少发现.自然界中美丽的蝴蝶，一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像，五角星图、以及古埃及的金字塔、古希腊的雅典帕特农神庙和法国巴黎的埃菲尔铁塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感受呢？中世纪德国的数学家、天文学家开普勒曾经指出：“几何学中有两大瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金比.”

黄金分割其实是一种数学比例关系.传说是由公元前6世纪古希腊数学家毕达哥拉斯在街上听到铁匠铺里的打铁声的节奏所发现，有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴涵着丰富的美学价值.黄金分割是指将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，即较大部分成为整体部分和较小部分的比例中值.用数学式子表示为：

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯对这个比例进行系统研究，其研究成果被写进公元前3世纪欧几里得的《几何原本》，成为最早有关黄金分割的论著.下面我们求此黄金比.

图2

另外，黄金比可以写成连分数形式，即

黄金分割被称为“黄金”分割，黄金比被称为“黄金”比，是形容这个“分割”和这个“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵.

4 试题解答

对于上面的试题，根据黄金分割理论有如下解法.

解法1：由于头顶至脖子下端比头顶至咽喉要长，于是这个人咽喉至肚脐的长度至多：26÷0.618=42（cm），肚脐至足底的长度至多：（42+26） ÷0.618=110（cm），于是这个人身高至多为：110+42+26=178（cm）.又腿长比肚脐至足底短，于是这个人的肚脐至头顶的长度至少：105×0.618=64.89（cm），身高至少为：105+64.89=169.89（cm）.因而这个人身高应该介于169.89cm 与178cm 之间，故选B.

由于黄金比的倒数近似等于1.618，于是得到下列解法：

解法2：这个人的身高至多为：26÷0.618×1.618÷0.618×1.618=178.218767（cm），身高至少为105×1.618=169.89（cm），故答案选B.

利用斐波那契数列相邻两项之比近似等于0.618，于是得到下列解法：

解法3：由于头顶至脖子下端为26 cm，其一半即为13 cm，正好是斐波那契数列的第7项.假设这个人头顶至咽喉的长度为13 cm，则咽喉到肚脐的长度为21 cm，于是头顶至肚脐的长度为34 cm，因而肚脐至足底的长度为55 cm，故这个人身高至多为89 cm，因此这个人身高应至多为89×2=178 cm.故答案选B.

5 教学启示

数学作为一种文化现象，早已是人们的共识，美国数学史家M.克莱因（M.Kline）说：“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言.数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说；满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想；甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程.”20世纪80年代，北京大学的孙小礼和邓东皋教授合编的《数学与文化》，武汉大学原校长齐民友教授著的《数学与文化》中都指出了数学思维的文化意义，以及数学作为一种文化现象的内涵，肯定数学作为文化存在的价值，营造数学文化的人文色彩.

现在，国际数学教育界己经有了一种发展趋势——数学文化教育，并将其体现在教材和课程上.美国全国数学教师协会（National Council of Teachers of Mathematics）于1989年公布了《学校数学课程评价规范》，强调应重视培养学生对数学价值的理解和数学交流的学习，以及应用数学的意识和合作精神，这些都是数学文化的领域.2000年，该协会进一步提出了数学文化的要求.

2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中也明确提出对数学文化的学习要求.2011 年版《义务教育数学课程标准》指出：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中.为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美.”［3］

2017年教育部颁布的数学高考大纲中明确了数学文化这一考点［4］.2018年1月颁布的的《普通高中数学课程标准（2017年版）》也指出：“数学文化应融入数学教学活动.在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，将有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养.”［5］

因此，自新课程标准改革以来，数学文化受到广泛的关注［6-17］.对于基础教育来说，我们不仅要培养学生掌握必要的基本知识和技能，而且要让他们了解数学文化的价值，如数学思想和数学精神，学会理性地思维、严密地求证、准确地表达、逻辑地推理、合理地量化等，充分发挥数学文化的独特功能，进一步提升育人价值，使数学核心素养的培育落到实处，真正使学生终身受益.因而，在课堂教学中要力求揭示数学概念和数学原理的形成经过，暴露解决数学问题的探索过程.

总之，高考试题越来越重视数学文化.数学教育专家和一线教师将越来越重视数学文化的培养.只有这样，学生对数学文化的关注才会不知不觉地受到影响，一线教师也进一步将数学文化与数学课堂教学结合起来.