变与不变的较量

吕小燕

【摘 要】 本文以一节高三数学习题课——《解三角形》中的一道原题为例，引导学生对原题进行变式，通过变式去发现数学关系，构建可行的命题，在变的现象中去发现不变的本质，在不变的本质中去探究变的规律，进而提升学生的数学核心素养和创新能力。

【关键词】 变式教学;高中数学;创新思维

所谓变式教学是指教师在教学过程中，有目的、有计划地对已有的命题进行合理化地改编。在课堂中经常需要通过运用不同形式的材料或事例来归纳事物的本质属性，或者通过变换同类事物的一些辅助特征以突出事物的本质特征。变式教学的用意在于让学生去抓住事物的本质特征，从而对该类事物形成概念。

变式教学作为一种行之有效的教学方法，在高中数学教学中已经得到广泛推广，大多数的教师都能在课堂上灵活运用变式教学。但是相比之下，很少有教师会在课堂上尝试让学生对原题进行变式。学生通过对“变”的过程的参与、实践，从中体会变式中变的是什么，什么没有改变，进而提升学生的数学核心素养，是值得我们高中数学教师认真思考的问题！

在高三的复习课教学中常常要通过讲解习题去探究解题的策略。要做到举一反三，变式教学不可或缺，让学生来设计变式尤其重要。本文以一节数学习题课——《解三角形》中的一道原题为例，引导学生从多个角度加以变式并阐述改编的理由，进而启发全班同学对改编后的问题深入思考，去探究变式的规律。

原题：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c。b=acosC+csinA。

（1）角A大小;

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积。

原题中，已知三角形的一边及对角，外加一个关于另两条边的条件，此时三角形固定，各边和角的量确定，因此该三角形的面积为定值。在研究解三角形时，随着给定三角形条件的改变，我们可以引导学生设计出一系列的变式。

一、条件的弱化与强化

当一个命题所给定的条件比较丰富时，可以考虑减少其中的一两个条件，从而加工成新命题。本题中如果弱化引例中的b+c=4的条件，三角形变得不稳定，引起三角形面积的变化，直接求三角形的面积问题变成了求面积的最值问题。

变式1：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，角A=，求△ABC面积的最大值。

要是把角的条件去掉，增加另两条边的约束关系，三角形的面积会产生怎样的变化呢？

变式2：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，c=2b，求△ABC面积的最大值。

借助变式设计，学生逐步把握解题的关键。这两个变式的方向都很明确，固定的三角形经弱化条件后变成动的三角形，结论由求值问题转化为范围问题。因而该题由一道基础题上升为中档题，这也是我们命题的方向。在课堂教学中通过引导学生参与变式研究，帮助学生逐层深入地建立简单问题与复杂问题之间的内在联系，有利于有层次地推进思考的深度，符合学生认知的“最近发展区”。

二、结论的延伸与拓展

除了考查已有的性质，还能有哪些性质的改变呢？进一步思考，三角形的不稳定除了引起面积的变化，还会引起边的长度的变化。因此在变式3中，学生把变式1的目标由求面积的最值变为求周长的最值。

变式3：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，角A=，求△ABC周长的取值范围。

在数学活动中通过有层次地推进，让学生去逐步解决问题从而积累各种活动经验，进一步拓宽学生的思维，有利于培养学生的创新思维。

三、情境的抽象与具体

针对基本问题中的线段、角等元素，将其设计成实际应用问题，增强学生综合应用知识解决生活中实际问题的能力。

变式4：已知河岸一侧的工厂B、工厂C之间的距离为2000米，村庄A位于河岸的另一侧，村庄A到工厂B的距离是到工厂C的距离的两倍，求A，B，C围成面积的最大值。

数学问题总是在一定的背景或情境中产生，离开情境的数学是没有烟火气的数学。只有让学生弄清问题产生的背景，在生活中找到模型，知道数学与生活是紧密联系不可分割的，才能提升学生的数学应用能力。

四、图形的变形与维度

根据图中三角形一边是另一边的两倍的图形特征，不妨将三角形的短边延伸，变为一个大的等腰三角形，一腰上的中线长为2。

变式5：等腰△ABC中腰上的中线BD为定长2，当顶角A变化时，求△ABC面积的最大值。

通过观察图形之间的区别与联系，从数学问题的本源出发，把握问题的本质，提升转化能力，促进思维能力的形成。

五、条件与结论互换

通过条件与结论的互换，发现边角面积之间的内在联系，便于学生构建完整的知识体系。

变式6：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=acosC+csinA。

（1）求角A大小;

（2）若a=2，△ABC面积为，求△ABC的周长。

六、变式中的不变

变式必须聚焦核心概念和思想方法。一系列的变式，旨在让学生梳理出解决这一类问题的方向：从边的角度考虑，用余弦定理联系三边及一角，建立三边的关系，用边表示出要求的目标，然后运用基本不等式的知识求解;从角的角度，借助正弦定理将边的问题转化为角的问题，从而转变为已知角的范围，求三角函数的最值问题;从形的角度考虑，从变化的三角形中寻找一些确定的关系，不妨以运动的观点来考察某个顶点的轨迹，巧用外接圆，借助于轨迹圆的特点求范围。

变式可以从对知识的理解上切入、从对方法的反思中切入、从对条件的反思切入、从问题的呈现形式切入、从几何图形的联系上切入、从动态的情境上切入，多角度去思考。学生经历原题的改编，在学习上不再只是停留在事物的表象的认识，而是不知不觉中主动从本质看问题，学会比较全面地看问题，注重从事物之间的联系中来深度挖掘隐蔽的本质特征。

变式教学贯穿于整个高三数学复习课，尝试让学生变式，让学生从变式中认识到一个命题的产生、发展、变化及应用，多侧面、多渠道、多角度思考问题，对于激发学生的学习热情、培养科学的思维方法以及创新能力具有重要意义。在探讨、争论、实践中从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探究变的规律，切实提升学生的数学核心素养。

向前推进是人们认识事物的必然趋势，数学知识的发展和命题的改造就是前进中的进程。在教育改革的大背景下，引导学生通过设计变式去发现数学关系，构建可行的命题，用数学的眼光去探究研究对象，运用数学思维去分析问题，不正是高中数学课程的根本任务吗？

【参考文献】

[1]郝世波.变式教学在高中数学教学中的应用[J].中学数学教学参考，2015（z3）.

[2]肖鋒.变式教学在高三数学复习中的应用[J].中学数学教学参考，2017（33）.