一道最值题的解法研究与思考

方积粮

[摘要]研究典型题目的解法，寻找一题多解，以培养学生的发散思维能力.

[关键词]最值;研究;思考

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0015-02

题目：如图1，已知A、B分别是X轴和y轴上两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上，且→AP=t→PB（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C，求点P的轨迹方程C，且若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为（3/2，3）（如图2），求△QMN的面积S的最大值.

点评：上述解法将三角形面积转化为关于斜率k的函数，然后利用分离变量借助基本不等式求出三角形的最大值.

点评：上述解法充分利用椭圆对称性，将△MNQ面积分割成两个面积相等的三角形，从而先求S²_△MNQ的最大值，最后得到（S_△MNQ）_max=2（√2）.

点评：上述解法主要利用坐標系变换，将椭圆变为一个单位圆，求出在新坐标系下的三角形最大值，然后利用行列式得到新旧坐标系下三角形面积关系，从而求出在原坐标系下三角形的最大值.

点评：上述方法根据椭圆的对称性，以及弦长公式和点到直线距离公式得到△MNQ面积关于点M坐标的二元函数，然后借助椭圆的参数方程，利用三角函数中辅助角公式直接求出（S_△MNQ）_max=2（√2）.

点评：上述方法利用平面点的坐标以及行列式表示三角形面积，然后利用椭圆参数方程和三角函数中辅助角公式，很容易就求出了（S_△MNQ）_max=2（√2）.

点评：上述方法先将△MNQ面积分割成两个面积相等的△MOQ和△NOQ，而△MOQ和△NOQ的底边OQ的长度为定值，从而只需在椭圆上找到动点M、N在何处△MOQ和△NOQ的底边OQ的高为最大值时S_△MNQ才有最大值.数形结合易知过点M、N分别作椭圆切线平行于OQ，此时两切线距离就是高的最大值.

点评：上述方法先构造三角形MNQ的面积表达式为。x，y的多元函数，然后借助利用高中线性规划知识，通过平移直线求出目标函数的最值.

（责任编辑 黄桂坚）