大学生空间思维能力培养模式研究

曾涵柔 贾震 叶韬

[摘 要] 图示思维和空间表达能力是学生学习画法几何课程的重要瓶颈。为更好地突破学习屏障，该文例举半球—圆锥相贯线特殊点的求解证明来探索有效培养空间思维能力的方法，论述了此教学方法对大学生空间思维能力的递进式培养过程，并通过对学生画法几何课程的期末考核情况验证此教学方法的可行性及有效性。

[关键词] 相贯线;空间思维;极值点;辅助平面法

[作者简介] 曾涵柔，沈阳航空航天大学航空制造工艺数字化国防重点学科实验室;贾 震，博士，沈阳航空航天大学航空宇航学院讲师（通信作者），主要从事航空宇航制造以及机械图学类课程教学与研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）23-0334-03    [收稿日期] 2019-11-19

一、问题背景

（一）画法几何学

画法几何是数学中集合的一个分支，专门研究论证如何利用平面二维图形图示空间三维立体以及图解空间几何问题，是一种极具典型的思维技术。词典定义：“几何学是通过一定的空间假设性质，以其定义条件来进行空间内点、线、角度、参数等性质的推理。”正因它内含的空间思维技术性、科学性和确定性，对培养和发展大学生空间推理、图示思维以及空间几何分析能力发挥至关重要的作用。正如奥地利学者FHohenberg（Graz）观点：画法几何教会了人们该如何领会、如何想象、如何设计以及如何准确画出几何形体。法国著名数学家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818年）在《画法几何学》绪言中阐述：“因为它适用于锻炼一个伟大民族的聪明才智，从而能为全人类的进步作出贡献。”由此可知，学习研究画法几何极有利于大学生有效构建空间逻辑、提升思维技术。

（二）问题的由来

求相贯线的问题历来都是画法几何教学中的重难点，大多教材例举了不少正交相贯两回转体图解法求相贯线的题。然而对于相贯线极值点的位置却言之不详，有的教材虽指出了求取的具体步骤，但并未阐明其中缘由，也没有给予证明，以致大多学生似懂非懂、疑惑颇多。本文使用辅助球面法及解析立体几何精确证明相贯线、极值点的空间位置，方便学生快速牢固掌握相贯线的求解。证明过程能帮助学生熟悉二维平面与三维立体之间的转换思维，发展良好空间思维能力。

（三）教学思路

首先，画几基础知识的掌握尤为重要。课上，借助直观3D软件、实体教具等手段有意识地帮学生有效建立空间意识，让学生真正理解相贯线、极值点的含义。明白相关概念后，综合运用图示法、图解法求出极值点证明其存在。在此过程中学生亲手绘制投影图，找出极值点，激发了学生的探索能力并培养空间逻辑。但仅知道图解极值点的方法步骤是不够的，知其然，更要知其所以然。用立体解析几何求解极值点得精确空间位置，一方面证明了图解法所得极值点的正确性，消除学生疑虑。另一方面，立体图形的解析证明对学生空间思维能力要求颇高，因此能有效提升学生的立体幾何分析能力，强化空间思维技术。总而言之，将相贯线极值点的求解过程明朗化将极有利于培养大学生的空间思维能力。

二、教学过程

（一）认识相贯线及特殊点，建立空间意识

相贯线是两回转体表面相交产生的交线。作为立体表面交线中最重要的知识点，相贯线及相关内容的掌握无疑能提升学生的空间建构能力、空间表达能力。目前常用求取相贯线的几大方法包括：辅助球面法，辅助平面法及表面取点法。不论何种方法，特殊点位置的求取都至关重要。教科书《画法几何学》定义：特殊点是决定相贯线投影范围及可见性的点，大多存在于外形轮廓线上。因此，研究特殊点不仅能使学生迅速掌握相关知识，从长远来看，关键在于能有效培养和锻炼学生的空间意识和思维，强化空间推理能力。

（二）证明相贯线极值点存在，激发空间逻辑

半球、圆锥如图1正交相贯，综合运用图示法、图解法求解极值点。过程中投影图的绘制直接刺激学生实际感官，激发出学习兴趣，充分发挥主观能动性。帮助学生习惯于对空间形体的想象，并且逐渐熟练掌握该种思维方式，建立起二维平面与三维空间之间的对应关系。

图解步骤如下：如图2，此时相贯线上存在两个极值点，关于平面XOZ对称。用辅助球面法，以半球、圆锥两回转体轴线交点O为辅助球面球心，以R为（三）求解极值点空间位置，强化空间思维技术能力

为使学生深刻体会画法几何内含的准确性和科学性，同时提升学生空间几何分析能力，运用解析法证明极值点所处空间位置，并求出精确坐标。由于两极值点关于XOZ平面对称，故取其中一个进行分析。

空间定位能力的强弱直接关联到学生解析立体几何的难易程度。因此，为方便学生脑中清晰呈现三维布局，首先要构建空间直角坐标系。如图1，以两回转体轴线交点O为坐标原点，两轴线所确定平面作为垂面XOZ。并对图中各量作出假设，圆锥顶点A到原点O距离为h，顶角2α，半球球心距原点O长为a，其半径为R三、结束语

相贯线极值点求取证明全过程，基于培养大学生空间思维能力着手，让学生通过亲自作图求解及解析证明来探索发现并解决问题。让学生作为知识意义的主动构建者，主动获取知识，充分发挥学习者的主体作用。因此，结合具体例题的求解证明教授画几中的重难点知识，不仅能帮助学生快速牢固地掌握好相关知识，更是教师有效培养学生空间思维能力的强有力教学手段。该手段在教学中取得明显效果。学生们对相贯线、特殊点等基础知识，对空间点的定位能力，对平面与立体间的对应转化以及对图示图解的运用都已基本掌握。例如，学生所参加的2018-2019级画法几何期末考试：第三题，主要考察点线面综合问题，学生得分率为89%;第五题，考察学生组合立体的基础问题，得分率为76%;第七题，要求学生对平面立体与曲面立体相交特性有较高的掌握，得分率为84%。由此看来，结合例题证明的教学方法的确是培养学生空间思维的有效途径。

通過本文例举半球—圆锥相贯线极值点求解证明的例子可知，空间思维能力的培养是一个从学习二维平面上点、线、面等直观的显性知识到研究三维空间内几何元素定位、度量等问题的过程，是帮助学生从单一形象思维过渡到形象与抽象思维综合运用的转换过程。对大学生，空间思维能力的提高以及抽象思维方式的掌握是逻辑推理、想象力、实践等重要能力的全面提升，是今后学习工作中不可或缺的典型思维技术。而刚迈入大学的新生大多以平面思维习惯为主，需要从无到有、由弱到强地培养学生的空间思维能力。

参考文献

[1]蔄靖宇.机械制图教学实践与探索[J].黑龙江教育·理论与实践，2018，（12）：55-56.

[2]马彩祝，谢坚.画法几何，何去何从[J].工程图学学报，2008，（6）：144-148.

[3]周丹.求相贯线极限点的球面法[J].装备制造技术，1997，（4）：21-22.

[4]田玉冬.画法几何中柱（球）锥相贯线特殊点的解析证明[J].湖北汽车工业学院学报，1997，（3）：64-69.

[5]叶晓芹.关于新形势下画法几何学课程教学设计的探索[J].图学学报，2004，25（4）：168-171.

Research on the Training Model of Spatial Thinking Ability of College Students：Taking the Proof of Solving the Extreme Point of Hemisphere-cone Intersection Line as an Example

ZENG Han-roua，JIA Zhenb，YE Taoc

（a.Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense of Aeronautical Digital Manufacturing Process;b.School of Aeronautics and Astronautics;c.School of Mechanics Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang，Liaoning 110136，China）

Abstract：The ability of graphic thinking and spatial expression is an important bottleneck for students to learn descriptive geometry.In order to break through the learning barrier better，this paper explores the effective ways to train spatial thinking ability by illustrating the proof of solving the special points of the hemisphere-cone intersection line，and expounds the progressive training process of this teaching method for college students' spatial thinking ability.The feasibility and validity of this kind of teaching method are proved by students' performance in the final examination of the Descriptive Geometry course.

Key words：intersection line;spatial thinking;extreme points;auxiliary plane method