结合数学建模实例的高等数学教学研究

陈博

[摘 要] 该文研究用数学建模思想使高等数学教学回归实际问题的教学方法，阐述这种方法的意义，并探讨其实现手段。

[关键词] 数学建模;高等数学;教学研究;实例

[基金项目] 该文章由中国民航大学科研启动基金（2017QD04S）资助

[作者简介] 陈 博（1990—），男，數学博士，中国民航大学理学院讲师，主要从事偏微分方程反问题的数值解法研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）23-0287-02    [收稿日期] 2019-11-13

一、数学建模思想在高等数学教学中的意义和运用

数学是从现实问题中抽象出的一门学科，其抽象的特点在于：只保留了现实世界中的数量关系和空间形式，舍弃其他一切，并且随着数学理论体系的建立和发展，其抽象性也一级一级逐步提高[1]。到了高等数学的部分，其内容的抽象程度已经达到了相当的高度，而高度的抽象性也成为了学生认知的一大障碍。在同济大学数学系编著的《高等数学》教材[2]中，也尽量从容易认知的几何图形或者高中物理的知识引入，但和实际生活的联系较弱，这就需要讲授者运用更直观的例子去引发学生的认知和兴趣。

事实上，数学和现实生活中众多问题密切相关，很多看似平常的生活细节，经过抽象之后都可以得到一个数学问题，这种抽象的过程就是数学建模。通过数学建模的思想，把实际问题和高等数学教学有机结合，不但能激发学生的学习兴趣，也可以启发学生用数学思维去看待世界，正如李大潜所提到的：“应该结合教学过程，使学生了解到他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎是天经地义的概念、定理和公式，并不是无本之木、无源之水，并不是从天上掉下来的，也不是人们头脑中所固有的，而是有其现实的来源与背景，有其物理原型或表现的。”[3]

在具体的教学过程中，应当从多个方面结合数学建模思想。首先，是数学概念的讲解。高等数学中的概念有完整的理论体系，在其体系内部关系紧密，但似乎和现实生活缺少联系，抽象程度也高。在讲解严格的数学定义之余，若能给出直观的解释或对应实例，将会对学生的理解产生帮助促进作用。其次，是定理、公式的论述。一个数学结论，不是生硬的知识点，而是有其数学智慧包含在其中，给出对应的实际问题也很有意义。最后，是应用分析。高等数学教材中也多次提到知识点的应用，但更多关注的是在相关学科中的应用，其抽象性依然很强，事实上，很多简单的生活事实中也包含高等数学的知识，更具体的案例能更好地体现知识点的应用性。

综上，将数学建模的思想应用在高等数学的教学中，有着非常积极的作用，对于实现课程目标、锻炼学生思维能力都有益处。在高等数学各个方面内容的教学中，都可以适当加入数学建模的实例，我们将通过几个具体的例子，阐述如何将数学建模实例与高等数学教学相结合。

二、数学建模思想在高等数学教学中的应用举例

我们结合高等数学的教学，引用同济大学数学系编著的《高等数学》教材[2]中的几点教学内容，给出相关的生活实例，并做具体的论述。

（一）重要极限与利滚利

在第一章第六节中，教材给出了一个重要极限

这样的一个极限，可以借助利滚利的借贷方式进行认知。考虑借贷1万元，年利率为1，以利滚利的方式，分别按年利、季利、月利和日利进行计算，一年之后还贷金额分别为多少？

（二）零点定理与椅子放稳问题

在第一章第十节中，教材给出了零点定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使f（ξ）=0。关于这个定理的说明，我们引用姜启源给出了一个很有趣的例子：椅子放稳问题[4]。在连续但不平的地面上，有一把四只椅脚足够细并且一样长的正方形椅子，问能否通过挪动椅子把椅子放稳？

这个问题看似和数学毫无关系，但在必要的模型假设下，我们却可以用零点定理给出此问题的解答。以椅子水平放置时的中心点为圆心，过四只椅脚作圆，选取一个半径作为参考半径（θ=0），在圆周上角度为θ的一点对应地面高度定义为h（θ）。选定椅子的某个椅脚，以该椅脚所在点的角度θ为椅子放置的角度，考虑椅子放置时四个椅脚所处的高度不一定相同，椅子放稳的条件是：对互为对角的椅脚所在的地面高度进行求和，当两组对角的高度和值相等时，椅子就放稳了。用数学公式描述，即

（三）指数函数的增速与棋盘上的麦子

在第三章第二节中，教材在分析了极限

之后提到，当x→+∞时，指数函数增大的“速度”比幂函数快的多。关于指数增长速度的直观认知，可以借助“棋盘上的麦子”这一故事给予说明。

舍罕王奖励发明国际象棋的达依尔，允许他提出一个要求。达依尔说，请在第1个棋盘格放1粒麦子，在第2个棋盘格放2粒麦子，在第3个棋盘格放4粒麦三、总结

数学建模实例的运用，能够很好地激发学生的学习兴趣，并引导学生去思考现实问题的数学含义。当然，数学的逻辑思维之美自有其动人之处，不用过分强调每个知识点的现实对应，但在学生发现数学之美的道路上，一些具体的建模案例可以作为点缀，使数学的美有更多的层次，由浅入深，引人入胜。

参考文献

[1]张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，（1）：9-11.

[4]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

Teaching Research of Advanced Mathematics Combined with Examples in Mathematical Modeling

CHEN Bo

（College of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

Abstract：This paper is concerned with the method of mathematical modeling with the purpose to combine Advanced Mathematics with practical examples.The importance of this teaching method is expounded，and the implementation of the method is analyzed.

Key words：mathematical modeling;Advanced Mathematics;teaching research;practical example