对绳端速度问题的研究和思考

2020-07-16鲁建全

物理教师 2020年6期

鲁建全

(郑州外国语学校,河南郑州 450001)

1 问题的提出

图1

例1.如图1所示,两个滑轮位于同一高度(忽略大小),两根不可伸长的细绳绕过滑轮把可视为质点的小球P悬挂,通过拉滑轮两端的绳使小球运动起来．运动一段时间后某一时刻,A、B端拉绳的速度分别为1 m/s，2 m/s.连接P的两段绳与竖直方向夹角均为30°,两绳均处于拉直状态,此时小球P的速度

(A)v>2 m/s. (B)v=2 m/s.

该题是笔者自编的一道高三练习题,旨在考察学生对运动的合成和分解掌握情况,尤其是对绳端速度问题的分析和应用.结果全班学生无一答对,这个结果令人深思.

图2

错解原因:小球P速度并不是两个沿绳方向的拉绳速度的合成.

图3

我们可以举一个简单的例子来说明.如图3所示,两只狗通过两根绳沿同一方向拉雪橇,两只狗的速度均为5 m/s,问雪橇的速度是多少?

我们会不假思索地说出雪橇的速度也是5 m/s,可见雪橇的速度并不是两个沿绳方向的拉绳速度的合成.

两只狗若拉绳的力均为50 N,雪橇受拉力的合力确实是100 N,怎么理解?

若绳端运动方向不沿绳方向,则沿绳方向分速度相等.

由于力和速度的变化相对应,和速度并无直接关系,所以两只狗的拉力与雪橇受总拉力的关系,并不适用于两只狗的速度与雪橇速度的关系,而适用于在同一段时间内,两只狗单独作用引起的速度变化与共同作用引起的速度变化的关系.

图4

什么情况下可以应用速度的合成呢?我们再举一个简单的例子.如图4所示,公交车向前的速度是5 m/s,人在公交车上向前走动的速度是3 m/s,问人对地的速度是多少.

这时人对地的速度才是车速和人在公交车上速度的合速度为8 m/s.

绳端速度问题该如何解决呢?

2 解决问题

图5

对于一根长度不变的轻绳,拉紧状态下,如果绕过定滑轮,绳两端速度都分解为沿绳和垂直绳方向,由于绳长不变,绳两端沿绳方向的分速度相等.如图5所示,设P的速度大小为vP,方向与PB夹角α.

研究PB绳,绳端沿绳方向分速度相等,有vPcosα=vB=2 m/s.

研究PA绳,绳端沿绳方向分速度相等,有vPcos(60°-α)=vA=1 m/s,得

cosα=2cos(60°-α)=

2(cos60°cosα+sin60°sinα)=

说明此时小球P速度大小等于B端拉绳的速度,速度方向恰好沿PB方向.(B)对.

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方法2:画矢量图法.

图6

如图6所示,小球P速度矢量可分解为沿PA方向和垂直PA方向,沿PA方向分速度为1 m/s,所有满足条件的速度矢量为由P指向CD虚线.同理,小球P速度矢量也可分解为沿PB方向和垂直PB方向,沿PB方向分速度为2 m/s,所有满足条件的速度矢量为由P指向EF虚线.二者同时满足时,速度矢量为由P指向CD与EF的交点,此交点恰好在PB线上.可知P速度大小为2 m/s,方向沿PB方向.如图所示.(B)对.

图7

方法3:微元法.

图8

如图8所示,设经过一段时间Δt,PA绳缩短PP1=vAΔt,绳端P所有可能的位置是以A为圆心,以P1A为半径的圆弧上,PB绳缩短PP2=vBΔt,绳端P所有可能的位置是以B为圆心,以P2B为半径的圆弧上,小球P的实际位置为两个圆弧的交点P′，如图所示.线段PP′=vPΔt,表示Δt时间内小球P的位移，也是Δt时间内的平均速度的方向.当Δt→0时,P1P′远小于半径P1A,P1P′弧可视为直线,这时P2P′弧长趋近于0,可见P′落在PB上.所以小球P瞬时速度方向指向PB方向,速度大小vP=vB.(B)对.

3 引发的思考

思考1:小球P的速度方向若指向PA、PB之外,在真实情景中能否发生?

根据方法2中矢量图6,该时刻P瞬时速度方向理论上讨论如下.

当vB→∞时,P速度方向趋近于与PB夹角30°,这是P可能速度方向的右边界.

当vB>2 m/s时,P的速度方向指向PB之外.

当vB=2 m/s时,P的速度方向指向PB.

当0.5 m/s

当vB=0.5 m/s时,P的速度方向指向PA.

当vB<0.5 m/s时,P的速度方向指向PA之外.

当vB=0时,P速度方向与PA夹角30°,这是P可能速度方向的左边界.

图9

通过作图软件,得到了当vA=1 m/s,vB分别取不同值,并且以后保持不变,小球P以后的运动轨迹.如图9所示．轨迹在P处的切线方向即为小球P此时的速度方向.

从左到右,vB分别为(单位:m/s)0.05、0.25、0.5、0.75、1.0、1.5、2.0、4.0、20.

可见,在理论上小球P此时的速度方向有可能指向PA、PB之外的.

需要注意的是,小球P不是在该位置从静止开始运动的,而是在该时刻前已经在运动,运动到此位置时已经具有了速度.

图10

在两绳拉力和重力作用下,小球P速度方向怎么可能偏向两绳之外呢?在狗拉雪橇的分析中可知,力的方向与速度方向没有直接关系,与速度变化率(即加速度)的方向对应．即小球P所受3个力合力的方向与极短时间内小球P速度变化量Δv的方向一致,如图10所示.

我们可以实际做做这个实验.

找两根绳,中间系一重物P,找两个合适的挂钩固定在墙上．当一端A用手拉着不动时,另一只手拉着B慢慢拉动,此时B的速度虽然小,但符合vB远大于vA情形．我们发现重物P在以A为圆心做圆周运动,当运动到题中位置时,速度沿圆的切线方向,指向A、B绳所夹区域的外侧．我们还可以改变拉或放A、B绳的快慢,重物P可做不同的运动,甚至可以让它在水平方向往复运动．若拉绳速度过大,可能导致某根绳松弛,这时原来的速度关系就不成立了.

2013年上海高考第20题与本题相似.

图11

例2.如图11为在平静海面上,两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图.A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向,A、B、C不在一条直线上.由于缆绳不可伸长,因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等,由此可知C的

(A) 速度大小可以介于A、B的速度大小之间.

(B) 速度大小一定不小于A、B的速度大小.

(D) 速度方向一定在CA和CB的夹角范围内.

通过对上题的分析,此题正确答案选(B)就在情理之中了.

思考2:若滑轮为动滑轮时,绳端速度又有什么关系呢?

图12

例3.如图12所示,水平竖直细杆固定,杆上分别套有小环A、B,一根不可伸长的细绳一端系在水平杆右端O点,另一端穿过水平杆上的小环B,系在套在竖直杆上的小环A上.开始时小环B位于小环A的正上方,A、B间距离为h,绳子处于拉直状态.当拉着A向下以速度vA匀速运动时,细线带着小环B在水平杆上向右运动.求

(1) 当细线与竖直杆夹角为θ时,小环B的速度vB;

(2) 判断小环B的运动性质.

图13

解析: (1) 方法1:微元法.

设经一段时间Δt(Δt→0),如图13所示,A移动到A′,位移vAΔt,B移动到B′,位移vBΔt,过A做AB平行且相等的线段AC,过B做AC的垂线垂足为D,由几何关系可得

方法2:相对运动法.

(2) 取两杆拐角处为坐标原点,向右为x轴正方向.经时间t,A位移vAt,B位置坐标为x,斜绳长为h+x,有(h+x)2=x2+(h+vAt)2.得

通过本题可以发现,水平绳端点O速度一直为0.很明显,滑轮运动时,绳两端速度沿绳方向的分量就不再相等.这时我们选滑轮为参考系,绳两端相对滑轮速度沿绳方向的分量就相等了.若不换参考系,抓住绳长不变建立关系就非常关键了.

4 绳拉物体运动模型的应用

图14

位于贵州的大型射电天文望远镜FAST,球面反射天线直径达500 m,观测不同方向的天体时,接收反射电磁波的馈源仓就需要移动到不同的位置.馈源仓借助周围高塔上的6根牵引绳悬吊在空中.6根牵引绳另外一端连在精密牵引电机上.6组电机牵拉着绳端按设计好的速度同步收或放牵引绳,就可控制馈源仓按设计要求运动了.如图14所示.

为了简单起见,简化三根缆绳在二维平面上牵引馈源仓,情景如下.

图15

如图15所示,平面直角坐标系中,3个定滑轮的坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC).通过3个定滑轮的牵引绳拉着馈源仓P,假设牵引绳一直是绷直状态.若要馈源仓P绕着定点D(xD,yD)做半径为r,角速度为ω的匀速圆周运动,3根牵引绳的的PA部分、PB部分和PC部分长度LA、LB及LC应按什么规律变化呢?电机拉绳的速度又应按什么规律变化呢?

设t=0时,馈源仓P位置坐标(xD,yD-r)逆时针旋转.t时刻,P位置坐标为

x=xD+rsinωt，

y=yD-rcosωt.

把x、y代入得