让智力生长让智慧开花<br/>——以“边边角”问题探究为例

让智力生长让智慧开花
——以“边边角”问题探究为例

2020-07-15■马红

初中生世界 2020年28期

■马红

在苏科版八年级上册第一章“全等三角形”的教学过程中，许多学生会问，为什么没有“边边角”判定法？笔者虽然举出了反例,但仍然没有消除学生的疑问。我要给“边边角”一个机会，给学生一个探究的机会。本节课是在学生学习了全等三角形的性质及判定的基础上，对“边边角”问题做的进一步探究，旨在帮助学生更为理性地分析问题，发展学生的数学思维能力，为学生后续的学习积累经验。

一、教学目标

通过对“边边角”问题的研究，学生经历感知、猜想、验证、归纳等环节，提高分析问题和解决问题的能力；研究特殊情况下，“边边角”可以证明三角形全等的依据；学生在“做”数学中增强学习数学的兴趣和自信心，在积极思考中形成勇于探索的学习品质。

二、教学重、难点

探索特殊情况下“边边角”可证明三角形全等。

三、教学过程

1.温故知新，引起思考。

问题1：本章节中，我们是沿着什么样的路径来探究判定三角形全等的条件的？

设计意图：判定两个三角形全等，需要从三角形的组成元素边、角入手，为后面进一步研究两个三角形的边角关系做好铺垫。如果所给的条件不能确定三角形的形状和大小，就不能判定三角形全等。

问题2：如图1，已知AC=DF，添加适当的条件使得△ABC≌△DEF。

设计意图：设计开放性的问题，培养学生有序思考问题的习惯，在学生举例的过程中，可以引出“边边角”不能判断三角形全等。

2.合作探究，激活思维。

问题3：“边边角”为什么不能判定三角形全等呢？先画图说明，再与你的同桌交流。

设计意图：学生进一步感受并理解满足“边边角”条件的两个三角形可能不全等，大部分学生会画出图2来说明。画图的过程中，学生进一步体会到，只有所给的条件能确定三角形的形状和大小，才能够说明两个三角形全等。

问题4：“边边角”能确定一个形状和大小唯一的三角形吗？

问题5：已知线段m 和∠α（见图3），画△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（0°<α<90°），线段n取何值时，能且只能画出一个△ABC？

给学生充足的思考时间，让学生在动手操作的过程中找到解决问题的突破口。

设计意图：所给的条件具有“边边角”的特点。教师可引导学生从确定的一边和一角入手，分析确定△ABC 的关键是确定∠A 的对边BC。如图4，当点B 确定时，点C 需要满足两个条件：在射线AE 上和到点B 的距离为n。当以B为圆心、n 为半径的圆与射线AE 的交点只有一个时，点C 确定，△ABC 也随之确定。变中又有不变。通过控制变量，结合分类讨论思想，学生动手操作，自主探索，深化理解，发展数学思维。

问题6：通过以上探究，你有什么发现？

预设：如图5、图6，当“边边角”条件中的“角”α（0°<α<90°）的对边n 等于点B 到AE 的垂直距离或n≥m时，“边边角”能确定△ABC。

设计意图：通过问题驱动，学生在画图的过程中经历观察、实验、猜想、验证等环节，学会表达，学会归纳。

3.探寻本质，深化理解。

问题7：通过画图我们发现，当0°<α<90°时，具有上述结论。你还能提出什么问题？

学生很自然地会提出，画△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（α=90°或90°<α<180°），线段n 取何值时，能且只能画一个△ABC？

设计意图：促进学生全面思考问题，合理、有序地开展进一步的数学探究活动，完善对“边边角”的探究过程。通过分析，学生画出满足条件的图7和图8，发现当n>m时，△ABC确定。

问题8：在什么样的条件下，“边边角”能确定一个三角形呢？

设计意图：问题指向高阶认知活动。要把这个问题表达清楚，对于学生来说是有难度的。在学生经历一系列的数学活动之后，留给学生充分的思考时间，给予学生思维发展的机会。教师在这个过程中需要扮演好“助产师”的角色，不给学生现成答案，而是用反问和反驳，让学生主动寻找答案。

问题9：“边边角”在哪些特殊的情况下能判定两个三角形全等？

已知两个三角形的两边及一边的对角对应相等，当等角为直角，“边边角”就是“HL”，两个三角形全等；当等角为钝角，两个三角形全等；当等角为锐角，等角的对边大于或等于另一边，或等角的对边等于另一边与此角的正弦的积时（注：对于八年级学生，可借助图形来说明），两个三角形全等。

设计意图：数学活动的本质是思维活动。引发思考的对话是活动的灵魂，深度对话能引导学生始终在数学思考中发现和生成，也体现对学生思维主体性和主观能动性的尊重。教师应告诉学生尽最大努力，让他们自己想办法、说出来。师生对话中的“等待”是十分有必要的，因为从不等待的对话，即使问题再好，也是一种缺乏诚意的形式。我们要让每一名学生参与到探究中，重视学生在学习活动中的主体地位。