初中数学“一图一课”式专题复习教学——以“与圆有关的位置关系”为例

■蒋月兰

一、教学设计与意图

1.操作与回顾。

操作：已知⊙O（如图1），请按要求画图。

（1）如果在⊙O所在的平面上有一点A，请画出点A。（学生通过画图发现，点A 的位置有无数种可能。）

问题1：这无数种可能有几种类型？

生1：三种类型，分别是点在圆内、点在圆上以及点在圆外。

问题2：用什么方法可以判断？如何判断？

生2：用d 表示点A 到圆心的距离，用r 表示圆的半径，然后比较d与r的大小。当d>r时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d

（2）过点A 画直线l。（学生通过画图发现，直线l的位置也有无数种可能。）

问题3：这无数种可能有几种类型？

生3：三种类型，分别是直线与圆相交、相切、相离。

问题4：用什么方法可以判断？如何判断？

生4：用d1表示圆心到直线的距离，用r 表示圆的半径，然后比较d1与r 的大小。当d1>r 时，直线与圆相离；当d1=r 时，直线与圆相切；当d1

设计意图：以上两个环节都是通过动手画图引出知识，学生在画图过程中自然唤醒了点与圆、直线与圆的位置关系等知识。学生在作图的过程中培养了发散性思维，体会了分类的必要性，渗透了分类和数形结合的数学思想。

问题5：如图4，过点A 画直线，都可以画出图3的三种位置关系吗？动手试一试。

生5：点A 在圆内时，只能画出相交；点A 在圆上时，既可以画出相交也可以画出相切；点A在圆外时，三种情况都可以画出。

问题6：d1=r 是d1与r 在数量上的特殊情况，也是临界情况。那么，请过点A 画出⊙O 的切线并说出你的依据。

生6：依据的是切线的判定定理，过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线。（如图5）

设计意图：通过追问“过点A 都能画出三种位置关系类型的图形吗”，让学生进一步理解判断直线与圆位置关系的本质。通过画切线，再次唤醒学生对切线性质定理、判定定理以及圆周角性质的回顾，在解决问题的过程中培养学生综合分析问题的能力。

（3）在图6 的⊙O 上另取一点B，过点B 画一条与⊙O 相切的直线，设所画直线与过点A 的切线（A为切点）相交于点M，如图7。

问题7：你想到了什么知识？

生7：切线长定理，过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

问题8：这幅图还给你哪些数学美感？由此你还能得出哪些结论？

设计意图：学生通过画图得到切线长定理，并通过开放性的问题“寻找数学美”，便自然地用数学的眼光观察图形得出图形的轴对称性，再次利用几何图形的性质，寻找并得出图形中各边、角之间的联系。这培养了学生的观察和分析的能力，渗透了数形结合思想。

（4）在图7 的⊙O 上再另取一点C，过点C 作一条切线与前两条切线相交，交点为N、T。（学生通过画图发现，图形又有两种可能的情况。）

①当C取在优弧上时。

问题9：从这个图中（图8），我们看到了什么？想到了哪些相关知识？

生8：三角形三边与圆相切，即三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。

问题10：若顺次连接A、B、C呢？

生9：能得到三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的外心、三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。

②当C取在劣弧上时。

问题11：对于这个图（图9），你有什么想说的吗？

生10：图9 也得到了三角形和圆，不过圆在三角形旁边与三角形相切了，可以取个名字叫它“旁切圆”，这也是一种位置关系。

师：这个名字取得很好，不过这个“旁切圆”的大小不受三角形的控制，我们的教材中没有研究。我们的教材只研究了三角形的内切圆、三角形的外接圆。当三角形确定时，它的内切圆、外接圆都确定了。

问题12：内切圆的半径通常用什么方法来求呢？

生11：因为相切，所以过切点的半径与三边垂直，垂线段可以看成三角形的高线，所以用面积 法 可 以 计 算 出 内 切 圆 的 半 径r内=2S△MNT÷C△MNT。

问题13：如果选取的点B 能使得两条切线MB、MA 互相垂直，此时的内切圆的半径还有其他方法来求吗？

生12：此时得到了一个直角三角形（如图10），可以得出四边形AMBO 为正方形，利用切线长定理可以得出r内=（MN+MT-NT）÷2。

问题14：三角形的内切圆、外接圆，包括你们取的“旁切圆”，都属于三角形与圆的位置关系。那么，与圆有关的位置关系接下来还会往哪个方向研究呢？

生：四边形与圆，多边形与圆（图11）……

设计意图：继续通过开放性的动手画图引出知识，学生在画图的过程中自然回顾了三角形的内切圆、外接圆以及“旁切圆”。问题11的追问以及解答，让学生进一步体会什么样的几何图形之间可以研究数量关系，为学生今后的自主学习提供了方法。问题12、13 的提出，帮助学生进一步巩固了各个量之间的关系。这里渗透了分类、数形结合、方程模型的思想，提升了学生整体建构知识的能力，教学生学会学习。

2.尝试与巩固。

尝试：如图12，圆O 的直径DE=8cm，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t=0s 时，圆O 在△ABC 的左侧，OC=6cm。请结合复习的知识，尝试编一道相关的问题并解答。

设计意图：开放性的问题设计，旨在通过复习知识培养学生提出问题、解决问题的能力，让学生进一步体会研究几何问题的一般角度和方法，引导学生多角度解决问题，培养学生思维的发散性和深刻性。

二、教学反思

1.建构知识体系。

在复习课中，学生已具备了一定的知识基础，但知识体系不一定形成，需要在复习课中建构知识体系。新课标提倡，学生不是被动地接受知识，而是要在积极主动地参与下建构。几何知识往往跟图形分不开，因此，教师可以尝试带领学生画图，让学生亲自去发现尽可能多的东西，从而不断地丰富图形来建构知识体系。这样才能让学生全面认识、理解、掌握和运用知识，才能让知识内化为成长素养，才能真正满足成长需要。

本节课利用4 个作图操作，让与圆有关的位置关系的所有知识慢慢地冒出新芽，自然生长，最终长成枝繁叶茂的大树。画图的过程既带领学生独立、主动地去参与、发现，又在流程设计上推陈出新，激发了学生的兴趣，培养了学生的动手能力。

2.激发数学思维。

为了使学生的能力在复习课中得到提升，复习课就不能对学过的知识机械地进行重复，因为机械重复会使学生感觉枯燥，失去学习的兴趣。除了在流程设计上推陈出新外，我们还要关注教师提出的问题给学生带来的数学思考，从而让学生在梳理知识的同时，感悟数学学习的方法，提炼基本数学学习策略，达到增长智慧的目的。

本节课设计的问题不是常规的习题，而是开放性问题，甚至让学生自己提出问题。第一、二、四个作图都是开放性作图，这样可以引领学生全面回顾点与圆、直线与圆、三角形与圆的位置关系。通过“寻找数学美”“你看到了什么”“你想到了什么”“还会向什么方向生长”“尝试编一道相关的问题并解答”等一系列的开放性问题引领学生自主探究，深入思考，增进认识；让学生充分感受数学知识的生长过程，有利于学生的问题意识、创新能力的提升，有利于学生的数学思维发散性、深刻性的培养。

3.落实核心素养。

复习课上，教师除了要帮助学生全面复习知识，建构知识体系之外，还应该有意识地向学生渗透数学思想，揭示数学本质。数学思想是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，我们的复习课需要关注思想，要让复习课堂因思想而厚重。

本节课通过4 个作图操作串联知识，让学生在作图的过程中经历逐渐递进、深度探究。数学思想体现在以下方面：第一、二、四个作图的答案都不是唯一的，在求知答案的过程中学生迫切需要的就是分类的思想；在判断位置关系、图形各要素之间关系的过程中，数形结合思想、模型思想得到了淋漓尽致的体现；在如何作切线的过程中，画切线的问题最终转化成了画垂线的问题，体现了解决问题过程中的转化思想。学生在课堂中感受并体会到这些思想方法，并逐渐运用到后续的学习中，最终形成能力，提升数学素养。因此，在课堂教学中，教师应努力做到让学生因参与而构建，因追问而明晰，因反思而升华，因思想而开花。