双体量子系统的算子权并发度

AUNG Khaing Zaw, 刘锴, 蒋立宁

(北京理工大学 数学与统计学院,北京 100081)

二十世纪三十年代,物理学家发现量子系统中存在着不能由局部信息表征的全局量子态,这一量子特性被称为量子纠缠.由于该特性的应用相比于经典通信的巨大优势,它逐渐发展了量子计算和量子通信等相关理论[1-2].目前如何进一步刻画一个量子态的纠缠程度,以及探讨并发度的相关应用成为了该领域的热点问题[3-4].本文基于Hilbert空间算子理论,通过算子对量子空间局部操作的表示,定义了双体量子系统中的一类算子权并发度.同时对于量子通信问题,刻画了该类纠缠度与量子信道的相容性及对应关系.

1 量子系统与纠缠度量

在量子理论中,称可分的复Hilbert空间H为一个量子系统,H中的向量|φ〉为量子态,〈φ|为其共轭转置,则H上的内积为〈φ|φ〉.称H中的单位向量为量子系统的纯态,σ=∑ipi|φi〉〈φi|表示系统中的混态,其中∑ipi=1,pi∈.基于量子力学的基本假设,可以通过矩阵力学的方法刻画量子系统的特征并给出相应的数学描述[5].

本文讨论双体量子系统H=H1⊗H2上的量子纠缠性质,其中H1和H2为H的子系统,则量子系统H有唯一的剖分H=H1|H2.称纯态|φ〉∈H是可分的,若|φ〉=|φ1〉⊗|φ2〉,其中|φi〉为Hi中的纯态,否则称|φ〉为纠缠纯态.为了量化纠缠态的纠缠程度,首先需要引入纠缠度量的概念.

定义1[2]设H为Hilbert空间,ρ为H中的量子态.称H上的正泛函D为H上的纠缠度量,若满足以下条件：

①D是正定的,即D(ρ)=0当且仅当ρ是可分态；

②D为纠缠单调,即D(Λ(ρ))≤D(ρ),其中Λ为LOCC变换(局部操作与经典通信)；

注1若H上的正泛函D只满足条件②与③,则称其为准纠缠度量.

注2对于H中的混态σ,有矩阵表示σ=∑ipi|φi〉〈φi|,此时纯态|φ〉对应于密度矩阵集合中的端点.为了满足局部酉不变性和纠缠单调性.通常借助于矩阵的迹和其它不变指标来构造纠缠度量.下面给出构造此类纠缠度量的方法.

定理1[5](Vidal)设H=H1⊗H2为有限维双体量子系统,|φ〉∈H为纯态,μ为H上的任意纠缠单调.则存在L(H)上酉不变的凸函数h,使得μ(|φ〉)=h(ρ),其中ρ=trH1|φ〉〈φ|.

称定理1中由密度矩阵的偏迹定义的纠缠度量为迹类纠缠度量.下面给出两个通过密度矩阵的不变量定义的纠缠度量的例子.

例1(并发度)设H=H1⊗H2为双体量子系统,|φ〉为H上纯态,H上的并发度C(·)定义为

例2(D-并发度)H=H1⊗H2为双体量子系统,|φ〉为H上的纯态,H上的D-并发度C(·)定义为

2 算子权并发度

量子系统上的局部操作可以用其上的算子作用来表示,进而为了量化量子系统中局部操作对量子纠缠度的影响,首先对于双体量子系统H=H1⊗H2中的并发纠缠度量C(·),定义算子权并发度.

定义3设H=H1⊗H2为量子系统,Ti∈B(Hi),对于纯态|φ〉∈H,H上的算子权并发度CTi(·)定义为

引理1设H=H1⊗H2为双体量子系统,Ti∈U(Hi),则算子权并发度CTi(·)是纠缠度量.

证明只需说明CTi(·)是正定的,酉不变且在LOCC变换下CTi(·)是纠缠单调.

对任意纯态|φ〉∈H,

则

若|φ〉是可分的,则有

进而CTi(·)是正定的.

又

因为Ti|φ〉∈Hi,‖Ti|φ〉‖=1.所以

定理2设H=H1⊗H2为双体量子系统,Ti∈B(Hi),CTi(·)是纠缠度量当且仅当Ti为满秩算子.

证明对任意纯态|φ〉∈H,dimHi=di.

若Ti为满秩算子,则

由引理1,CTi(·)是纠缠度量.

令dimH1=m,dimH2=n,取

则|φ0〉为H上的纯态.因为

所以|φ0〉是可分态.此时

不满足正定性,即此时CTi(·)不是纠缠度量.

因此CTi(·)是纠缠度量当且仅当算子Ti满秩.证毕.

注3当算子Ti非满秩时,称CTi(·)是准并发纠缠度量.

对于量子系统中的同一量子态,采用并发度对态的可分性进行量化时,态空间上的局部操作可通过算子的特殊选取而表达.下面的例子表明不同的局部操作会改变量子的性态.

例3设H=H1⊗H2为二维双体量子系统,{e1,e2},{e3,e4}分别为子系统H1与H2的基,则H的一组基底可定义为{e13,e14,e23,e24},eij=ei⊗ej.对于H可进行不同的局部变换Ot={T1,T2},Os={S1,S2},其中

CT1(|φ〉)=CT2(|φ〉)=0,

3 量子信道与算子权并发度量

在量子信息中,通常利用量子信道传输信息并研究量子态的性质[7].下面研究算子权并发度与具体的量子信道的联系与相容关系.

特别地,当H=K时,称{Mi:1≤i≤k}是H上的测量系统.

定理3设Hs,Ho为双体量子系统,C(·)为Ho上的并发度量,则对于任意的规范的测量系统MHs,Ho,存在Hs上的加权并发度CT(·),使得CT=C∘MHs,Ho.

证明设Hs=Hs1⊗Hs2,Ho=Ho1⊗Ho2为双体量子系统,取子系统Ho2的一组基为{ej:1≤j≤do2,do2=dimHo2}{Mi:Hs→Ho,1≤i≤k}定义的量子信道为τ.

此时

tr(τ(ρHs1))=

因而C∘MHs,Ho定义合理.

又因为MHs,Ho是规范的,

推论1设Ha,Hb,Hc,Hd为双体量子系统,MHa,Hc,NHb,Hd是规范的测量系统,C(·)为Hb⊗Hd上的并发度量,则存在Ha⊗Hc上的算子权并发度CT(·),使得CT=C∘(MHa,Hc⊗NHb,Hd).

证明令MHa,Hc={Mi:1≤i≤s},NHb,Hd={Nj:1≤i≤t}.Ha,Hc上的量子信道分别为τa和τc.对任意ρ∈L(Ha⊗Hc),令τ=τa⊗τa,τ(ρ)=∑i,j(Mi⊗Nj)ρ(Mi⊗Nj)*.

又因为∑i,j(Mi⊗Nj)ρ(Mi⊗Nj)*=I,所以τ为量子信道.

由定理3,若MHa,Hc,NHb,Hd是规范的,因为

则有

令T=∑i,jMi⊗Nj,则CT(·)为Ha⊗Hc上的算子权并发度,且CT=C∘(MHa,Hc⊗NHb,Hd).

推论2设{Hi:1≤i≤n}为一族双体量子系统,{MHi,Hi+1:1≤i≤n-1}为对应的规范测量系统,C(·)为Ht上的并发度量,则存在Hs上的算子权并发度CT(·),使得

CT=C∘MHt-1,Ht∘…∘MHs +2,Hs +1∘

MHs +1,Hs,1≤s≤t≤n.

证毕.

上述结果证明了量子信道与算子权并发度的相容性,进而可以借此量化量子信道对量子系统的影响并研究相关性质.