关于复变函数积分的教学研究

苏新卫

摘 要 针对部分教材中复变函数积分内容的安排特點，从拓展式方法及一题多解两方面分析复变函数积分教学，有利于拓宽学生的解题思路。

关键词 复积分 拓展 一题多解

中图分类号：G642文献标识码：A

复变函数积分的路径主要有两种-闭和非闭曲线。化为定积分法和牛顿-莱布尼兹公式可以计算非闭路的积分，复合闭路原理、柯西积分公式、高阶导数公式及留数方法等主要计算闭路上的积分 。本文针对部分教材中复变函数积分内容的安排特点，即相对而言非闭路的积分内容较少而闭路的积分内容较多，分别从拓展式教学以及一题多解方面分析复变函数积分的计算，旨在使学生整体连贯地掌握复变函数积分知识，寻找最简便有效的积分计算方法。

1拓展式教学

在和复变函数积分有关的教材中，对于非闭路的复变函数积分计算，相对来说内容较少。以教材内容为依托，使学生真正熟练地掌握沿着非闭路的复变函数积分计算，拓展式教学的合理运用变得尤为重要。

拓展教学，首先要强调复积分和实积分的联系。例如在讲解复积分的定义时可以指出两种积分定义的相同点-分割、取定点、求和、求极限，因此复积分是实积分的推广，当复积分中的路径是实轴上的线段时，复积分就是实积分。这种和实积分相比较的方法无疑可以加深学生对于复积分的理解。其次，除可以增加一些具有代表性的例题外，还可以从教材中已有的典型例题入手拓展讲解。

下面以[1]中例3.9为例具体展现拓展教学在复变函数积分教学中的应用。

例1： 计算，C是从到的直线段。

当时在C上有不连续点。由复变函数积分的化定积分法，此例对应定积分在内有间断点且有界而连续。由于有有限个间断点的有界实函数可积，所以此时积分存在。不妨先计算：从到的直线段和：从到的直线段的积分，是实常数。

解：类似于[1]中例3.9，由牛顿-莱布尼兹公式及分部积分易得

，

由于且，，对积分，两端当时求极限并求和可得积分值为，得到与[1]中例3.9不同的结果。

通过对上例的拓展求解可以看到，由于主辐角的范围不同导致积分结果的不同，同时也加深了对实积分和复积分之间密不可分关系的理解。

2一题多解

相比于非闭路径的积分，沿着闭路的积分方法是多样的，对于同一题往往可用多种方法计算。为使学生整体连贯地掌握这些方法并寻找最简便的方法计算积分，一题多解教学法的应用是行之有效的。

例2：求。

在内有被积函数的两个奇点3和1。方法之一是应用复合闭路原理，在之内做两个包含3和1的互不相交互不包含的闭路和，然后用柯西积分公式;方法之二是将被积函数分成两个分式的和，然后用柯西积分公式;方法之三是直接用留数方法计算。

解一：

解二：

解三：

仅此简单一题，将复合闭路原理、柯西积分公式和留数方法统一起来，学生可根据自身对每种方法的掌握程度选择一种计算，在此不再举例赘述。

3结语

本文通过两个简单的例子说明如何应用拓展教学和一题多解法讲授复变函数积分。在计算复变函数积分时，首先应判断被积函数在非闭路径上的连续性、解析性以及闭路内的解析性，从而选用不同的方法进行计算。同时我们看到，在积分路径上有被积函数的不连续点时积分可能收敛，这是值得引起初学者注意的一点。

基金项目：校级课程建设与教改项目（J190806，J190812，J190802）。

参考文献

[1] 李红，谢松法.复变函数与积分变换（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 钟玉泉.复变函数论（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析：上册（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2010.