函数不等式类问题解题方法小结

李慧珍

[摘  要] 不等式类问题是高考以及各模拟考试的考查热点，它能够综合反映学生对于数学知识的理解深度、运用熟练度，以及对问题条件的转化和联想能力，建立在函数知识和方法上的不等式证明计算问题日益受到命题专家的青睐. 合理进行放缩以及构造函数是解决问题的重点，却也是学生思维的难点. 文章总结了五种构造函数的方法并通过具体的例题加以说明.

[关键词] 函数不等式类问题;整体代换;主元思想;放缩

不等式类问题是高考以及各模拟考试的考查热点，它能够综合反映学生对于数学知识的理解深度、运用熟练度，以及对问题条件的转化和联想能力. 近年来建立在纯不等式知识上的证明题或计算题已经逐渐减少，但这并不意味着不等式类问题热度的降低，相反地，建立在函数知识和方法上的不等式证明计算问题（下称函数不等式类问题）日益受到命题专家的青睐. 函数不等式类问题往往会以证明不等式的形式考查学生对于函数、导数以及不等式知识的掌握程度，以及对问题条件转化和化归的能力，学生需要熟练掌握解题技巧，灵活运用放缩、构造等手段简化问题，由此才能更好地解决函数不等式类问题，合理进行放缩以及构造函数是解决问题的重点，却也是学生思维的难点.本文中笔者总结了五种构造函数的方法并通过具体的例题加以说明，借此与各位读者探讨函数不等式类问题的题型和高效解决方法.

作差法直接构造函数

如果不等式两边是形式较为简单或者性质熟悉的基础表达式，我们可以通过移项作差直接构造函数，再通过研究新构造的函数的单调性和极值证明原不等式.

教学例题1：试证明：lnx≤x-1.

问题解答：令f（x）=lnx-x+1，则f ′（x）=-1=. 易知当x∈（0，1）时，f ′（x）>0，f（x）递增;x>1时，f ′（x）<0，f（x）递减.所以f（x）max=f（1）=0，即f（x）≤f（1）=0，lnx≤x-1，即证.

评注：本题是一道能体现作差法过程及思想的典型案例，作差法的优势在于函数构造过程简单，步骤清晰易懂，它适用于复杂度不高的不等式证明. 另外，本题的结论lnx≤x-1也是很多更复杂证明的基础步骤之一，教师可以带领学生进一步挖掘其几何意义，即函数y=lnx在点（1，0）处的切线y=x-1恒在原图像之上（切点处重合）.

等价转化，间接构造函数

有些时候原题直接给出的不等式不容易证明，我们需要对其进行等价变形，再处理转化后的不等式.

教学例题2：已知函数f（x）=lnx-x+1，试证明：1<

问题解答：当x∈（1，+∞）时，lnx>0，所以证明1<1），则g′（x）=lnx>0（x>1），所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min>g（1）=0 ，即xlnx-x+1>0（x>1），即证.

评注：原题给出的待证不等式1<1的条件下我们可以将其转化为不带分式的lnx

灵活转化，消元法构造函数

上面两种方法针对的例题具有一个特点，即不等式两边都是关于同一个变量的表达式，而某些问题中不等式两边的变量不统一，我们需要利用整体代换等方法先消元，再构造函数.

1. 整体代换，齐次式的消元构造

评注：当不等式两边的自变量不相同时，我们需要通过消元才能更好地构造函数，当表达式形式为齐次式时，我们常利用构造比值式，再整体代换的方法完成消元.

2. 非齐次式的消元构造情况

非齐次式的处理相较于齐次式更加复杂一些，总体的思路可以分为两大步，即先消元再构造.

教学例题5：已知f（x）=a--lnx（a∈R）与横轴有两个不重合的交点，其横坐标分别为x1，x2（x12.

问题解答：易知a=+lnx1=+lnx2，即=ln. 设=t（t>1），则x2=tx1，lnt=，则x1=，所以x1+x2=x1+tx1=（t+1），x1+x2-2=. 又t>1，则lnt>0，所以問题转化为证明函数g（t）=-lnt>0（t>1），g′（t）=>0，所以可得g（t）>g（1）=0，即证.

确立主要变元

主元思想对于解决多变量不等式问题有时能够起到化繁为简的关键作用，所谓主元思想，即将一个变量视作研究对象而将其他变量先视作常数，以简化问题的思想方法.

教学例题6：已知f（x）=lnx，试证明：f（b）-f（a）>（0

问题解答：即证明ln>（00），可得g′（x）=+=. 易知x>a时，g′（x）>0，即g（x）在（a，+∞）上单调递增，则代入x=b可得g（b）>g（a），即ln->0，即证.

评注：本题的不等式涉及了两个变量a，b，我们将b确立为了主要变元，而将a暂时视作常数，接下来我们只需要构造一个关于b的函数即可. 当然由于本题中a，b在表达式中的地位相近，所以我们也可以将a作为主元. 如果在句子中变量之间的地位差别较大，我们一般选择形式涉及结构较为简单的变量作为主元，例如若表达式为，显然如果将b设为主元，求导研究函数的过程将会变得很复杂，于是变量a是更好的选择.

放缩法转化常见不等式构造函数

常用不等式有时也能成为帮助我们解决问题的有力工具，在解题过程中我们可以通过放缩等转化方式，将复杂的陌生的不等式转化为简单的常见的不等式结论，例如教学例题1、2中涉及的不等式就可以应用于很多不等式证明计算中.

教学例题7：已知f（x）=ex-ax+a有两不相等的零点x1，x2（x1

问题解答：要证明f ′（）<0，即证明e-a<0，又ex1-ax1+a=0，

ex2-ax2+a=0，相减可得a=，则问题转化为证明不等式e<. 根据均值不等式可知e0），则g′（t）=2e2t-2tet-2et=2et（et-t-1），易知et>0. 再构造h（t）=et-t-1，则h′（t）=et-1>0（t>0），所以h（t）>h（0）=0，所以g（t）>g（0）=0，即证.