数学课堂也可以引人入胜

2020-07-14石志群

教育研究与评论（中学教育教学） 2020年1期

石志群

摘要：数学可以与自然、社会在真、善、美的境界中达到统一。数学课堂应该也可以引人入胜。具体的策略有：在情境中提出感兴趣的问题，揭秘自然的规律，用数学精神引领思维活动，像数学家一样思考，感悟数学表征形式的多样性与内在本质的一致性，用好“精彩”的错误。

关键词：数学教学学习兴趣问题情境数学精神数学思维

中小学生对数学学科的情感如何？数学枯燥乏味、艰深难学，可能是大部分学生的共同认知，于是，厌恶、畏惧数学学习就成为非常普遍的现象。造成这种后果的根源在于，数学学习的过程主要是沉闷无趣的课堂、繁难量大的作业，让学生既感受不到学习数学的乐趣，也享受不了学习成功的喜悦。

更为严重的是，社会普遍对数学存在这样的认识：数学是抽象的、严谨的，理解知识与解决问题的思维难度较高，是理性的;不同于语文等学科明显的感性特征，也不同于物理等学科由实验操作带来的神奇与惊异，数学本身就是冰冷的、呆板的，所以，数学学习本来就不应该也不可能充满热情和乐趣。

陈振宣先生说过：“减轻学习负担，提高教学质量的关键是激发学习兴趣，改进学习方法。只要让学生对所学内容真正感兴趣了，专注认真了，教学质量上升乃是水到渠成的必然結果。把这一条称为‘教学公理是当之无愧的。”

其实，与文学、艺术等学科一样，数学也是追求真、善、美，充满真、善、美的。它们可以从不同的侧面引导学生的审美活动。文学、艺术具有自然属性和社会属性，自然美体现的是自然界的现象和谐，社会美联系最密切的是“善”。而数学美最重要的属性是“真”，数学既是对自然属性的“精微化”，也是由人在社会活动中实现的。因此，数学可以与自然、社会在真、善、美的境界中达到统一。

故而，笔者认为，数学课堂应该也可以引人入胜，让学生感受到和文学课、艺术课一样的精神愉悦，和物理、化学等实验学科一样的发现、创造的喜悦。那么，怎样才能让数学课堂引人入胜呢？

不同学科的课堂教学有一些共同的特点。要想使课堂教学引人入胜，教师的饱满精神、全情投入，神态的和蔼可亲，语言的抑扬顿挫，讲授的深入浅出，思路的逻辑清晰……都是很有必要的。除此之外，数学课堂教学有什么特殊之处呢？

一、在情境中提出感兴趣的问题

数学学习之所以枯燥乏味，一个重要的原因是学生在机械地执行教师下达的一系列指令。而要使学生的心智投入学习过程，就必须使其心理产生动力。如果我们把知识的教学放到问题解决的过程中，或者呈现一个解决问题的过程，再让学生揭示其本质，建构相应的数学知识，就能够使学生经历有意义学习的过程，自然地调动起学习的积极性。而在具有现实真实性和理论重要性以及学生熟悉的情境中，提出感兴趣的问题（往往包含认知冲突、有价值），能激发学生的学习需求和探究欲望，使学生迅速进入激动、兴奋的研究状态。

比如，教学“百分位数”时，可以从一个学校中一个年级学生的成绩排名引入。这时，只要看其成绩所排名次，就可确定其在总体中的水平位置。但是，对于学生总体状况差不多的两个学校而言，甲校高三800名学生中的第720名与乙校高三600名学生中的第540名相比，哪一个更好一些呢？这是学生熟悉的情境，也是学生感兴趣的问题，而且具有一定的挑战性，当然能够引人入胜。

再如，引入零指数、负指数幂的概念时，如果教师只是给出规定，那么学生不仅不能理解其合理性，而且产生不了任何兴趣。如果我们来个开场白：

同学们，我们知道，25就是5个2相乘的积，34就是4个3相乘的积，即：乘方运算是一种特殊的乘法运算。那么，这里的指数可以取0吗？可以取-1吗？

学生一下子就被这个问题吸引住了：可以有0个2相乘吗？可以有-1个2相乘吗？当然不可能了！这时，我们继续引导：

是的，0个2相乘、-1个2相乘是很荒唐的！这说明到目前为止，零指数、负指数幂还没有意义。既然如此，我们有权力给它们以恰当的意义！那么你认为，如果要给20赋一个数，应该是哪个数才“恰当”呢？

通常情况下，建立一个数学对象有两种路径：基于现实含义进行意义赋予;基于数学审美进行意义赋予。而后者又有两种常见思路，即分别从数和形的角度进行意义赋予。于是，我们有下面的启发方式：

你能举出正整数指数幂在现实生活中的原型吗？比如21，22，23，…？

目的是让学生想到“细胞分裂”的实际问题。如果学生想不到，也没有关系，我们可以继续引导：

比如，一种细胞的分裂过程为：最初有1个细胞，每分裂1次，原来的1个细胞均分裂成2个细胞。那么，分裂1次、2次、3次……后分别共有多少个细胞？

……

你能由此给出20的值吗？

学生不难发现：20就是没有分裂时细胞的个数，其值为1是非常合理的。而我们则可以继续“讲授”：

我们还可以从数学的内部进行思考，比如从“数”的角度看，或者从“形”的角度看。我们先从“数”的角度进行分析。研究“数”就必然要研究其运算，指数幂的运算有哪些性质？

……

请你从这些性质出发进行指数幂概念的“推广”，你能否发现a0应该取怎样的值？

学生不难发现：在am·an=am+n中，令m=0，有am·a0=am+0=am，即a0=1;在am÷an=am-n中，令m=n，也有a0=1。而我们还可以“讲授”：

我们知道，实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系，那么，我们也可以通过数轴来研究指数幂的问题。特别地，你能在数轴上画出21，22，23，…对应的点，并通过这些点之间的关系探求20的意义吗？

学生不难画出图1，从中看出相邻两个幂之间的关系，由此“倒推”得到：要仍然满足这种关系，必须有20=1。

这时，教师可以进一步提问：

我们从运算法则和数轴两个视角，分别得到了20的意义，结果是一致的，你能说明这两个视角之间的关系吗？

……

有了上述经验，2-1的意义完全可以让学生自己去探求（可以从运算性质的角度，也可以在数轴上）。而这样的过程是充满趣味的，能给学生以成功的体验，无疑是引人入胜的！

又如，教学“充分條件、必要条件”时，通常的做法是给出若干个命题，让学生分析命题的真假及条件与结论的关系。这种过程没有动力源，学生不知道为什么要这样做，学习也就没有热情可言。而我们可以这样导入：

对于两个整数m、n，要证明m+n是偶数，只需要证明m、n均为偶数，为什么？

学生证明后，我们再追问：

这里，我们将证明“m+n是偶数”转化为证明“m、n均为偶数”。这说明“m、n均为偶数”与“m+n是偶数”之间有着怎样的关系？

学生不难发现：这说明只要“m、n均为偶数”成立，“m+n是偶数”就一定成立，即前者成立使后者成立得到充分的保证。从而，我们便可引入充分条件的概念。

二、揭秘自然的规律

对于数列概念形成的过程，教材通常给出若干例子，再提出问题：它们有着怎样的共同特征？这样的处理掩盖了提出问题的过程：怎么想到要考察这些例子的？学生不仅对材料本身缺少兴趣，更对“怎么想到这个话题的”存在疑惑，课堂沉闷就是必然的了。因此，不少教师反映，数列概念教了几十年，就是感到不顺畅、不自然。

要解决这个问题，一是要从数学研究的基本方法、过程上找思路，二是要从数学与自然的关系上求出路。将自然中的状态“数学化”，即用“数”刻画自然中的状态，构造相应的数学模型，再通过研究数学模型发现自然的规律，是数学研究中最常见的基本方法和过程。

基于这样的认识，我们可以设计这样的问题情境：

如图2，观察某株树木的枝丫数，第一年为1，第二年为1，第三年为2，第四年为3，第五年为5，第六年为8，第七年为13，第八年为21，第九年为34，第十年为55，第十一年为89，第十二年为144……将它们按年份排列起来，就是下面的一列数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

你能发现这列数有什么规律吗？

让学生思考一段时间后，我们可以继续介绍和追问：

数学家们研究发现，这一列数有许多规律。例如，从第三个数开始，每一个数都等于前两个数的和;第n个数为151+52n-1-52n;相邻两个数的比值（前一个数与后一个数之比）越来越接近于某个确定的常数。

后来，人们在研究各种类型花的花瓣数时得到表1所示的事实。表中出现的花瓣数都出现在上面的一列数中，另外花籽的排列方式及籽粒数也与这一列数有着密切的关系。

上述研究的基本过程是什么？从这个案例中，你可以发现数学研究的一种基本模式吗？

由此可以使学生了解为什么要研究“按一定顺序排列着的一列数”以及怎样研究这类问题，理解数列概念的本质。而且，这个过程是有吸引力的，课堂氛围一定会很热烈。

其实，数学的“模式”与自然界的联系是非常密切的，数学教学要善于运用这种联系激发学生的学习热情。

比如：（1）根据自由落体运动规律，路程与时间的平方成正比例，这个规律由公式s=12gt2（g为重力加速度，约为9.81米/秒2）来表示，它表示路程s是时间t的函数;（2）质量为m的物体以速度v运动时，它的动能以公式E=12mv2来表示，因此，对于给定的物体，动能E是速度v的函数;（3）导线中有电流通过时，单位时间内产生的热量以公式Q=12RI2来表示，其中R表示导线的电阻，I表示电流强度，因此，当电阻一定时，Q是I的函数;（4）锐角α相邻的直角边为x的直角三角形的面积以S=12x2tan α来表示，因此，当锐角α确定时，S是x的函数。上述四个公式可以统一成y=12ax2。

这就是从具体的变量t、s，v、E，I、Q，x、S等过渡到一般的变量x、y，从具体的依赖关系过渡到它们的统一形式的抽象过程。如果说力学、电学等研究的是与具体的量联系着的具体公式，那么，数学研究的则是与具体的量不一定有关的一般公式。正是这一般公式，揭示了自然界的一般规律——它们的统一性。

数学教学就是要让学生经历这样的过程，由此感受数学的意义与价值。如此，数学课堂就有了“情节”和“生命”，也就有了意蕴和趣味。

三、用数学精神引领思维活动

日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中，举了一个例子：“解方程 5x-7=3x+1：5x-7=3x+1→5x-3x=1+7→2x=8→x=82→x=4。即进行逐步的等价变换，使之化为最简形式，从而得到方程的解。像这样处理问题，就是数学的精神。”换句话说，如果仅仅是将上述过程作为一种操作步骤，没有了转化与化归思想的引领，那么上述过程就是机械的、没有灵魂的。

英国著名数学家、哲学家怀特海在《教育的目的》一书中，也批判了缺少精神引领的数学教学现状：“最近几年来，（在函数教学中）关于作图，一直在进行重要的改革，但是从现阶段来看，这种改革不是走向极端，就是远远不足。仅仅学会画图表是不够的。隐藏在图表背后的思想——就像枪后面的那个人——才是取得成效真正不可缺少的。”

数学的精神体现在数学的观念、意识、思想和方法等各个方面，是数学基本规律的体现。课堂教学中，让所有的活动都具有数学的精神，这样的课堂必定是引人入胜的。

学生要学习很多数学知识，将它们作为知识点碎片化地记忆，一定是不能引起学习兴趣的，也难以促进对数学本质的理解。数学审美下求简、追求统一的理性精神是最基本的数学精神。运用这一精神引领学生进行数学探究，将零碎的知识整合成关联的体系，一定是引人入胜的，也能够突出数学的本质，促进学生的理解性学习。

比如，对于求1+2+3+…+100的值，小学教师会介绍高斯运用的“配对法”（高斯当时真实的思维过程不得而知，也有可能运用的就是倒序相加的方法，但这并不影响学生基于已有知识结构进行探究），即配成50个101。那么，如何求1+2+3+…+100+101的值呢？当然，可以先求出1+2+3+…+100的值，再加上101，或者这样配对：（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+（50+52）+51=50（1+101）+51。现在的问题是：能不能将这两种情形（奇数个加数与偶数个加数）的处理方法统一起来呢？其实，只要用数学的审美眼光考察上面的配对过程，就可以发现是完全可以的。

先看奇数个加数的情形，从数学的精神追求来看“（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+（50+52）+51”这样的配对过程，就能够发现：既然和式中的101个加数的“地位”是平等的，那么，为什么到了“51”时不继续配下去呢？这是不应该的！如此继续配对后，可以发现：出现了顺序正好相反的两个等差数列1，2，3，…，99，100，101和101，100，99，…，3，2，1的和。于是，倒序相加这一等差数列的求和方法跃然纸上。再看偶数个加数的情形，同样地，如果不是从解题的功利角度看，而是从数学的精神追求看的话，也应该完整地写出和式中各个加数所对应的加数。

再如，学习了平行线的性质和三角形内角和定理后，教师可以引导学生发现它们的内在统一性（也就是平行与相交的统一性），感悟它们的本质都是平角的大小是180°（它们是平角的不同表现形态）：如图3，因为平移不改变两条直线夹角的大小，所以∠1=∠2（同位角相等或内错角相等），又因为∠2和∠3合在一起是平角，所以∠1+∠3=180°（同旁内角互补）;如图4，∠3被分成了∠4与∠5，而∠5=∠6（同位角相等或内错角相等），故∠1+∠4+∠6=180°（三角形内角和为180°）。学生能够从中感受到数学的审美意蕴与精神内核。

四、像数学家一样思考

数学思维是充满美感的，而且是一种发乎于心灵深处的感受。尤其是当我们面对数学家们当初所面对的情境（问题），像数学家们一样，用数学的思维方式去思考、探究、发现，特别是由此产生新的数学方法、数学思想、数学观念时，那种精神的享受是难以言表的。而这样的过程也就更加引人入胜了。

比如，教学“函数的奇偶性”时，就可以向学生展示、让学生经历数学家的思维：

一位名人曾经说过：“数学家都是些‘懒人。”为什么这么说呢？因为数学家们总是喜欢将新的问题转化为已经解决了的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将总体的问题转化为局部的问题。比如，他们总喜欢先研究函数的性质，再根据函数的性质解决进一步的问题，或简化研究方式，或缩小研究的范围。一个简单的情况是，如果函数的图像具有某种对称性，我们就可以只研究其部分定义域内的性质，从而推知其整个定义域上的性质。你能举出这样的例子吗？

学生思考、举例，如：y=x2的图像具有对称性，所以只要知道了[0，+∞）上的性质（如单调性），就可以知道（-∞，0]上的对应性质;y=1x的图像具有对称性，所以只要知道了（0，+∞）上的性质（如单调性），就可以知道（-∞，0）上的对应性质。教师继续提问：

那么，函数y=x4-x2+1和函数y=x3x2-1的图像的对称性如何？应该如何判断呢？

前两个函数的图像学生十分熟悉，但是，这两个函数的图像学生画不出来。这就需要判断对称性的新方法，自然就提出了如何判定函数图像关于y轴、原点对称的问题，据此可以建构偶函数、奇函数的概念。

历史上数学家们的真实探究过程对激活课堂、激发兴趣的作用巨大。比如，数学家们是怎样将正整数指数幂推广到分数指数幂、实数指数幂的，是在怎样的思想观念下创造解析几何的思想方法的，运用了怎樣的新思想推导球的体积公式，是怎样研究“哥尼斯堡七桥问题”的……这些都是教学设计中可以运用的好素材。

五、感悟数学表征形式的多样性与内在本质的一致性

数学对象可以有多种表征形式，如代数的、几何的、向量的等。多样的表征形式为我们提供了使数学课堂引人入胜的激发因子。而教师启发、引导的方法也非常简单：我们可以怎样表示这个对象？这个对象还可以有不同形式的表示吗？……

比如，对于前面的等差数列求和问题，教师只需问一句“我们能用‘形的形态有序地表示这些‘数吗？”，学生就会兴奋地投入到探求直观化途径的思维活动中。通过思考与交流，自然地可以获得如图5、图6和图7所示的三种表征方式。再联想到平面几何中求面积的转化方法“三角形化四边形”“不规则图形化规则图形”，通过拼图的方法自然可以得到倒序相加的求和技巧。

事实上，等差数列前n项和公式Sn=a1+an2n与梯形面积公式的形式是一样的。于是，其又有着如图8所示的表征方式。这说明，其推导思路的几何基础就蕴含在这个表征中。如果据此进行教学设计，课堂上学生的兴致一定很高。

此外，从上面的多种表征形式可以看出，几何图形的“割补”与代数式子的“拼凑”具有内在本质的一致性，它们是部分与整体、特殊与一般、未知与已知之间的联系在两个不同表征形态下的表现形式。如果我们在教学中揭示出，特别是引导学生感悟到这种一致性，那么，学生的兴趣一定会得到极大的激发，这样的课堂也一定会生机盎然。

六、用好“精彩”的错误

爱因斯坦说过：“只有那些从来没有尝试过新事物的人才会永远不犯错误。” 在长期的教学过程中，我们会遇到大量的错误。错误可以是“精彩”的吗？当然可以！很多非粗心产生的错误，都和学生的某种认知缺陷或障碍有关，可以激发学生的认知冲突，将学生引入“愤悱”的心理状态，从而引发学生的积极反思，促进学生的深刻理解。从数学史上看，有些错误甚至对数学的发展起到了推动作用。因此，错误是宝贵的教学资源，我们要充分地利用它，提升学生的学习兴趣，使数学课堂引人入胜。

有时，数学直觉会让我们产生错误，纠错的方法就是利用数学知识进行逻辑推理。这可以在激发学生学习欲望的基础上，促进其自主提出问题。

比如，教学“圆的周长”时，可以这样开场：

假定地球赤道是一个完美的圆周，其长度为40000 km。现在我们把一根40000 km长的绳子加长1 m，并将其均匀地放置在赤道所在平面上（与赤道圆心相同）。请问：能不能把一只老鼠放在绳子的下面？

学生基本都会认为不可能，因为1 m相对于40000 km真的太小了，估计绳子围成的圆与赤道圆之间的距离一定非常非常小。这时，我们可以指出学生的错误：

其实是可以的，因为经过计算，加长了1 m后，两个圆之间的间距约为15.9 cm。

这样，学生就会自主提出问题：这是怎样算出来的呢？圆的周长与半径有什么关系？……

有时，数学推理本身也会产生错误，纠错的方法就是仔细检查推理过程。这可以在激发学生学习欲望的基础上，提升其思维的批判性和严密性。

比如，解方程：3-21+x=3x+12-x。有学生这样做：将方程左边通分并合并，得3x+11+x=3x+12-x;因为两个分子相等，所以两个分母也必须相等，即1+x=2-x，解得x=12。也有学生直接去分母求解，多出了一解：x=-13。这是怎么回事？……

总之，无论是知识教学，还是解题教学，让数学课堂引人入胜的策略和方法很多，上面介绍的仅仅是其中的一部分。

最后需要指出的是，引人入胜不是追求热闹，更不是哗众取宠，而要有数学的趣味、数学的诗意、数学的内涵、数学的灵魂，同时也是心情的愉悦、精神的享受，是从内心感受到数学的形式之美、内容之美、结构之美、规律之美、思想之美、观念之美、精神之美……

参考文献：

[1] ﹝日﹞米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.