高中数学课堂教学中培养学生解题能力的策略

梁贫

【摘 要】本文以直观想象素养培养为支点，解读数形结合与解题能力的关系，论述利用数形结合思想培养学生解题能力的策略：激发兴趣、唤醒学生对数形结合的关注;多元途径、聚焦问题以提高解题能力。

【关键词】高中数学 解题能力 数形结合

《普通高中数学课程标准（2017 版）》（下文简称《数学标准》）明确指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学”，换言之，高中数学解题能力培养的关键在于“数”“形”两类要素及相互关系上。借助数形结合思想，不仅可以有效地构建“数”和“形”的内在联系，而且能便捷地建立解决数学问题的直观模型，从而降低问题理解难度、获取问题解决方法。值得注意的是，解题能力不能等同于解题技巧，《数学标准》在高中数学考核的命题原则中指出：“注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧，融入数学文化。”尤其在高中数学课堂教学过程中，如果混淆解题能力和解题技巧的概念，那么容易将数形结合思想退化成数形结合工具。

一、以直观想象素养培养为支点，数形结合与解题能力的关系解读

结合高中数学课堂教学实际，数形结合是一种数学思想，但大多数情况下，又被视为一种具体方法。换言之，数形结合的理论性、实践性特征是高度融合的。这就要求教师在高中数学课堂教学解题能力培养过程中，合理把握数形结合理论价值、实践价值的平衡性，避免学生将其视为一种狭隘的解题工具。《数学标准》明确指出“直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段”，同时又指出，要培养学生数学直观想象核心素养，数形结合是一种必然的渠道。以“形”的具象化功能，将“数”的关系表达出来，反之，利用“数”的抽象化功能，将“形”的关系进行概括、简化。据此可将直观想象核心素养作为一个支点，形成“数形结合（起点）→直观想象（支点）→解题能力（终点）”的逻辑思维模型。这样，在以数形结合作为起点向直观想象这一支点的发展过程中，就能有效地保证数形结合作为一种数学思想的价值;并在进一步向解题能力这一终点发展的过程中，体现数形结合作为一种数学方法的作用。

二、以课堂教学模式为前提，利用数形结合思想培养学生解题能力的策略

（一）激发兴趣、唤醒学生对数形结合的关注

立足我国学校教育视阈之下，数学课程中采取数形结合思想方法进行解题是一种常态。高中生可以持续初中阶段数形结合的应用规律，自主进行探索。但对于老师来说，在高中数学课堂教学中要注意结合教材知识点，创设丰富情境来激发学生兴趣，进一步唤醒学生对数形结合的关注。

1.现实生活情境。根据认知情境理论，知识并非“事实与规则的集合”，而是人与环境之间的“动态建构与组织”，学习者（个体）为与外界达成相对协调的交互状态，就必须不断调整自己的适应力。从这一点出发，借助生活情境能够更好地提高学生解题能力。例如，在高中数学“统计与概率”的教学过程中，可以通过列举“彩票中奖号码”“选举投票预测”等生活中存在的事物，将其转化成数学问题，并结合数形结合思想加以解决。当然，在高中数学课堂教学模式下，生活情境的概念需要狭义化，以便将数形结合思想应用于解题能力培养的过程中。可借助生活气息情境辅助开展数学活动，进行交流、探讨。例如，教师可以利用生活中的电源开关中的“开”和“闭”代表数学逻辑中的“且”和“或”，并画出相应的图进行展示，以便活到更好地理解数学中“且”和“或”的概念。

2.数学文化情境。《数学标准》指出“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分”。但大多数情况下，数学文化在高中数学课堂教学活动中被边缘化，尤其在解题能力培养过程中，数学文化的价值很少被重视。事实上，數学虽然是自然学科，是理性的，但它仍然有独特的人文性特质。例如，从“形”来看，数学“形”的审美价值，具有和谐美、对称美;从“数”的角度看，具有抽象美、简洁美。创设数学文化情境，有利于学生贯通数形结合的原理。例如，在函数的基础上进行表达式变形，能够形成与之对应的曲线图形，能够让学生深刻感知数学魅力。

3.游戏、故事情境。解题能力的培养是循序渐进、久久为功的，同样，唤醒学生对数形结合思想的关注，不可一蹴而就。考虑到高中数学课堂教学内容资源、时间、工具等条件限制，我们往往无法开展大规模的实践体验活动。因此我们可通过游戏、故事情境创设等，冲淡高中数学的枯燥乏味之感，不断维持学生的学习兴趣。

（二）多元途径、聚焦问题以提高解题能力

1.从“文本概念”到“数形概念”的解题能力培养。概念是高中数学知识体系的基本构成要素，也是高中数学课堂教学中的基础讲解对象。从教材内容组织形式出发，概念大多以文本形式呈现，具有高度概括性、抽象性、符号性的特征。对于学生而言，对此有较高的理解难度。如果将概念直接作用于解题能力培养，那么很难发挥概念作为知识点的数学价值。因此，可借助数形结合思想来阐释数学概念，提高其在解题过程中的应用效率和效果。

以高中数学中“椭圆”概念为例，教材中给出的定义为“平面内与两个定点 F1、F2 距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹”。显而易见，在这种文本概念的描述形式下，学生很难产生直观想象的画面。我们知道，文本概念是纯粹的数量关系，轨迹是“点的集合”，也就是动态的点累积形成的图形。如果引入数形结合思想，那么就可以将椭圆概念进一步形象化。教师可通过指导学生进行如下实践获得体验：首先，取一张白纸，按照文本概念的要求，在任意位置上标注两个点 F1、F2，然后再确定一个“常量”，可以用一段大于|F1F2|的细线代替。将细线的两端固定在 F1 和 F2 上，绷紧细线形成一个非等边三角形（必要条件）。然后让学生在细线上固定笔尖、以绷紧状态运动，观察闭合后的图形状态，即得到椭圆图形。这个过程直观地完成了从“文本概念”到“数形概念”的转化。

理解数学概念是解决相应数学问题的前提，在上例中，如果学生能透彻地理解椭圆概念，那么学生将能更好地理解接下来要学习的双曲线、抛物线概念。事实上，“文本概念”到“数形概念”转化的过程并不复杂，如上例通过动手操作画椭圆，就是一种从概念的“数”形式向“形”形式进行的一种数开结合思想，它能极大地减轻理解负担，并在转化过程中，使学生更清晰地理解椭圆的几何意义，P={M||MF1|+|MF2|=2a} 内涵。

2.“经典例题”与“经典错误”的解题能力培养。顾名思义，解题能力面向的是“题”，数形结合思想作用对象也应放在“题”本身。高中数学课堂教学中接触的题型，以经典例题和经典错题两类为主，其中，经典例题又和概念、定理、模型等存在密切的关系，甚至直接源自某一知识点的转化。学生通过掌握经典例题的解法思维、技巧，可在同类型解题过程中做到事半功倍。以经典错题为基础的解题能力培养，本质上是一种纠错、避错素养培养，旨在发挥“引以为戒”的作用。数形结合思想方法在应用过程中，对这两种题型需要进行区分对待。相对而言，通过经典错题提升学生解题能力，既可以强化学生对知识点的掌握，又可以有效规避常见错误，更适合在课堂教学模式下应用。

例如，变量 x 和 y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最小值是。

A.2    B.3    C.4    D.5

学生容易受到惯性思维的影响，在利用数形结合思想解题时，根据题目简单地画出图形，然后得出答案。在上面问题中，最常见的错误是选择答案“A.2”，其理由见下图 1。

但是稍微观察就不难发现，当动直线经过 C（2，0）时，明显不符合 y≥1 的要求。如图 2 所示，需要将 C 排除在可行域之外，正确答案应该为“B.3”。以上题目的“经典错误”在于，在进行数形结合过程中没有充分地将“数”和“形”的条件进行匹配。

3.“数形转化”向“数形结合”转换的解题能力培养。鉴于高中数学知识点多、内容抽象、关联度高的特征，所谓解题能力，本质上是学生面对题目时的分析能力、归纳能力、推理能力、计算能力等一系列综合能力，它的形成是一个从量变到质变的积累过程。同样，数形结合思想下的解题能力培养，需要经过一定的学习过程。整体上可归纳为数形转化向数形结合转换，其中，数形转化是一个相互逆转的过程。教师要让学生充分理解，由数向形的转化是“抽象—具象”的过程，重点在于降低理解难度、形成直观体验;而“由形向数”的转化则是“具象—抽象”的过程，其价值在于整合问题已知条件、形成解题步骤、获取正确答案。建立在高中数学课堂教学中的数形转化能力训练，可与具体知识点结合，注重功在平时。例如，在講解圆锥曲线类问题时，要善于运用图形表达形式来阐释性质;在学习“点、直线、平面之间的位置关系”时，要善于运用向量、平行、相交等符号进行表达，让学生在熟练掌握数形转化之后，再谋求解决问题过程中的数形结合应用，这样方能循序渐进地提高解题能力。

高中阶段数学解题能力的培养是一个动态发展过程，可运用的解题思想、方法很多。本文主要从“直观想象”这一核心素养切入，倡导数形结合思想方法的应用。在具体策略方面，可从两个方面同时展开。其一是唤醒学生对数形结合的关注，唯有意识上形成重视，才能在行动上落实。其二是聚焦问题本身提高解题能力，无论是面向概念、定理，还是经典例题、错题，以数形结合思想培养学生解题能力，都要落实在具体问题层面上。

【参考文献】

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[2]陈 岩.高中数学教学中学生解题能力的培养策略[J].西部素质教育，2018，（4）

[3]王录金.高中数学教学中学生解题能力的培养策略[J].数学学习与研究，2018（12）

[4]庄海军.高中数学课堂教学中学生解题能力的培养策略[J].中国校外教育，2017（08）

[5]丁红梅.新课程背景下高中数学课堂教学中学生创新思维能力的培养策略[J].中国校外教育，2015（22）

【作者简介】梁 贫（1977— ），女，汉族，籍贯广西兴业，中学一级教师，现就职于玉林市兴业县第二中学，研究方向为数学教学。

（责编 卢建龙）