路连通空间与弧连通空间

麦结华

(广西财经学院 信息与统计学院， 广西 南宁 530003 )

连通性是拓扑学中最重要、最基本的概念之一。先回顾一些有关的定义：

定义1[1-2]设X是一个拓扑空间。

① 若X不能分拆成它的两个非空的不相交的开集的并集，则称X是一个连通的空间。

② 任一个连续映射f:[0,1]→X都称为X中的一条路。设x,y是X中的两个点。若f(0)=x,f(1)=y,则称f是一条从x到y的路(或者，称为连接x与y的路)。若对任x,y∈X均存在一条从x到y的路，则称X是一个路连通空间。

③ 任一个与区间[0,1]同胚的空间都称为一个弧。设A是一个弧，取一个同胚h:[0,1]→A，称h(0)和h(1)为A的两个端点。若对X中任两个不同的点x,y均存在一个以x,y为两端点的弧，则称X是一个弧连通空间。

显然，弧连通空间的定义的条件强于路连通空间。因此，本文有如下的定理：

定理1每一个弧连通空间都是一个路连通空间。

反过来，并非每一个路连通空间都是弧连通空间。例如，如果X是一个平凡空间(即X的拓扑仅由X本身和空集组成)，并且X的基数小于连续统的基数，则X是一个路连通空间但不是一个弧连通空间。

但是，对于大多数的人们经常讨论的空间来说，路连通空间也一定是弧连通空间。因此，对于此类空间来说，路连通空间的定义与弧连通空间的定义等价。具体地说，本文有如下的定理：

定理2每一个路连通的Hausdorff空间都是一个弧连通空间。

下面将给出定理2的一个证明。为叙述方便，笔者先建立一些定义。

定义2设X是一个Hausdorff空间，f:[0,1]→X是一个连续映射，即，f是X中的一条路。又设 0≤r

① 设z∈f([0,1])。若f-1(z)含有不只一个点，则称z是f的一个返回点。

② 若f(r)=f(s)，并且f|[r,s]不是一个常值映射， 那么，称区间[r,s]为f的一个回归时段。

若[r,s]是f的一个回归时段，并且f没有一个比[r,s]更长的回归时段，那么，称[r,s]是f的一个最长的回归时段。

③ 若f|[r,s]是一个常值映射，则称[r,s]是f的一个停滞时段。

若[r,s]是f的一个停滞时段，并且f没有一个包含[r,s]的更长的停滞时段，那么，称[r,s]是f的一个极大的停滞时段。

④ 设[r,s]是f的一个回归时段。定义f1:[0,1]→X为f1|([0,r]∪[s,1])=f|([0,r]∪[s,1])，并且对任t∈[r,s]均有f1(t)=f(r),则称f1为f的[r,s]-常值化。

⑤ 若f(r)=f(s),则定义g:[0,1+r-s]→X为g(t)=f(t)，对任t∈[0,r];g(t)=f(t+s-r)，对任t∈[r,1+r-s],称g为f的[r,s]-切除。又再定义h:[0,1]→X为h(t)=g((1+r-s)t)(对任t∈[0,1]),称h为g的 时间[0,1]-复原。

⑥ 若f|[r,s]:[r,s]→X是一个单射，则称[r,s]是f的一个严格单调时段。

若[r,s]是f的一个严格单调时段，并且f没有一个包含[r,s]的更长的严格单调时段， 那么， 称[r,s]是f的一个极大的严格单调时段。

上面的定义实际上显示了本文证明定理2的基本的想法：为了将X中的一条从x到y的路f:[0,1]→X改造为一个以x,y为两端点的弧，笔者可以先将f的回归时段常值化，再将各停滞时段切除，然后再让时间[0,1]-复原。

但仅有上述想法是不够的。原因是，将f的各回归时段常值化之后，可以得到的一条无回归时段的路。但这条路可能含有无穷多个两两不交的停滞时段，并且这些停滞时段的总长度为1。将这些停滞时段都切除之后，剩下的可能是一个勒贝格测度为0的康托集。如果出现这种情形，处理起来便比较麻烦。为了处理这种比较麻烦的情形，下面先给出几个引理,在这些引理中，若无附加说明，本文总假定X是一个Hausdorff空间，x,y∈X，x≠y,并且0≤r

引理1设f:[0,1]→X是一条连接x与y的路，则：

①f的极大的停滞时段两两不相交;

② 设[r,s]是f的一个最大的回归时段，[r′,s′]是f的一个停滞时段。若[r′,s′]∩[r,s]≠∅，则[r′,s′]⊂[r,s]。

引理2设f:[0,1]→X是一条连接x与y的路，[r,s]是f的一个最大的回归时段，f1:[0,1]→X是f的[r,s]-常值化，那么，本文有：

①f1([0,1])⊂f([0,1]);

② 设a∈[0,1],U是[0,1]中a的一个连通的邻域。若U⊂[r,s],则f1(U)=f1(a)=f(s)。若U⊄[r,s],则f1(U)⊂f(U)。(这意味着，若V是f(a)在X中的一个邻域，则当f1(U)⊂V时有f1(U)⊂V。因此，f1在[0,1]中的任一点a均连续);

③ 若 0≤a

④ 设f的极大停滞时段的集合为S，f的含于[r,s]之中的极大停滞时段的集合为T,又设f1的极大停滞时段的集合为S1,则S1=S∪{[r,s]}-T。

以上两个引理均易据定义直接验证，在此从略。

引理3设f:[0,1]→X是一条连接x与y的路，则存在一条连接x与y的路h:[0,1]→X使得x与y均不是h的返回点，h([0,1])⊂f([0,1]),并且h不含有回归时段。

证记f0=f。若x不是f0的返回点，则直接令f1=f0。若x是f0的返回点，取最大的s0∈[0,1]使得f0(s0)=x,令g0是f0的[0,s0]-切除，又令f1是g0的 时间[0,1]-复原。

若y不是f1的返回点，则直接令f2=f1。若y是f1的返回点，取最小的r1∈[0,1]使得f1(r1)=y,令g1是f1的[r1,1]-切除，又令f2是g1的 时间[0,1]-复原。

若f2不含有回归时段,则直接令f3=f2。若f2含有回归时段，设[r2,s2]是f的一个最长的回归时段，令f3是f2的[r2,s2]-常值化。

假设对某一个整数n≥ 3,本文已经定义了fn:[0,1]→X。若fn不含有回归时段， 则直接令fn+1=fn。若fn含有回归时段,设[rn,sn]是fn的一个最长的回归时段，令fn+1是fn的[rn,sn]-常值化。

如此下去，可得到一个无穷序列f0,f1,f2,…。

若对所有的整数n≥ 2都有fn+1≠fn,则{0},{1},[r2,s2],[r3,s3],[r4,s4],… 是两两不相交的连通闭集。令U=∪{(rn,sn):n=2,3,4,…}。显然，对任z∈[0,1]-U及k≥ 2,本文总有fk(z)=f2(z)。而对任k>n≥ 2 及z∈(rn,sn),总有fk(z)=fn(rn)。因此序列f0,f1,f2,… 逐点收敛到一个映射h:[0,1]→X。注意到h在U的每一个连通分支上都是常值映射，可知h在U的每一点连续。而对任z∈[0,1]-U及z在[0,1]中的任一个连通邻域W,有h(W)⊂f2(W),因此从f2在z这一点连续亦可提出h在z这一点连续。显然，h不再含有回归时段，并且x和y不是h的返回点。因此，h满足引理3的条件。

若存在某一个整数n≥ 2使得fn+1=fn,则对所有的整数m≥n都有fm=fn。此时，令h=fn即可满足引理3的条件。引理3证完。

引理4设f:[0,1]→X是一条不含有回归时段的路，则：

① 对任t∈[0,1],f-1(f(t))总是一个连通闭集，并且，当f-1(f(t))含有不只一个点时,f-1(f(t))是f的一个极大的停滞时段;

② 若(r,s)与f的任一个极大停滞时段都不相交， 则[r,s]是f的一个严格单调时段。

据定义2容易直接验证引理4,在此从略。

定义3[3]① 设J=[a,b]是一个闭区间。对0

② 设J1,J2,J3,… 是开区间(0,1)中的无穷多个两两不相交的闭区间，又设U为这些闭区间的内部的并集,K=[0,1]-U。若U在[0,1]中稠密，则称K是[0,1]中的一个康托集。需注意的是，按照这里的定义，[0,1]中的任一个康托集K都含有0 和1这两个点。

若拓扑空间Y的子空间X与[0,1] 中的一个康托集K同胚，则称X是Y中的一个(拓扑的)康托集。笔者[4]曾给出X是康托集的一个充分必要条件的一个证明。

一般地，对每一个n>0,在KS,n-1确定后，将KS,n-1的每一个连通分支的正中间的长度为cn的区间的内部挖去，所得到的集合记为KSn。显然，KSn有2n个长度相同的连通分支，每一个连通分支都是一个闭区间。

特别地，若S=(1/3,1/32,1/33,…),则称KS为 3分康托集。

下面将此3分康托集记为K3。容易算出3分康托集K3的勒贝格测度为0。

④ 设A和B是实数轴R上的两个不相交的非空连通集合。若存在a∈A和b∈B使得a

⑤ 设J1,J2,J3,… 是一个无穷序列。令N为所有的正整数的集合。又设p:N→N是一个双射。称序列Jp(1),Jp(2),Jp(3),… 为序列J1,J2,J3,… 的一个重新排列。

⑥ 设J1,J2,J3,… 是开区间(0,1)中两两不相交的闭区间的无穷序列，I1,I2,I3,… 也是开区间(0,1)中两两不相交的闭区间的无穷序列。又设J0=I0={0},J-1=I-1={1}。记N+=N∪{-1,0}。如果存在双射p:N+→N+和q:N+→N+使得如下的两个条件成立:

(a) 对任i,j∈N+,当Jp(i)

(b)p(0)=q(0)=0,p(-1)=q(-1)=-1。

那么，称序列J1,J2,J3,… 和I1,I2,I3,… 可在重排后具有相同的序。

命题1设K和L都是[0,1]中的康托集，则存在一个同胚h:[0,1]→[0,1]使得h(K)=L,并且h(0)=0。

证设J1,J2,J3,… 及U以及K=[0,1]-U如定义3之①中所述。同样地，因L也是[0,1]中的康托集，故存在(0,1)中两两不相交的可数个闭区间I1,I2,I3,… 使得L=[0,1]-V,其中V是闭区间I1,I2,I3,… 的内部的并集，并且V在[0,1]中稠密。令J0=I0={0} 和J-1=I-1={1} 如定义3之⑥中所述。对任n∈N,记Nn={1,…,n}。

断语1序列J1,J2,J3,… 和I1,I2,I3,… 可在重排后具有相同的序。

断语1的证明本文只需构造出一对满足定义3之⑥中所述的条件的双射p:N+→N+和q:N+→N+。步骤如下:

① 按照定义3之⑥中的条件(b),只能取p(0)=q(0)=0 和p(-1)=q(-1)=-1。然后，取p(1)=q(1)=1。

② 假设对某一个n∈N,已经对每一个i∈Nn∪ {-1,0} 定义了p(i)和q(i),并且它们满足定义3之⑥中的条件(a)(限于 {i,j} ⊂Nn∪{-1,0} 的情形)。需继续定义p(n+1)和q(n+1)。分如下两种情形考虑:

情形1当n为奇数时，令Mn=N-{p(i):i∈Nn},同时令p(n+1)=minMn。因V在[0,1]中稠密，且I1,I2,I3,… 两两不相交的，故此在(0,1)-∪{Iq(i):i∈Nn} 的任一个连通分支中均含有集合{Ii:i∈N} 中的无穷多个区间。于是，本文可以选取N-{q(i):i∈Nn} 中的一个数作为q(n+1)使得定义3之⑥中的条件(a)对任 {i,j} ⊂Nn+1∪{-1,0} 成立。

情形2当n为偶数时，令Mn=N-{q(i):i∈Nn},同时令q(n+1)=minMn。依据类似于情形1中所述的的理由，可以选取N-{p(i):i∈Nn} 中的一个数作为p(n+1)使得定义3之⑥中的条件(a)对任 {i,j} ⊂Nn+1∪{-1,0} 成立。

按照归纳法，笔者完成了双射p:N+→N+和q:N+→N+的定义。从定义的过程中可以看出这一对双射满足定义3之⑥中所述的条件。断语1证完。

对任n∈N∪{-1,0},任取一个保持定向的(即递增的)同胚hn:Jp(n)→Iq(n)。令E=∪{Jn:n∈N+} 。则U⊂E,K∪E=[0,1],并且K∩E=E-U恰是由 0,1 以及各区间Jn的端点组成的集合。定义hE:E→E为hE|Jp(n)=hn(对任n∈N∪{-1,0})，则hE也是一个同胚，并且，由定义3之⑥中的条件(a)知hE是递增的。

现在定义映射h:[0,1]→[0,1]如下:

① 对任u∈E,令h(u)=hE(u)(这意味着h是hE的扩张);

② 对任u∈K,因U在[0,1]中稠密，故存在J1,J2,J3,… 的子序列Jp(i(u,1)),Jp(i(u,2)),Jp(i(u,3)),… 收敛于u(即，当k趋于∞时，u与区间Jp(i(u,k))的距离趋于0,并且Jp(i(u,k))的长度也趋于0)。由定义3之⑥中的条件(a)知相应的序列Iq(i(u,1)),Iq(i(u,2)),Iq(i(u,3)),… 也收敛于[0,1]中的一点vu。不难证明vu∈L,并且vu只与u有关而与收敛于u的子序列Jp(i(u,1)),Jp(i(u,2)),Jp(i(u,3)),… 的选取无关。于是，本文可以定义h(u)=vu。需注意的是，当u∈K∩E时，在情形②中定义的h(u)与情形①中定义的h(u)相同。

由定义3之⑥中的条件(a)知按上述步骤定义得到的映射h:[0,1]→[0,1]是严格递增的，因而h是一个单射。反过来，依据V在区间[0,1]中稠密这一条件不难证明h是一个满射。因区间上严格递增的满射必定是一个同胚，故h是一个同胚，并且由h(U)=hE(U)=V可推出h(K)=h([0,1]-U)=[0,1]-V=L。命题1证完。

引理5设f:[0,1]→X是一条连接x与y的不含有回归时段的路,并且x与y都不是f的返回点。若f的所有的极大停滞时段的并集在[0,1]中稠密，则f([0,1])是一条连接x与y的弧。

证由引理的条件知f有无穷多个两两不相交的极大停滞时段，它们都含于(0,1)之中。设将所有这些极大停滞时段排成序列，设为I1,I2,I3,…,又设这些极大停滞时段的内部的并集为V,令L=[0,1]-V,则L是一个康托集。

令数列S=(1/22,1/24,1/26,…),同时令S-康托集KS如定义3之③中所述，则KS的勒贝格测度为 1-(1/22+1/23+1/24+…)=1/2。于是，对任n>0,KS与KSn的任一个连通分支的交集的测度都是1/2n+1。设U=[0,1]-KS,又设U的各连通分支的闭包依次为J1,J2,J3,…。记K=KS。

因U和V均在[0,1]中稠密，据命题1知存在一个同胚h:[0,1]→[0,1]使得h(K)=L,h(U)=V,并且h(0)=0。令g=fh:[0,1]→X，则g也是一条连接x与y的不含有回归时段的路,x与y都不是g的返回点，并且J1,J2,J3,… 就是g的极大停滞时段。对任n∈N,设Jn=[an,bn]。

对[0,1]中的任一个勒贝格可测集W,以μ(W)表示W的勒贝格测度。定义映射η:[0,1]→[0,1/2]为:

η(t)=μ([0,t]∩K),对任t∈[0,1],

则η是一个单调递增的函数，η(0)=0。由μ(K)=1/2知η(1)=1/2。因对 0≤t

另一方面，对0≤t0。类似地，若bk0。因此，本文有：

断语2对任{t,w} ⊂[0,1],当且仅当t与w属于g的同一个极大停滞时段时η(t)=η(w),即，当且仅当g(t)=g(w)时η(t)=η(w)。

记A=g([0,1])。由断语1知可以定义一个映射φ:[0,1/2]→A为φ=gη-1,并且此φ是一个双射。本文有：

断语2φ:[0,1/2]→A是一个连续映射。

断语2的证明考虑A中的任一个闭集Y。因g是连续的，故g-1(Y)是[0,1]中的闭集。因[0,1]紧致，故g-1(Y)也紧致。因η连续，故ηg-1(Y)也是[0,1/2]中的紧致集，从而φ-1(Y)=ηg-1(Y)是[0,1/2]中的闭集。这意味着φ是一个连续映射。断语2证完。

因φ是一个双射，[0,1/2]是一个紧致空间，A是一个Hausdorff空间，由断语2知A与[0,1/2]同胚，因而A=f([0,1])是一个弧。引理5证完。

引理6设f:[0,1]→X是一条连接x与y的不含有回归时段的路,并且x与y都不是f的返回点。则f([0,1])是一条连接x与y的弧。

证令B为f的所有的极大停滞时段的并集的闭包。B=[0,1]的情形已在引理5中讨论过了。下面假定[0,1]-B≠∅。令C={wn:n∈N} 是(0,1)-B的一个可数稠密子集。对任n∈N,令dn=1/2n,定义映射λ:[0,1]→[0,2]为:

λ(v)=v+∑{dn:n∈N,并且wn

则λ是一个严格递增的函数，λ(0)=0,λ(1)=2,并且当v∉C时λ在点v处连续。但当v∈C时λ在点v处仅左连续而不右连续，并且对任n∈N,当v→wn+0 时有λ(v)→λ(wn)+dn。

反过来，定义映射μ:[0,2]→[0,1]为：

μ(z)=λ-1(z),对任z∈λ([0,1]);

μ(z)=wn,对任n∈N和z∈[λ(wn),λ(wn)+dn]。

因对任v∈[0,1]和u∈[v,1]均有λ(u)-λ(v)≥u-v,并且μ在[0,2]-λ([0,1])的每一个连通分支的闭包上取常值，故μ是一个单调递减的连续函数。定义h:[0,1]→[0,2]为h(v)=2v(对任v∈[0,1])。令g=fμh:[0,1]→X。则g是一条连接x与y的不含有回归时段的路,x与y都不是g的返回点，并且g的所有的极大停滞时段的并集在[0,1]中稠密。于是，据引理5知f([0,1])=g([0,1])是一个弧。引理6证完。

现在重述定理2并完成该定理的证明。

定理2每一个路连通的Hausdorff空间都是一个弧连通空间。

证设X是一个路连通的Hausdorff空间，x与y是X中不相同的两个点。令f:[0,1]→X是一条连接x与y的路。据引理2知存在一条连接x与y的路h:[0,1]→X使得x与y均不是g的返回点，h([0,1])⊂f([0,1]),并且h不含有回归时段。据引理6知h([0,1])是一个弧。因此，X是一个弧连通空间。定理2证完。

从引理6的证明和命题1可以得到如下的有趣的命题:

命题2设X是一个拓扑空间，A是X中的一个弧。那么，存在一条路f:[0,1]→A以及[0,1]中的一个康托集K使得K的勒贝格测度为0,并且f限制在[0,1]-K的每一个连通分支的闭包上都是常值映射。

证因A是一个弧，故存在一个同胚h:[0,1]→A。据引理6的证明，本文可以在[0,1]中插入无穷多个时间段，然后将h改变为另一条路g:[0,1]→A,这条路g有无穷多个极大停滞时段J1,J2,J3,…,这些极大停滞时段的并集在[0,1]中稠密，从[0,1]中去掉这些极大停滞时段的内部之后，得到[0,1]中的一个康托集L。据命题1,存在一个同胚η:[0,1]→[0,1]使得η(K3)=L,此处K3为3分康托集，如定义3之③中所述，其勒贝格测度为0。令f=gη:[0,1]→A。则f满足命题2的条件。

注3如果将一条路f:[0,1]→A看作是一个运动着的点沿着弧A从一个端点走向另一个端点的过程，将[0,1]看作是时间区间，如果f及K如命题2中所述，那么，由于[0,1]-K的勒贝格测度为1,并且f在[0,1]-K的每一个连通分支的闭包上都取常值，便可以认为这个动点在100 % 的时间里都是停滞不前，而f能从弧A的一个端点走向另一个端点，其有效的移到都发生在时间的集合K之中。但K的勒贝格测度为0,所以可以认为f只用了0 % 的时间即走完全程。当然，这0 % 的时间不能连在一起，只能分散在一个测度为0的康托集K之中。

注4下面的定理3是众所周知的。例如，定理3可从文献[5]中254页的定理6和定理1推出。

定理3每一个局部连通的连续统都是弧连通的。

借助于定理3也可给出定理2的一个证明。但本文给出的定理2的证明与借助于定理3得到的证明完全不同。本文给出的证明的特点是不需对Hausdorff空间X的结构作细致的分析。本文给出的证明只需考虑如何将一个连接x与y的连续映射f:[0,1]→X改造为一个连接x与y的连续的单射h:[0,1]→X。