加正规权Bergman空间上的Toeplitz算子

杨丽虹，王晓峰，夏 锦

（广州大学数学与信息科学学院，广州 510006）

引言

以D表示为复平面C中的单位开圆盘，H（D）记为D上解析函数全体的函数。若函数ω：D→［0，∞），在D上可积，则称为权函数。对于任意z∈D若权函数满足ω（z）=ω（），则称为径向权。给定0＜p＜∞和权函数ω，定义 Lebesgue空间（D）是D由上满足条件

的全体Lebesgue可测函数f组成的空间，其中dA（z）=dxddrdθ是D上正规化的Lebesgue面积测度。加正规权的 Bergman空间（D）是由（D）中全体解析函数组成。为了方便，下文在未说明的情况下将（D）和（D）记为和。一般地，将记为由标准的径向权 （α+1）（1）α所诱导的经典加权Bergman空间，其中α∈（-1，∞）。

为了方便，用A≾B表示存在与变量A，B无关的常数C＞0使得A≤CB，而AB表示A≾B和B≾A同时成立。

其中C=C（ω）＞0为常数，则记为ω∈进一步，若ω∈且满足条件

则称ω为正规权函数，记为ω∈R。文献［1］中的式（4.4）～式（4.6）是一些权函数为正规权的例子，更多关于R和的内容可参见文献［2］。若ω为D中径向权，则易知对加径向权Bergman空间，按范数收敛可以得到在D的紧子集上一致收敛［3］，于是是的闭子空间。从到的正交投影Pω是一个积分算子，形如

本文将在“Toeplitz算子的有界性和紧性”部分讨论由投影Pω诱导的积分算子——Toeplitz算子。若μ为D上正Borel测度，以μ为符号且由投影Pω诱导的Toeplitz算子定义为

若 dμ=φωdA，其中 φ为非负函数，则Tμ=Tφ，即Tμ（f）=Tω（fφ）。若 ν∈ R，T是有界线性算子，定义T的Berezin变换为

Toeplitz算子的研究是近几十年来受广泛关注的一个课题，许多 Toeplitz算子的研究都是在 Bergman空间［4-9］上进行的。Luecking［6］第一次探究以测度为符号的Toeplitz算子。Zhu［7］刻画了单位圆盘上正符号的Toeplitz算子的有界性、紧性和Schatten类性质。在文献［4］中，作者利用Carleson测度以及Berezin变换描述了在加权Bergman空间上由正Borel测度诱导的 Toeplitz算子为有界（或紧的）时的等价条件。对于加正规权的Bergman空间的探讨可参见文献［10-18］。Peláez，Rättyä和 Sierra［11］探究了在）上与权函数 ω有关的 Bergman投影Pω的有界性。可以从文献［11］中获得关于加正规权Bergman空间中q-Carleson测度的结论，其中0＜p，q＜∞，而 Du等人［13］将这些结论推广至单位球上。

近年来，对于1＜p，q＜∞和单位圆盘D上的正Borel测度μ，文献［4］讨论了加正规权的Bergman空间上的 Toeplitz算子的有界性（或紧性），Du和 Li等人在文献［18］中推广文献［4］的结论至单位球上。

在与文献［4］相同条件的前提下，给出另一个正规权 ω，那么对于 Toeplitz算子）→）的有界性和紧性的讨论，会得出怎样的结论呢？这就是本文主要探讨的问题。本文将借助Berezin变换与正规权有关的估算以及对再生核的估计进行讨论。

1 准备工作

表示度量ρ的以a为心r为半径的圆盘，其中a∈D，r∈（0，1）。设 ｛是 D上 的 一 列 点 列。如 果infk≠jρ（ak，aj）＞σ＞0，则称它为 σ-可分的。如果｛ak是-可分的，则称其为 δ-格，并有D=Δ（ak，5δ）。

若ν∈R，则存在一个与r∈（0，1）有关的正常数C，使得当ξ∈Δ（z，r）时，有C-1ν（z）≤ν（ξ）≤Cν（z）。换言之，由 ν∈ R 可的得出，在 Δ（z，r）上有 ν（z）ν（ξ）［18］。当 ξ∈ Δ（z，r）时［7］，有1-1和（1）2，其中=∫Δ（z，r）dA。

若I是T=∂D上的一段弧，定义Carleson方块S（I）=｛reit∈ D：eit∈I，≤r＜1｝，其中是I的正规化 Lebesgue测度。当a∈D｛0｝，定义弧Ia=简记Sa=S（Ia）。因为ωdA是上的非负 Borel测度，故 ω（S（I））=∫S（I）ωdA。

满足倍数条件的权函数性质将会在后面证明中多次使用，下面的引理来自参考文献［3］的引理2.1。

引理1设ν为径向权，则下面条件等价：

成立；

（vii）存在常数C=C（ν）＞0使得νn=（r）dr满足 νn≤Cν2n。

因此对于ν∈R 、z∈D和0＜r＜1，

接下来的引理是关于Bergman再生核的范数估计，来自文献 ［10］的定理1，引理1以及式（2）。

引理2设ω，ν∈∞，n∈N∪｛0｝，则当1-时，有 （

特别地，如果1＜p＜∞，ν∈R ，且r∈（0，1），则

引理 4［4］设 ν∈，对于任意a∈ D｛0｝，存在两个常数c=r（v）＞0和 δ=δ（v）∈（0，1］，使得当z∈时有

引理5［4］设ν∈D＾，对于任意w∈D，存在1＞r=r（ν）＞0，使得当z∈ Δ（w，r）时有

Bergman空间上的极大投影算子

在主要定理的证明中起着重要的作用，由文献 ［10］的定理3，有接下来的引理。

引理6设1＜p＜∞，若ω，ν∈R，则下面的条件等价：

2 Toeplitz算子的有界性与紧性

2.1 当1＜p≤q＜∞

以下定理是对 Toeplitz算子的有界性的等价刻画.

定理1设1＜p≤q＜∞，ω，ν∈R，μ是D上的正Borel测度并且R。将 μ（Δ（z，r））记为μ（Sz），则以下条件等价：

证明若为有界的，结合 Hölder不等式可得：

从而式（i）⇒ 式（ii）成立。

现在假设式（iii）成立。对于g∈，结合文献 ［18］的定理A，可得

讨论Toeplitz算子的紧性需要引入以下的引理。

引理7［4］设1＜p≤q＜∞和ν∈R。若T是紧的线性算子，则

以下的结果是关于Toeplitz算子紧性的等价刻画，证明方法类似于定理1。

定理2设1＜p≤q＜∞，ω，ν∈R，μ是D上的正Borel测度并且 ( ∈ R。将 μ（Δ（z，r））记为μ（Sz），则以下条件等价：

即（ii）成立。

若条件（ii）成立，从定理1的（ii）⇒ （iii）证明中，可得

从而（iii）成立。

现在设满足条件（iii）。定义Borel集E⊂D.的特征函数为 χE。如果0＜r＜1，令dμr=由假设得到

从定理1的式（iii）⇒式（i）知：

设 ｛fk是上的有界序列并且在D的紧子集上一致收敛至0，由引理3可得到

进 而有0，k→ ∞。因此是紧的，证毕。

2.2 当1＜q＜p＜∞

本节主要介绍当1＜q＜p＜∞时，与Toeplitz算子的有界性与紧性有关的结论。在证明中，需要用到以下的引理［4］。

引理8设1＜p＜∞，ν∈R和 ｛⊂ D｛0｝为可分序列，对于所有的｛∈lp有F=∈，并且可以得到｛ck｝

定义Rademacher函数rk如下：

定理3设1＜q＜p＜∞，ω，ν∈R，μ为D上的正 Borel测度。将 μ（Δ（z，r））记作 μ（Sz），如果→为有界的，则（z）=

证明设 ｛⊂D｛0｝为可分序列。若r＞0，对于任何a∈Δ（z，r）和z∈D，可以得到

对于所有z∈D，由于z至多被N*个集合Δ（ak，r）所覆盖，因此有：

引理10给出：

设χE为Borel集E⊂D的特征函数。对于所有的z∈D，有≤N。用r（t）c替代c，其中r*kkkk为第k个 Rademacher函数，应用 Fubini定理以及Khintchine不等式，可得

其中0＜r≤1。

令r（ν）满足引理5。对于0＜r≤r（ν），利用引理 2～引理 5，式子（5）以及的次调和性质，可得到

其中0＜r≤r（ν）。

对于r（ν）＜r＜1，设 ｛bk⊂D｛0｝是δ-格且 5δ≤r（ν）。对于任何的bk，可以在 ｛中找到Nj个点bj，k，使得 △（bk，r）⊂（bj，k，r（ν））则由式（1）、式（2）和式（6），有

从而得到对于所有0＜r＜1和满足5δ≤r（ν）的δ-格｛D｛0｝都有式 （6）成立。事 实 上 有

给定任意的0＜r＜1，选取s=s（r，δ）∈（0，1）使得对于任意的z∈△（bk，5δ）和k∈N都有△（z，r）⊂△（bk，s），即从式 （1）和式（2）可以得出

定理4设1＜q＜p＜∞，ω，ν∈R，μ为D上的正Borel测度并且 ( ∈ R。将 μ（△（z，r））记作μ（Sz），如果，则为紧的。

证明对于0＜s＜1，令sD=｛z∈D：｝。因为r＞0是给定的，则存在t=t（s）∈ （0，1），使得对于任何ξ∈和ζ∈△（ξ，r），都有＞t令 dμt=χD Ddμ和dνt=χD DνdA、假设lims→1t（s）=1。对于任意ε＞0，由和 lims→1t（s）=1知，存在t＞0，使得：

设 ｛中在D的紧子集上收敛于0的有界序列。由引理3

3 结束语

本文中利用了Berezin变换、正规权的性质以及再生核的估算刻画了单位圆盘的正规权 Bergman空间上的Toeplitz算子的有界性与紧性。在证明的过程中可以看到本文仍存在一个尚未解决的问题：当1＜q＜p＜∞时，Toeplitz算子有界性与紧性是否具有等价性？这问题值得今后进一步讨论。