环Z4上自对偶码的一种构造

王艳萍

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

0 引 言

1 环Z4和 环Z4+vZ4上的线性码

首先给出Z4上的线性码.

x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1；

注1如果自对偶码C的dE(C)达到上述引理中的上限，称它为Z4上的极优码.

下面给出环Z4+vZ4(v2=v)上的线性码.

如下文特殊说明，我们可记R=Z4+vZ4(v2=v).对∀r∈R，有r=a+vb,a,b∈Z4，且这样的表示唯一.我们把环上的单位记作U,U={1,3,1+2v,3+2v}；而环上的理想为：{0},Z4+vZ4,<2v>={0,2v},<2+2v>={0,2+2v},={0,v,2v,3v},<2>={0,2,2v,2+2v},<3+v>={0,1+3v,2+2v,3+v},<1+v>={0,2,2v,1+v,1+3v,2+2v,3+v3+3v},<2+v>={0,2,v,2v,3v,2+v,2+2v,2+3v}，在这9个理想中<2+v>、<1+v>是极大理想.我们把环上的非单位记为N1={0,2v,2,2+2v}，N2={v,3v,2+v,2+3v},N3={1+v,1+3v,3+v,3+3v}.易得，对∀r∈R，有

环上r=a+vb的重量wE:wE(a+bv)=wE(a+3b)+wE(3a+2b).

2 R上的自对偶码及Gray像

对∀c=(c0,c1,…,cn-1)∈C，我们可分别记nU(c):c中分量属于U的个数；记nN1(c):c中分量属于N1的个数；记nN2(c):c中分量属于N2的个数；记nN3(c):c中分量属于N3的个数.

注2当C⊆C⊥，称C是R上的自正交码；当C=C⊥，称C是R上的自对偶码.

定理2C是R上的线性码，则：

(1)如果C⊆C⊥，即C是正交码，则∀c∈C，有nU(c)+nN3(c)≡0(mod4)，nN2(c)+3nN3(c)≡0(mod4)；且有wE(c)≡0mod(4).

(2)如果C=C⊥，即C是自对偶码，则C包含向量(2+2v,2+2v,…,2+2v).

(2)因对∀r∈R，当r∈U,N3时，有r·(2+2v)=2+2v；当r∈N1,N2时，

r·(2+2v)=0；设C=C⊥，∀c∈C,(2+2v,2+2v,…,2+2v)·c=[nU(c)+nN3(c)]·(2+2v)，由(1)：nU(c)+nN3(c)≡0mod(4)，所以(2+2v,2+2v,…,2+2v)·c∈C⊥=C，即证结论.

接下来我们讨论R上自对偶码的Gray像的性质.

定理3C是R上的线性码，其长n，则有φ(C⊥)=φ(C)⊥.

注3由上述定理知：φ是保正交的.也就是说对∀c1,c2∈Rn,且c1c2=0，则有φ(c1)φ(c2)=0；

注4由上述定理4，易知，若C是类型Ⅰ(Ⅱ)码，且长度为n，则φ(C)亦是类型Ⅰ(Ⅱ)码，且长度为2n.

注5显然可知2v∈R，<2v>是自对偶码，长是1，且为类型Ⅰ码，由文[12]可知，R上类型Ⅰ码(任意长度)均存在.

引理2[7]对Z4上长为n的自对偶码C，n≡0(mod8)⟺∃C是类型Ⅱ码.

定理4对R上类型Ⅱ码存在，且长度为n⟺n≡0(mod4).

证明 “⟹”因φ：保距，由上述引理2知，如果R上类型Ⅱ码存在，且长度为n，则n≡0(mod4)；

“⟸”若令C=<(2,0,2,0),(0,2,0,2),(2,0,0,2),(0,2,2,0)>，显然其长度为4，且我们易知，每个码字的重量均是8，由文[12]知C×C,C×C×C,…依次是长8,12,16,……的类型Ⅱ码.即证.

3 实 例

通过上述所研究结论，可构造出Z4上的一些码.

例1 当n=1时，若取C1=<2v>,则C1是环R的自对偶码，参数是(1,4,4)且为类型Ⅰ最优码；而φ(C1)是长度为2，重量为4的参数为(2,4,4)类型Ⅰ码.

例2 当n=2时，若取C2=<(0,2),(2,0)>，则C2是环R的自对偶码，参数是(2,16,8)且为类型Ⅱ极优码；而φ(C2)是长度为4，重量为8的参数为(8,16,8)类型Ⅱ极优码.

例3 当n=3时，若取C3=<(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)>，则C3是环R的自对偶码，参数是(3,64,8)且为类型Ⅱ极优码；而φ(C3)是长度为6，重量为8的参数为(12,64,8)类型Ⅱ极优码.

4 结 论