简谐势中非对角AAH晶格上费米气体的基态性质

张奋华,王利,张云波

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

1958年,Anderson首次提出了安德森局域化现象[1],引起了物理学界的广泛兴趣和关注。直至现在,无序问题仍然是凝聚态物理中一个相当重要和热门的研究课题。人们期望物理体系中的无序能够诱发出更多有趣的物理现象。对于完全随机的外势来说,一维系统中的费米气体会一直处于绝缘态。只要存在无序,不论无序的强度多小,体系的波函数都会变成指数化局域态(exponentially localized state),不存在有限值的相变点。这种完全随机的外势,在具体研究中通常用数值算法产生多组随机数来模拟物理系统中的无序。此外还有一种方式是利用准周期的格点势来模拟物理系统中的无序。对于用准周期势模拟的无序来说,情况会有所不同。AAH模型[2]是描述准周期势系统的一个重要模型,已经得到了物理学家们的广泛关注与深入研究。在一维AAH模型中,当准周期势的强度λ<2t时,体系处于扩展态,而当λ>2t时,体系处于局域态。即在λ=2t处,一维AAH模型可以发生从扩展态到局域态的量子相变[2-3]。得益于超冷原子物理及光波导实验技术的发展,这一无序导致的局域化量子相变已经在超冷原子实验[4-5]及光波导实验中得到了证实[6-8]。随着无序问题得到越来越广泛的研究,AAH模型出现了很多推广版本。比如在体系的跃迁项中引入准周期调控项,就得到了非对角AAH模型, 同时包含非对角准周期调控项和准周期格点势就得到广义的AAH模型[9-11]。这些模型的变形大大丰富了无序问题的理论研究。

对于无外加束缚势的非对角AAH模型来说,当非对角无序的强度逐渐增加时,体系也会发生无序导致的量子相变[12-13],在相变点处,非对角无序的强度λod=t。相对于许多已有的基于单粒子系统展开的研究工作,本文将重点关注一维非对角AAH模型的多粒子基态性质。而且我们在体系中引入外加的简谐束缚势,研究了处于简谐势中的一维非对角AAH晶格上费米气体的基态性质。基于无相互作用费米子系统的严格基态,我们计算了体系晶格被低密度填充时多粒子基态的逆参与率(inverse participation ratio,简记为IPR)[14-15]、实空间粒子数密度分布及动量空间中的粒子密度分布,分析了这些物理量随非对角无序强度增加而发生的变化。计算结果表明,非对角无序强度的增加会使简谐势中费米气体的基态性质发生许多有趣的变化。比如,基于费米气体的单粒子密度矩阵的计算结果,我们发现体系的单体关联函数会从幂函数衰减行为转变为指数函数衰减,这标志着费米气体进入了不同的基态量子相。

1 理论模型及研究方法

通常在单带紧束缚近似下,一维广义AAH晶格上的N个费米子构成的系统可以用如下哈密顿量描述,

(1)

其中,

Ji=t+λodcos(2παi+φ) ,

(2)

N个无自旋费米子构成的系统的基态可以通过对角化(1)式得到,可以表示为,

(3)

其中Pin是对角化(1)式得到的第n个单粒子本征态的第i个元素。为了描述Fermi气体的基态性质,我们计算了体系的单粒子密度矩阵,

(4)

根据单粒子密度矩阵,我们可以得到体系在实空间的粒子数密度分布,

(5)

此外,简谐势阱中费米气体的动量分布可以通过对单粒子密度矩阵做傅立叶变换得到,

(6)

2 AAH晶格中费米气体的基态性质

首先,我们计算简谐势阱中非对角AAH晶格上费米气体的逆参与率(IPR)。IPR可以很好地描述一个量子态的局域化程度。对于一个单粒子本征态φr,其IPR定义为

(7)

(8)

如图1所示,我们计算了体系多粒子基态的IPR。计算以L=10 000,N=2 000的系统为例,简谐势的强度取为VHa2=3×10-7t。从图1可以看,费米气体多粒子基态的IPR在λod<1时是非常小的,而当λod>1之后,体系基态的IPR值明显变大。

图1 L=10 000,N=2 000时系统多粒子基态的IPR随着非对角无序强度λod的变化

(9)

其中2M+1为统计局域平均粒子数密度的区域长度,且M≪L。对于L=10 000的晶格,我们取M=100。图2中的(b)、(d)、(f)是我们对粒子数分布按(9)式做局域平均后得到的粒子数密度分布图。对于无序强度为λod=0的情形,局域平均的粒子数密度分布和原始的粒子数分布基本一样,此时费米气体处于扩展态,粒子数密度分布呈圆弧状。随着无序强度的增大,在圆弧的两肩上会逐渐出现平台,在平台区域内,粒子数密度分布保持恒定值,如图2(d)所示。而且随着无序的继续增大,该平台区域会变得越来越大,见图2(f),平台的数量及位置是与粒子数和简谐势的强度有关的。这些平台是由无序诱导出来的,所以可称为安德森平台[17]。

图2 简谐势阱中粒子密度分布(左栏)和局域平均粒子密度分布(右栏)随非对角无序强度的变化。

图3 对于L=10 000,N=2 000的系统,平均粒子数涨落随着非对角无序强度λod的变化

而对于填充粒子密度大于临界密度ρc的情形,非对角无序对体系密度分布的影响与低填充密度时类似。如图4所示,我们计算了L=10 000,N=6 000的系统的局域平均粒子数密度分布。当非对角无序λod=0时,在势阱中心区域存在Mott平台,每个格点上的粒子占据数为1,而在Mott平台两侧是扩展态区域。当非对角无序逐渐增强时,在Mott平台两侧会逐渐出现粒子占据数为非整数的Anderson平台,而且Anderson平台区域会随无序强度增加逐渐扩大。当非对角无序λod>1时,Anderson平台的区域宽度则基本保持不变。

图4 不同的非对角无序强度下,L=10 000,N=6 000的体系基态的局域平均粒子密度分布

在图5中我们分析了简谐势阱中AAH晶格上费米气体的关联性质,我们取势阱中心格点为参考点,考察单粒子关联函数随距离的变化规律。当不存在非对角无序时,势阱中费米气体的单粒子关联存在非常明显的振荡。但是单粒子关联的大小总体与格点间的空间距离呈幂函数关联,此时费米气体处于扩展态。图5中的黑色实线是对λod=0时的单粒子关联幂函数拟合。当体系中存在非对角无序且λod<1时,单粒子关联的主体部分仍然遵从幂函数行为。但是当非对角无序强度λod>1时,费米气体的单粒子联随空间距离的衰减速度明显快于幂函数行为。由图2(f)我们可以知道,当λod>1时,简谐势中费米气体的主体为Anderson平台,此时图5展示的关联性质主要是Anderson平台的关联性质。在图5的插图中,我们对λod>1时体系的关联函数在对数线性坐标系中进行了拟合,可以看出关联函数虽然有很多振荡但整体上以指数函数行为衰减,图中相应的拟合方程为ln|ρij|=-0.165 3|i-j|-1.759.

图5 不同非对角无序强度下的单粒子关联函数的对数-对数坐标图,系统中有2 000个费米子,10 000个格点,关联函数的参考点取为i=5 001。

图6 不同的非对角无序强度下系统的动量分布(a)和动量分布一阶导数(b)的图,其中L=10 000,N=2 000。(a)中的插图是λod=0时,L=1 000,N=20的系统的动量分布

在图6中我们给出了简谐势阱内费米气体的动量分布随非对角无序增强的变化情况。与硬核玻色气体不同,费米气体的动量分布不存在零动量处的尖锋[17]。在λod=0时,动量分空间中粒子分布的轮廓与实空间中的轮廓类似,都是圆弧状。但不同的是,动量空间中的粒子分布曲线上有许多小突起,突起与凹陷交替出现。小突起的个数与系统中的粒子数对应,在粒子数比较少时,这种小突起可以比较清晰地看到,如图6(a)内插图,图中给出了L=1 000,N=20时系统的动量分布曲线。随着非对角无序的增加,这种突起与凹陷将会从零动量点开始逐渐抹平变平滑。当λod>1时,费米气体的动量分布曲线将会变得非常平滑。为了更清楚地展示这种规律性,我们对动量分布曲线的一阶导数进行了分析。图6(b)中可以清楚地看到,当λod<1时,动量分布的一阶导数会出非常多的振荡。随着非对角无序的增强,这种振荡会从零动量点开始,逐渐消失。当λod>1以后,费米气体的动量分布的一阶导数将变成非常平滑的曲线,这标志着系统进入了一个不同于扩展态的新的量子态。

3 结论

本文研究了非对角无序对简谐势阱中一维晶格上的费米气体基态性质的影响。通过严格的数值计算,我们可以看到,在无序强度λod=t附近,费米气体基态的IPR值会明显增强。随着非对角无序的增强,在费米气体的实空间粒子分布中逐渐出现Anderson平台。当无序强度λod>t时,Anderson平台将占主导并保持基本不变。此外,体系单粒子关联及动量分布的计算结果进一步表明,当非对角无序强度λod>t时,简谐势阱中的费米气体将进入一个新的量子态。