类比思维在线性代数中的应用

摘  要：类比思维是根据一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的推理方法的一种思维。类比思维是大学数学中最基本的创新思维模式。在大学数学的教学中，运用类比法有助于大学生对基本知识的理解和掌握，用已学过的理论知识和新的理论知识进行类比，是同学们更容易地接受所学的新知识，而巩固旧知识，并且无形中培养了学生的类比思维。本文是根据自己多年来的教学实践探索，以线性代数中的分块矩阵和矩阵运算组为例，具体的阐述类比思维，对于我们在学习线性代数中，解决问题所起的重要作用和的幫助，是增强培养学生的创新能力的一种重要的思维方法。

关键词：类比思维;线性代数;分块矩阵;对角矩阵;矩阵运算

所谓类比是通过探讨或认识新的理论知识时，联想和它相似的已学习过的理论知识，并根据所学新的理论知识与已知的理论知识之间部分属性的相似性或者相同性，以这些相似或者相同点维桥梁，得出其它属性也有相似的推断，从而实现利用已有的理论知识结构，发现属性相似的其他理论知识结构，求同存异，跨越新领域，解决新问题，导致发现新规律的类比思维方法蕴含于自然科学的发明创造之中。类比的整个思维过程是，以“联想” 为前题;以“相似性” 为向导;以提出“猜想” 为使命;以发现“新规律” 为目的。虽然类比的结果具有不确定性，但无论类比的结论如何，它对我们的科学认识活动都提供了富有创意的思维方法。因此，人们形象地把“类比” 称作“由已知通向未知的桥梁”。

在数学的类比推理中，形式类比一般比较直接，有时可以通过一个表达式进行联想，往往就可类比出另一个表达式。比如，通过形式类比，可以得出一些数学概念、定理、解题方法等。就线性代数而言，由于其内容比较抽象而且丰富，需要掌握的概念及定理比较多，解题方法和技巧往往也灵活多变，从而，给学生们的学习常常带来了重重困难。因此，教学时，有必要帮助学生将所学习得内容梳理成一个知识脉络，进行形式类比推理。

1.由二阶行列式的定义到三阶行列式的定义，再到n 阶行列式的定义的类比

在线性代数中，求解二元线性方程组和三元线性方程组，我们采用消元法求解到其结果，为了便于记忆解得结果，分别引进了二阶行列式，以及三阶行列式

通过仔细观察，可见（1）式和（2）式具有如下规律：展开式都是一些项的代数和，且项数分别为 2！ 和3！，又每一项分别由位于不同行不同列的两个数相乘和三个数相乘，并且符号为正及符号为负的项数各占一半。如果将每一项中元素的行标按自然顺序排列，并根据列标的排列的逆序数确定每项的符号。通过类比，n 阶行列式的展开式就很容易得到为

2.由n 个未知数 n 个方程的线性方程组的克莱姆法到n个未知数n个方程的齐次线性方程组，再类比推出 n 个未知数 m（m≤n）个方程的齐次线性方程组的类比显然;齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情形，而非齐次线性方程组又是线性方程组的特殊情形。

由于克莱姆法则是利用行列式，来讨论 n 个未知数 n 个方程的线性方程组的求解，而齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例，通过类比推理，可以得出对于n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组，有非零解的判定定理，即齐次线性方程组有非零解的充要条件为它的系数行列式为零，也即系数矩阵 A 的行（列）向量组线性相关，也即 r（A）< n。我们再将n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组和一般的n 个未知数 m（m≤n）个方程的齐次线性方程组进行类比推理，很容易推出一般的n 个未知数 m（m≤n）个方程的齐次线性方程组有非零解的判定定理，即有非零解的充要条件仍然为它的系数矩阵的秩小于未知数的个数。显然，上述类比推理，经历了从一般到特殊，再由特殊到一般的过程。

3.由数的运算到普通矩阵的运算，再到分块矩阵的运算的类比

从数的运算和矩阵的运算进行类比，我们发现，它们有很多相似之处，但且记它们的区别，尤其是数的乘法运算符合交换律，消去律，但矩阵的乘法即不符合交换律，也不符合消去律，符合反交换律。由于分块矩阵中的每一元素均为子块矩阵。形式上，分块矩阵与普通矩阵很类似。讨论分块矩阵运算时，凭“数感”，我们应与普通矩阵运算进行类比推理，然后再一一去论证。比如，对于较高阶的矩阵乘法运算，如果直接用矩阵的乘法运算，计算量往往非常大，如果我们能够把它们适当的进行分块，再利用分块矩阵的乘法运算规律进行运算，往往会大大降低计算量。易见，从数的运算到矩阵的运算，在从矩阵的运算到分块矩阵的运算，类比思维得到充分的体现。

4.由余子式到 k 阶子式，再到顺序主子式的类比

我们知道，行列式的余子式属于第一章中，行列式计算的内容;而矩阵的 k 阶子式属于第二章中，矩阵的秩的内容;至于矩阵的顺序主子式属于第五章中，正定二次型的内容。余子式、k 阶子式、顺序主子式不仅可以进行形式类比，更重要的是要进行内容类比;不仅在讲授时进行类比，而且在复习课中更应该进行类比。三者在内容类比思维中两次经历了由一般到特殊，再由一般到特殊的过程。

5.由向量组的线性無关性到向量组的秩，再到向量空间的维数的类比

由于向量组的秩，即为向量组中任何一个的极大线性无关组所含向量的个数。而向量空间的维数，即为向量空间中的任何一个基所含向量的个数。向量组的极大线性无关组与向量空间的基是对应的。将向量组的线性无关性，向量组的秩，向量空间的维数进行内容类比思维，经历了由一般到特殊，再由特殊到一般的过程。

6.由等价矩阵到相似矩阵，再到合同矩阵的类比

在矩阵的理论中，矩阵的等价关系是指存在可逆矩阵;而矩阵的相似关系是指存在可逆矩阵;至于矩阵的合同关系是指存在可逆矩阵。

相似矩阵和合同矩阵均为等价矩阵的特殊情形，但相似矩阵不一定合同，而合同矩阵也不一定相似，当然也存在两矩阵既相似又合同的情形。经过进行内容类比推理，得出这三种关系的类同点和相异点，使学生有更为清楚的认识。

总之，在线性代数的教学过程中，为寻找问题的线索，往往借助于类比法，不仅要对所学的知识进行形式类比，而且还要对相关内容进行类比，使学生不仅能使难理解的概念容易理解，难记忆的公式更容易记忆，而且可以使解题思路变得更加开阔。

参考文献

[1]  张启明，唐先华. 类比法在线性代数的教学中的运用[J].当代教育理论于实践，2012

[2]  马巧云，刘同生.毛风梅.类比法在线性代数的教学中的应用[J].中国电力教育，2012

[3]  史久一.朱梧槚.化归与归纳·类比·联想[M].大连理工大学出版社，2008

[4]  李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.

作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。