基于高中数学核心素养的课堂案例<br/>——概率与密码

基于高中数学核心素养的课堂案例
——概率与密码

2020-07-10广东省汕头市实验学校许铭婷

数学大世界 2020年12期

关键词：字母表凯撒密码

广东省汕头市实验学校许铭婷

一、背景

高中数学课标修订组给出了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养的要求，教师应该注重提升自身数学素养，关注数学教学实践与数学核心素养的有机结合，在课堂教学中渗透数学核心素养。

二、“概率与密码”的教学案例

（一）教学内容解析

本节课设计思路围绕概率章节的核心内容展开。第一部分是介绍凯撒密码，破译者可通过列举法破译密码；第二部分是凯撒密码的进化Ⅰ，用随机顺序的字母表替换正常顺序的字母表，破译者需用频率分析法破译；第三部分是学习凯撒密码的进化Ⅱ：用随机数加成密码，这种情况下的凯撒密码难以被破译。

（二）教学目标解析

1.三维目标

知识与技能：掌握概率与密码的关系，了解频率分析法在密码破译过程中的应用。

过程与方法：了解凯撒密码的发展历程，在破译密码的过程中感受合作探究的学习方法以及古典概型在密码中的运用。

情感、态度与价值观：以凯撒密码的完善过程为主线，体验发现问题并用数学问题解决的乐趣，体会数学的应用价值。

2.核心素养

逻辑推理：在凯撒密码及其完善历程的情境中，通过对其条件与结论的分析，培养学生发现提出并解决数学问题的能力。

数学建模：在概率的其他应用过程中，培养学生发现问题并转化为数学问题的能力。

数学分析：引导学生选择合适的概率模型，解决问题。

3.教学过程

【环节1】情景引入

播放谍战片的片段，学生角色代入，开始了一段以概率知识为主线的密码破译与完善的对决。

1132 慢病毒介导的 shRNA 干扰大鼠施万细胞 RSC96 MYH14 基因的表达胡皓，孟威，刘安堂，汪汇，朱晓海，江华，钱玉鑫

【设计意图：以学生喜欢的谍战片片段引入数学课堂的学习，能有效抓住学生学习的兴奋点，调动学生学习的积极性，激发学生爱国情怀】

【环节2】探究新知

（1）凯撒密码

问题1：凯撒密码是偏移后得到的，你有什么办法破译呢？凯撒密码加密的过程中一共有多少种情况？

学生活动：你截获了一个信息为“zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r’forfn rq zhgqhvgdb”的密文，已知偏移量是3，请问这个密码所代表的信息是什么？

【设计意图：凯撒密码的加密过程可以看作是一个古典概型，它所包含的基本事件的总数即是密码与密文对应的种数。体会密码破译过程，体会一次破译密码的概率】

（2）凯撒密码的进化Ⅰ

凯撒密码的拥护者对凯撒密码进行了一个简单的改进：用一个随机顺序排列的字母表来代替正常顺序的字母表。

问题2 ：请问通过这种简单的代换方法，共产生了多少种字母表？有什么意义？结合我们所学的概率知识，有什么办法能破译密码的升级版呢？根据平常对英语字母的直观感受，估计哪个字母出现得最多？

【设计意图：改进后的凯撒密码所包含的基本事件的总数大大增加，一次破译密码的概率大大减小，因此无法用列举法解决问题，从而引入频率分析法。同时，通过实验让学生感受如何将知识学以致用】

（3）凯撒密码的进化Ⅱ

凯撒密码的拥护者们使用了概率武器（随机数表法设计凯撒密码）来反击，它是这样进行的：要发送的密码为：We will start the fight at eleven o’clock on Wednesday。我们获得了一次密码本，组成这个密码本的伪随机数为12，16，5，7，21，19，15，13，4，14，11，……。加密过程为：W+12=I，E+16=U，W+5=B，I+7=P，L+21=G， ……。全句的密文为：“Iu bpge hgefe dxc……”这种加密使得每个字母出现的频率几乎相等。

问题3：请你思考，用分析频率来破译密码可能吗？为什么？

学生活动：组成密码本的随机序列为：（随机数表第19行第1列）：16，08，15，04，14，09，12，07，14，16，19，20，15，11，13，……，已知截取的密文是“Y TDZS VMAV”，请你来破译。

【设计意图：引导学生思考凯撒密码的进化版Ⅱ中所含的基本事件的总数，体会随机数表法设计后基本事件总数爆炸式增长的过程】

4.归纳小结

凯撒密码的发展历程：（1）凯撒密码；（2）凯撒密码的进化Ⅰ；（3）凯撒密码的进化Ⅱ。

5.拓展探究

请以小组为单位讨论已查找到的资料，说出概率在其他方面的应用，分析其所用到的概率的相关知识。