心中有型，手中有法——由一道高考立体题的一问多解到课堂教学的一点思考

广东省佛山市南海区大沥高级中学 高惠芳

如下图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D—平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G。证明：G是AB的中点。

一、紧密结合课本教材，因材施教，注重课本定义的理解，加强学生回归课本的能力

解法一：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD,又 因 为D在 平 面PAB内 的 正 投 影 为E， 所 以AB⊥DE，DE∩PD=D，所以AB⊥面PED，即AB⊥PG，又由已知可得PA=PB，从而G是AB的中点。

从解法一，我们真正体会到了回归课本、回归教材的呼声。因此，我认为“依纲靠本，高考指挥棒”体现了对学生前途的负责，也让教学有章可循，有据可依，教学中必须真正做到“以考纲为纲”“以课本为本”，而不是搞“教辅”中的那些旁门左道、独门绝技。这就要求我们一线教师下大力气研究“考纲”、课本，引导学生领会课本的精神、思想和方法，这样才能为学生铺设学做人做事的绿林大道，而今年的高考数学全国卷正体现了这一重要精神！同时，在数学课堂上，我们应及时利用课堂这个主阵地不断地调动学生学习主动性，树立学生学习自信心，向学生传授数学知识及数学思想方法，使他们形成科学的数学观。只有这样，才能使所有学生喜欢数学，变被动学习为主动学习，自觉地做学习的主人翁。

二、找好衔接点，做好初中及高中数学的衔接，不能错过或遗漏任何一个知识点

解法二：连接DA，DB，AE，BE，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的重心，从而DA=DB;又因为D在平面PAB内的正投影为E，所以DE⊥AE，DE⊥BE，可得，EA=EB。因为PE是AB的垂直平分线，又因为PE的延长线交AB于点G，所以G是AB的中点。

解法三：连接CG，因为正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，所以PC⊥面PAB，因为D在平面PAB内的正投影为E，所以DE⊥面PAB，所以DE∥PC。由于P，E，G，C共面，所以G，D，C三点共线，又由于P在平面ABC内的正投影为D，D是三角形ABC的中心，所以G是AB的中点。

从教材来看，在现今的初高中数学里，部分知识点出现了脱节的情况，总结如下：

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中却还在用。

2.因式分解在初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对于系数不是“1”的则涉及不多，而且对于三次或高次的多项式的因式分解几乎不作要求，但高中里许多的化简和求值都要用到。

3.二次根式中对分子、分母有理化，在初中不作要求，但在高中却是常用到的解题技巧。

4.初中教材对二次函数的要求不高，只是了解，但在高中里，它却是重点内容，是常考的知识点。二次函数与二次不等式、二次方程的联系，根与系数的关系，在初中不作要求，但在高中也是重点内容。

5.图像的对称、平移，在初中只作简单介绍，而在高中也是重点内容。

6.含参的函数、方程、不等式，在初中都不作要求，而在高中里，这些都是高考综合题的热点。

7.几何部分的很多概念（如重心、垂心等）和定理（平行线分线段比例定理、射影定理、相交弦定理），大部分初中生都没有学习，而高中都要用到。

那么，我们在高中教学里要清楚这些脱节的知识点，在各个知识点的教学中，充分利用学生头脑中已有的概念和形象，把新知识点的新要求重点处理，基本方法和题型要明确指出，让他们清晰明白知识点的考试要求。

三、加强学生的空间想象能力的培养

解法四：以点P为坐标原点，PA，PC，PB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的平面直角坐标系，因为PA=6，所以，P(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，6，0)。因为P在平面ABC内的正投影为D，所以在正三棱锥P-ABC中，D为正三角形ABC的中心，所以D（2，2，2）。设E为（x，0，z），因为D在平面PAB内的正投影为E，所以DE⊥面PAB，由已知可得，PC⊥面PAB。从解法四可以看到，在解决立体几何题目时引入三维空间，对解题带来了便捷，把一道立体几何题目代数化，降低立体几何对空间想象能力的要求。

所以，我们在日常的教学里，应该对教材的知识进行有效的探究、分析、练习、引导，重视教材的教学，从课本的定义、例题出发，再加以变形、改造、拓展，起到拓展学生的思维，提高学生的数学学习能力的作用，这也是培养学生数学思维能力的重要途径，只有这样，经过多方位、多角度、多层次的探究教学活动，才能使学生的思维品质不断得到提升，有效增加他们学习数学的积极性和兴趣，从而提高数学学习的能力。