浅谈高中数学平面向量解题中的消元思想

摘 要：平面向量的主要作用是将代数和几何之间建立了联系，而代数和几何又是高中数学的核心内容，因此可以说平面向量是高中数学教学过程中非常重要的一部分，所以教师要在教学过程中尽量保证每一个学生都能够充分掌握和运用平面向量的知识。解决高中数学平面向量这部分题目的方法有很多种，教师可主要探讨高中数学中平面向量解题中的消元思想。

关键词：高中数学;平面向量;解题;消元思想

中图分类号：G63          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2020）22-0091-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.22.045

一、消元思想在高中数学平面向量解题中的主要作用

在高中教学阶段，数学是一门重点科目，平面向量教学内容是数学课程中重要的组成部分，平面向量知识具有非常强的逻辑性和概念性，对学生的学习和理解来说有一定的难度，因此教师应该引导学生采取合理的数学思想方法，使学生能够更透彻地领悟平面向量知识的概念，提升学生的解题能力。消元思想就是高中数学教学中重要的思想方法之一，其既可以帮助学生掌握具体的解题技能，也可以为学生指引正确的解题方向，是提高学生平面向量知识运用能力的重要途径之一。消元思想在平面向量解题过程中，可以促使学生对题目和结论产生删繁就简的解题意识，让学生明确条件和结论之间的转化关系，使学生掌握正确的解题思想，发散学生的解题思维，培养学生的解题意识。因此，消元思想对学生在高中数学平面向量解题中产生着积极的影响作用，其不仅可以深化学生对平面向量知识的记忆和理解，也能显著提升学生的解题能力和运用能力。除此之外，在解题时融合消元思想，可以有效提高学生的解题效率，使学生在成功解題的过程中获取成就感，增强学生的自信心，调动学生自主学习的积极性，激发学生不断探索平面向量知识的学习热情，为学生构建更完善的平面向量知识体系，提升学生的数学素养，从而达成教师理想的教学目标。

二、运用消元法解题的常规步骤

在解决一些复杂的数学题目时，题目中往往会有许多复杂的变量，为了求出每一个变量，就需要通过等效代替或者化简的方式进行，从而可以从复杂的关系式中求出某一个变量的值，而这种解决问题的方法就叫做消元法。消元法在高中数学的解题过程中应用非常广泛，它不仅可以解决平面向量中的一些问题，而且可以解决解析几何中的一些问题。

1.认真审题，通过观察题目中的数学关系式，或者挖掘题目中隐藏的数学关系式，来寻找下手点。同时，认真审题也是学生解题的基础条件，能够使学生树立正确的解题思路，为学生接下来的解题过程创造有利的先决条件。

2.可以将题目中的条件转化成数量关系式，然后将题目中给出的关系式进行比较，如果发现有一种量的数值相同，那么就可以把这种数值消去，实现消元思想在数学解题中的运用。

3.如果在比较题目给出的数量关系式时，发现两种量的数都不相同，这时不要着急，可以用一个特殊的数或者关系式去乘等式的两边，经过变换后会发现有一个量的数相同，从而也就将这个量消去，发挥消元思想的具体解题作用。

4.用消元法解答完之后，需要将算出的结果带入到题目给出的关系式中，从而检查结果是否正确，发挥消元思想在数学解题过程中的实际作用，使学生更透彻地掌握消元思想的运用方式，更有效地拓展学生的思维空间，也充分体现了数学思想和数学知识融会贯通的特性。

三、消元法在平面向量题目中的运用

数学思想和数学方法是高中数学的核心，也是学生灵活运用数学知识的前提，因此，在高中数学教学过程中，教师应该注重教授学生一些数学的思想和解决问题的方法，并且根据具体的题目探讨这道题运用到了什么思想和方法，简单地让学生明白具体的过程和正确的答案，使学生掌握一定的解题技巧，从而有效提高学生的解题能力。平面向量可以说是高中数学的一个桥梁，它将高中数学的两个大板块—代数和几何紧密联系到了一起，帮助学生更加深入地了解代数和几何的内在关联。而消元思想也是在解决平面向量问题的过程中最常用的方法之一，下面我们将探讨消元法在平面向量解决中的具体运用。

（一）运用消元法解决普通平面向量题目的常规步骤

在利用消元法解决平面向量的题目时，第一步要认真审题，建立明确的数学关系式，第二步明确解决这个题目要消去什么量，第三步就是选择基本量，基本量可以是一个向量，也可以是多个向量。选择基本量的主要用途是用基本量表示其他的向量，从而达到消元的目的。运用消元法解决普通平面向量题目时一定要把握好两点，第一个关键点是一定要找到题目中向量之间的关系式，普通题目给出的向量和关系式很明确，但是在解决一些其他题目时，就需要我们审题，分析题目，整理出题目隐藏的关系式。消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。在用消元法解决平面向量的普通题目时，第二个关键点就是消元，消元可以用带入消元法，也可以用加减消元法，需要我们根据题目采用合适的消元法，然后用基本向量表示出题目中的其他向量，题目就可以解决。因此，学生在利用消元法解决平面向量问题时，教师一定要注重培养学生的审题能力，指导学生分析题设，抓住问题的重点，确立数学关系式，使学生知道所要消掉的量，引导学生正确选择基本量，再根据不同的问题进行具体消元法的甄别和选择，为学生的解题思路不偏离正确方向提供保障，锻炼学生的独立思考能力和自主解题能力，培养学生优异的探索能力和分析能力，使学生更科学有效地实现消元法在解决平面向量问题中的运用，提高学生的解题效率，最大程度地发挥消元法在平面向量解题中的作用，收获理想的教学成果[1]。

（二）运用平面向量基本定理进行消元

平面向量基本定理说如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。我们通过学习理解平面向量的基本定理可以发现，在解题过程中可以用基底来表示其他向量。平面向量的基本定理告诉我们，两个不共线的向量都可以作为基本向量来表示其他向量，因此我们在选择基本向量时，可以利用平面向量的基本定理来选择。用一组向量来表示其他向量解决平面向量的题目，也是消元的一种方法。但是，我们不能太死板，因为不同的题目基本量的个数也是不同的，因此我们需要根据具体题目选择合适的基本量。另外，基本向量的线性组合也可以作为基本向量来表示其他向量，这也是一种消元的方法，并且这种方法还体现了化归的数学思想。

教师想要实现学生运用平面向量基本定理进行消元思想解题的教学目的，首先要做的就是巩固学生的平面向量基础知识，学生只有具备了过硬的基础概念素质，才能在分析题目时，发现题目和平面向量基本定理之间的关联，进而在解题时合理运用基本定理，并且能够根据不同的题目内容，选择正确的基本量，提升学生灵活运用平面向量基础定理的能力，锻炼学生的思考能力和解题能力，最终实现平面向量问题的合理解决。

（三）根据图形的性质完成消元

消元的途径有很多种，在利用消元法解决平面向量的题目时，我们通常采用基本量表示其他向量，然后用與实数运算类似的加减法来进行消元。但是，有时候我们无法用加减消元法来完成一些题目，而这类无法解决的题目基本都包括图形，这时我们需要根据图形的性质来完成消元。运用消元法解决这类含有图形的题目主要是通过构建图形，充分利用线段中点的性质，再通过利用向量的运算进行消元。在用消元法解决高中数学平面向量的题目时，主要是利用类似实数运算的方法进行消元，但是有时候我们需要根据图形的性质间接消元。因此，对于一些无法用加减消元法解决的平面向量问题，学生应该首先分析题目的类别，然后采取“数形结合”的解题思路，根据题目内容构建图形，将图形的性质和运算进行融合和转化，完成间接的消元，进而顺利解决平面向量问题。

利用图像的性质不仅可以完成消元解题，同时，构建图像也是最快的解题方法，因为平面向量本身就是几何和代数的结合体，所有的向量都是建立在图像的基础上，学生在解题时构建图形、图像可以清晰展示出各个向量之间的联系，使学生能够正确选择所要消去的基本量，有效拓展学生的思维空间，增强学生的解题能力，帮助学生更透彻地掌握消元思想在平面向量解题过程中的运用要点，使学生的解题效率产生实效性的提高，发挥消元思想理想的教学目的[2]。

四、教师应用消元思想解题教学时的注意事项

教师在将消元思想融入平面向量解题教学的过程中，应该把学生的审题能力设置为第一教学要素，旨在培养学生良好的审题习惯和思考习惯，问题分析得透彻，就意味着问题解决了一半。教师要强化学生的审题能力，引导学生多角度观察平面向量问题，找到相关向量联系，使学生能够由表及里，抓住问题本质，采取恰当的消元方式，从而更有效地解决问题[3]。

教师还可以在学生解决平面向量问题时，鼓励学生一题多解或者一法多用，调动学生的思考能力，使学生的解题思路不局限于狭窄的空间，也不拘泥于某一种固定形式。如果一道题可以用消元法解决，教师可以继续引导学生采取其他可以替代的方法，使学生能够多角度地钻研问题，更加深入地了解平面向量知识点的特征、差异和隐含关系，深化学生对数学概念的记忆和理解，提高学生数学思想的运用能力，拓展学生的思维空间，挖掘学生的思维广度，发挥消元思想在解题过程中的最大作用。

参考文献：

[1]边秀丽.基于“先学后教”教学模式的几点认识——以高中数学《平面向量数量积（1）》的教学为例[J].中学数学，2019（15）：13.

[2]刘佳，李琪，苏淑华，皮帅玲.新课标下高中数学教材例题设置的难度研究——以平面向量为例[J].科教导刊（中旬刊），2019（7）：146.

[3]裴黎黎，殷木森.高中数学智慧课堂的建构与思考——以人教A版必修四《平面向量基本定理》一课为例[J].中学数学研究（下半月），2019（6）：F0002.

作者简介：苟建忠（1976.11— ），男，汉族，甘肃临洮人，中小学一级，研究方向：高中数学教学。