多档覆冰悬索结构的动力学建模及驰振分析

闵光云 刘小会,2 郑佳艳 蔡萌琦 孙测世

(1.重庆交通大学 土木工程学院,重庆 400074；2.重庆交通大学省部共建山区桥梁及隧道工程国家重点实验室,重庆 400074；3.成都大学 建筑与土木工程学院,成都 610106)

悬索的计算理论最早形成于16世纪末,而针对悬索非线性动力学、分叉以及混沌运动的研究最早始于18世纪[1].19世纪初,Poisson建立了悬索的运动方程,Routh在Poisson的研究基础上求解了松弛悬索的固有频率[2].20世纪中期,Pugsley等人首先研究了松弛悬索的动力学特性,接着研究了张紧悬索的动力学特性,通过比较两者的计算结果,发现当悬索垂度接近零时,两者的计算结果存在明显差异[3].1974年,Irvine建立了悬垂缆线自由振动的线性理论,并研究了其模态、频率,提出了重要的Irvine参数[4].1992 年,Perkins研究了弹性悬索模态之间的相互作用,应用摄动法证明了2∶1共振情况的存在,并通过实验对理论结果进行了验证[5].1997年,Rega通过实验对受多种外部激励悬索结构的共振进行了系统地分析,其研究成果已经运用于实际工程中[6].2003年,赵跃宇,王连华,陈得良,等研究了周期荷载下斜拉索的非线性动力学特征,利用哈密顿变分准则与离散法得到斜拉索的振动方程,接着利用多尺度法分析了斜拉索面内外的耦合振动[7].2016 年,吕建根,康厚军在赵跃宇等建立的斜拉索振动模型上进一步考虑了弯曲刚度对拉索面内外耦合振动的影响[8].

悬索的驰振受覆冰、外部激励以及悬索物理参数等的影响,其持续时间可长达数日或数十日,长时间的驰振会导致构件疲劳,进而导致结构功能损坏.20世纪中期,学者们根据风洞试验、现场观测以及仿真模拟的结果,提出了Den Hartog垂直舞动机理[9]、Nigol扭转舞动机理[10]以及偏心惯性耦合失稳机理[11].2013年,学者李寿英通过风洞试验得到了6种覆冰拉索模型的气动参数,接着采用数值法求解了覆冰拉索振动方程,并研究了拉索的驰振响应规律[12].2018年,谭冬梅用FLUENT 研究索距、攻角以及有无覆冰等因素对双索尾流驰振稳定性的影响,得到一些重要的结论[13].

通过以上分析得知,大部分学者针对覆冰悬索的动力学分析通常采用建立单档悬索数学模型,而实际工况中多档悬索结构的存在很普遍,例如高压输电线即为多档悬索模型,且多档悬索与悬挂绝缘子串之间存在相互作用.为更加符合实际工况,本文建立了多档覆冰悬索的动力学模型,考虑了多档悬索之间的相互作用,并研究了相等档距悬索结构中每一档悬索的位移响应,研究成果能给实际工程一些参考.

1 动力学建模

1.1 多档悬索动力学建模

实际工程中,绝缘子串的偏转方向存在随机性,由于随机性的存在使得绝缘子串的偏摆组合形式多样,虽然其偏摆组合形式多样,但不同偏摆组合下的动力学方程推导类似,下面列出4种典型的绝缘子串偏摆组合形式,组合形式见图1.

图1 多档悬索结构示意简图

由于4种偏摆组合下多档覆冰悬索的动力学方程推导类似,为节约篇幅只给出组合1的详细推导过程,组合2、3、4可类似推导.首先取任意一档悬索为研究对象,根据哈密顿变分原理可得

根据式(1)可得任意一档悬索的动力学方程为

式中：i的取值为1、2、3、4.Ti表示初始张力；τi表示动张力；yi表示静态位移曲线；ui表示动态位移曲线；m为悬索的单位长度质量；pi表示悬索所受气动力荷载.

参考文献[14]将动张力表示为

式中：EA为悬索抗拉刚度；li为悬索的长度；X1、X2、X3分别为绝缘子串1、2、3摆动的位移；X0、X4为两端A、E的摆动位移.

将式(3)代入式(2)可得

根据模态综合法可得

式中：qin(t)为时间函数；φin(x)为模态函数；n表示模态函数的阶数.

根据参考文献[15]得知悬索的驰振特征主要由基本模态决定,为了方便计算,本文应用一阶模态截断法,因此,式(5)转化为

为了方便记号,将式(6)改写为

将式(7)代入式(4)并进行Galerkin积分,可得

式(8)中涉及的系数皆为Galerkin离散法所得.

1.2 绝缘子串动力学建模

下面对绝缘子串进行动力学建模分析,本文假设绝缘子串的长度都为R,绝缘子串从左到右编号依次为1、2、3,且绝缘子串1、2、3与y轴正方向的夹角分别为θ1、θ2、θ2,见图2.

图2 绝缘子串受力分析图

分别以绝缘子串1、2、3为研究对象,依次列出关于其悬挂点处的转动平衡方程,即

其中：

因此可得

其中η取值为1～6.

将式(3)代入式(9)可得

式(12)中涉及的系数皆为Galerkin离散法所得,由于篇幅所限,此处不再赘述.

联立式(8)与式(12)可得多档悬索的耦合驰振控制方程组：

1.3 气动力模型动力学建模

建立气动载荷分析数学模型如图3所示,覆冰模型为新月形.假设真实风速沿着水平方向,由于在竖直方向此时有初始扰动使得悬索在y方向有初始速度,相对风速将发生了改变.

图3 基于拟静态假设的相对流场

同理,取多档悬索结构中任意一档分析其气动特性,只考虑悬索受面内竖向气动荷载,忽略扭转方向以及面外的气动荷载.根据气动力的表达式可得

式中：Cyi(α)表示任意一档悬索的气动力系数；d为悬索的直径；α为瞬时攻角；ρ为当地空气密度；U为平均风速.

空气动力系数可以用三次曲线拟合,即

式中：α1i、α2i、α3i可通过风洞试验测得.

因为α与初始攻角α0、扭转θ及相对风速有关,即有

忽略初始攻角与扭转角的影响,然后将式(15)与式(16)代入式(14)可得

因此可得

将式(18)代入式(13)可得到新的悬索驰振控制方程为

2 风洞试验

为了获取覆冰悬索的空气动力系数,在中国空气动力研究与发展中心进行了测试.采用拟静态方法,选取一段悬索模型,进行气动参数测试.1.4 m×1.4 m低速风洞如图4(a),测试模型如图4(b)所示,悬索覆冰模型为新月形,模型如图4(c)所示.

图4 风洞测试空气动力系数

每测量一次气动载荷后,将该覆冰模型转动5°,然后再测量一次气动载荷,转角范围为0°～180°.悬索静态空气动力特性试验测得的空气动力系数包括阻力系数、升力系数和扭矩系数,且无量纲的空气动力参数定义如下：

式中：FD、FL、MZ分别为悬索所受的阻力、升力以及扭 矩 ；ρ为 空 气 密 度 ；U为 平 均 风 速 ；L为 悬 索 有 效 长度；d为悬索直径.通过风洞试验测得12 mm 冰厚的新月形覆冰悬索在10 m/s风速作用下空气动力系数随风攻角的变化曲线如图5所示.

图5 气动力系数

通过观察图5可知：悬索的气动系数从左往右呈半波状变化,当升力系数CL处于45°～120°以及155°～180°之内时,CL具有负斜率,参考文献[9]可知此时悬索易发生横向驰振.

3 数值算例

悬索的物理参数参考文献[16],见表1.

表1 悬索的物理参数

将表1中所涉及的物理参数代入各项系数表达式中,模态函数选取φi(x)=sin(πx/li),档距选取li=300 m.基于四阶Runge-Kutta法可得出多档悬索中任意一档的位移响应曲线,如图6～9所示.

图6 绝缘子串偏摆组合1

图7 绝缘子串偏摆组合2

图8 绝缘子串偏摆组合3

图9 绝缘子串偏摆组合4

通过分析图6～图9可得：4种绝缘子串偏摆组合下悬索的位移响应具有相同的特征,即悬索在接近800 s时趋于稳态状态；在驰振的开始阶段,悬索受到外部激励的作用不停地振动,随着时间的增加,幅值越来越大；在200～800 s之间由于多档悬索之间存在相互作用使得悬索的位移响应极其复杂,其为悬索从不稳定状态到稳态状态的一个必经过程,800 s之后悬索稳定,稳定后的幅值接近0.35 m,但不同的绝缘子串偏摆组合,悬索稳定后的幅值有一定的差异.

由于绝缘子串偏摆方向的随机性,使得4种绝缘子偏摆组合下的位移响应存在些许差异,为了更加清楚地对比这些差异,下面将给出某一时刻下多档悬索整体的位移时程曲线,如图10所示.

通过图10可知：在不同的绝缘子串偏摆组合下,相等档距悬索的位移却存在着明显的差异,且绝缘子串偏摆组合形式的不同其差异也不同,为了更加清楚地对比不同偏摆组合下的差异,将时刻1、2、3下悬索的位移数据导入表2～5中,并求得最大的位移变化量,具体数据见表2～表5.

表2 绝缘子偏转组合1多档悬索在某时刻的位移

表3 绝缘子偏转组合2多档悬索在某时刻的位移

表4 绝缘子偏转组合3多档悬索在某时刻的位移

表5 绝缘子偏转组合4多档悬索在某时刻的位移

观察表2～表5可知：绝缘子串偏摆组合3,在时刻3的最大位移比最小位移增加21.39%,时刻1的最大位移比最小位移增加14.12%,这种偏摆组合下悬索的大幅度位移所产生的交变张力易使得构件疲劳,严重时会导致结构功能失效；表2～表5最小增量也达到5.12%,位移增加明显,因此多档悬索之间的相互作用并不能忽略,通过建立多档悬索振动模型比建立单档悬索振动模型更符合实际工况,更适用于工程的研究.

4 结 论

本文建立了多档悬索振动模型,通过对相同档距的悬索动力响应分析得知：在某一时刻下多档悬索之间的位移响应存在明显的差异,且该差异随着绝缘子串偏摆组合形式的不同而变化,在绝缘子串偏摆组合形式3下悬索的位移差异最为明显,由于大幅振动产生的交变张力会使得构件疲劳,进而导致结构功能失效,因此建立多档悬索振动模型比建立传统的单档悬索振动模型更为合理.本文的研究能给予实际工程一定的参考价值.