小学教学“去数学化”现象透视及应对策略

丁洪

[摘要]“数学化”教学实践的偏差，成为“去数学化”理念产生的基础。为了以正视听，从“数学化”与“去数学化”两者产生的源头说起，辨析它们之间的联系和区别，并通过对课堂现场的深度扫描，提炼解决偏差的策略，为教学回归正道提供指南，驱动“数学化”教学服务师生发展。

[关键词]去数学化;数学化;课堂观察;教学策略

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0001-04

小学数学教学的核心是体现数学本质、精中求简和返璞归真，呈现的是数学特有的“教育形态”，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。应该说，无论课程怎么改革，新理念怎样优越，新技术怎样娴熟，如果游离于数学教学的核心之外，仅是徒有其表的渲染和建构，必然阻碍学生的发展。对于这种追求轻视数学本质、演绎忽略数学内容和培养缺失数学素养的教学现象，张奠宙教授称之为“去数学化”。如果教师不能清醒地认识和客观地评估自己的教学状况，深陷其中，那么“去数学化”倾向将会危及数学教育的生命。这，绝非危言耸听。

那么，“去数学化”形成的理论背景和现实基础是什么？“去数学化”在当下数学课堂中有怎样的表现？现实教学破解“去数学化”的策略又是什么？笔者结合理论学习和自身实践，尝试做出回应与解答，以期引发大家对“去数学化”现象的再思考，最终实现教师能有效地教，学生能深度地学。

一、“去数学化”的来龙去脉

仅从字面理解，“去数学化”与“数学化”看似相互对立，但是，只要“正本清源”，就能“对症下药”。因此，要想揭开“去数学化”的神秘面纱，必须同时回答什么是“数学化”，而且要弄清楚两者之间的联系和区别。

1.为“数学化”验明正身

“数学化”是荷兰教育家、数学家弗赖登塔尔的核心教育理念，它泛指学习者从一个具体的情景问题开始到得出一个抽象数学概念的全过程。换句话说，数学学习一旦脱离学生实际，学生学习的热情就容易被抑制，而且过度抽象的数学美，学生也难以欣赏和体验。长此以往，学生积淀的负面情绪难以化解，数学学习的成就感无法形成，数学学习的成绩难以提高，学生出现思想涣散、心理抵触、行动倦怠等状况也就在所难免、不足为奇。弗赖登塔尔认为，改变这种教学现状的唯一正确的道路是，相信学生能够根据自己的常识进行“再创造”，通过提炼问题、发现规律和主动建构的有序经历，驱动学生的“数学化”学习从粗糙到精密、化被动为主动，并由生动走向深刻。

具体来说，“数学化”分为横向数学化和纵向数学化两种水平。其中，横向数学化主要引导学生发现情景问题中的数学成分，并对这些数学成分做符号化处理，经历从“生活”到“符号”的过程，因为有学生生活经验的参与，所以过程中的“生活味”要浓一些;纵向数学化是学生从具体问题到抽象概念，以建立数学问题与数学系统之间的关系为目标，是在数学范畴内对已经符号化了的问题做进一步抽象化的处理，引导学生从“符号”到“概念”，因为是数学问题自身的螺旋建构，所以过程中的“数学味”要浓一些。一般而言，小學生的学习先经历横向数学化过程，再经历纵向数学化过程。但是，随着学习的深人，“数学味”将逐渐浓于“生活味”，这是数学学科特质决定的，也是历史发展的必然趋势。不过，如果数学建构遇到困难和阻碍，仍旧可以引入生活元素，以帮助学生理解和突破。

2.“去数学化”缘何而来

运用双重二分法分析教学中的两种数学化（如图1），有趣且能引人深思。

可以看出，如果图1缺少横向数学化，也缺少纵向数学化，是机械主义的教学。这种教学没有生活味道，但缺少数学道理，学习如同嚼蜡，食之无味。横向数学化得到发展，但纵向数学化不足，是经验主义的教学。这种教学有生活味道，但缺少数学道理，学习如空心芦苇，华而不实。横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学。这种教学没有生活味道，但充满数学道理，学习如空中楼阁，不接地气。横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。这种教学有生活味道，也有数学道理，学习有滋有味，事半功倍。

显然，教学应该是两种水平的数学化结伴而行、因需侧重和辩证统一。但是，理想与现实仍有一段距离。当教学出现机械主义、经验主义和结构主义时，就很容易成为他人攻击的目标。美国教育家克伯屈率先提出教学要“去数学化”。他公然鼓吹，“就日常生活中的思维类型而言，数学害大于利。现有中学的代数学和几何学的学习不应继续下去”，他还认为“过去教的代数和几何，不是太少，而是太多。尤其在小学阶段，呆板的课堂教学、单调的书本知识、被动的学习方式，以及分科教学孤立、分散等缺点，不适合学生的学习，更不利于学生的发展”。因此，他强烈建议，废除班级授课制度，打破学科界限，摒弃传统的教科书。不过，形式上的改变和突破，并未能触及实际困境的本质。而且，基于这种方式的“去数学化”行为，使得教材编写、教学组织和教学指导等存在诸多不便，特别是学生不能获得系统的科学知识，自然影响学习质量。

可以看出，“数学化”重视知识的“再创造”过程，“怎么做”指向明确、层次分明，教学强调“学以致用”;“去数学化”是针对前者实施偏差所提出的，拒绝过度“形式化”，着重强调“学以备用”。但是，从积极的角度联系两者，“去数学化”其实是为了更好地践行“数学化”，它们应该从简单对立走向融合统一。

二、“去数学化”的现象透视

“数学化”和“去数学化”的教育理念都是舶来品。回归教学现场，我们发现，一般教师对新理念的态度是，实践之前趋之若鹜，实践当中囫囵吞枣，实践之后若有所失。应该说，“去数学化”既是对这种教学现状的客观描述，也是希望教师在中肯评价之后能够有所作为。

1.形式与内容关系不协调

实际教学中，我们既要分析抽象的数学知识是如何形成和发展的，关注教学内容，也应引导学生理解数学是舍弃了具体现象去研究一般性质的科学，关注知识形式。只有处理好形式与内容的关系，教学才可能避免走向两个极端。

以“用字母表示数”一课为例，教学一般根据教材所提供的问题情境，先明确告诉学生“三角形的个数”和“已经行驶的千米数”可以用某个字母表示，然后再根据数量之间的关系，依次解决“小棒的总数怎么表示？”和“剩下的路程怎么表示？”的问题，至于乘号的简写规则，通常是故事演绎或是自主学习，只是换了一种告诉方式而已。而且，对字母范围的积极讨论、代数求值的替换体验和简写规则的闯关游戏等，也是发生在已经出现用字母表示数之后。纵观课堂，“为什么选择用字母表示数？”“用字母表示数的历史文化和阶段特点是什么？”“含有字母的式子为什么既能表示具体数量，也能表示数量之间的关系？”“含有字母的式子比较简洁，再次简洁的内驱力又是什么？”等问题悬而未决，教学因为缺少数学抽象的体验和符号意识的发展，使得学生记住了用字母表示数的事实，却忽略其存在的现实意义和发展功能。

2.结论与过程联系不紧密

教学需要过程生动与结论深刻，两者相得益彰。这里的过程指向知识的“再创造”，它承载着知识的脉络、知识的重难点和建构知识的相关数学思想，学生只有充分经历了这些必要过程，所得结论才可能、可靠和可信。

以“三角形的认识”一课为例，其中有这样一个环节：感知三角形的稳定性。教学时，借助三角形的实物道具，通过拉一拉、说一说、想一想等，使学生形成“因为拉不动，所以三角形具有稳定性”的认知，与之对应出现的还有平行四边形，得到“因为拉得动，所以平行四边形具有不稳定性”的结论，然后辅之以大量的生活图片，说明三角形稳定性的应用广泛。事实上，这样的“再创造”过程并不能帮助学生获得良好体验和正确结论，在某种程度上还会误导学生将实物的物理属性和图形的结构特征混为一谈。正确的做法是，提供长度相等的小棒，让学生任意摆放三角形和平行四边形，引发学生猜想、对比和验证，得到：小棒的长度相等时，对应的三角形只有一种形状，而平行四边形就有多种情况。有了图形组成的单一性和多样性的过程体验，学生对三角形具有稳定性的感知就水到渠成了。

3.知识与能力步调不一致

知识就是力量，知识还是能力形成的前提。但是，教学如果侧重知識掌握的速度、存储的数量等，而不注重超越知识本身，忽视学习关键能力的培养，则将演变成“灌装”成品，所谓的能力也只可能是现有存货的简单调用而已。

以“可能性”一课为例，教学首先通过摸球游戏，引导学生体验可能、一定和不可能的存在，指出三种情况都属于可能性的研究范围;接着通过摸牌游戏，一方面，让学生感觉四张都是红桃时，摸哪一张都有可能，但是花色一定是红色，而且不可能摸到黑桃等，另一方面，用黑桃4替换红桃4之后，借助猜想、实验和数据分析，最终得到“数量多少”决定“可能性大小”的体验和结论。纵观课堂，这些知识只是基于学生生活经验的正向强化，教学并没有带来相关能力的发展。在这里，学生至少要形成这些能力，一是精准定位可能性发生的时段，那就是讨论和分析可能性都应在“摸之前”，因为“摸之后”一切皆有可能;二是运用列举策略解决稍复杂问题的能力，将教材中只具有单一性表现的事物，换成具有多样性存在的事物，如设计抛两枚硬币、掷两个骰子等，以驱动学生形成先列举所有情况，再进行有效判断，以此内化解决问题的思维路径。

以上所呈现的情况，只是课堂的一个侧面或缩影，但仍然能说明一些存在的问题，能给现实教学以某种提醒。换句话说，教学不但要关注形式与内容、结论与过程、知识与能力，而且要能做到辩证统一的实施。只有这样，纵、横向数学化才可能和谐共生。

三、“去数学化”的应对策略

“去数学化”旨在反对知识的过度形式化，因为学生觉得晦涩难懂;也反对教学的过度包装化，因为学生不知所云;还反对设计的过度生活化，因为学生难以提升;等等。“去数学化”不是空喊口号，也不是机械地站在“数学化”的对立面，而是要实实在在地做一些事情，并从中提炼出共性的操作策略，以便更好地服务于现实教学。

1.让“好问题”成为教学前提

“好问题”具有“生动且深刻”的品质，“生动”是由小学生的认知特质决定的，“深刻”则是由数学学科的本质属性决定的。从某种意义上说，“好问题”成就了“好课堂”。

好问题从哪里来？首先，来自对静态教材的动态把握，教材有外显的知识结构，层层递进、螺旋建构，教材蕴含丰富的数学思想，同中有异、异中有同，好问题在知识的合理解构与因需重构中产生;其次，来自对学生发展需要的精准把脉，好问题一定是贴近学生实际，学生喜闻乐见、积极参与的，是在学生的实际需求与发展预期中产生的;最后，来自对历史的鉴赏和自我的认同，教师以历史的视角盘活所有资源，使得适合、适切和适用的“老问题”焕发新的生机。好问题是什么样的？这个问题，仁者见仁，智者见智。不过，有些好问题让人印象深刻，比如“用转化的策略解决问题”一课中，设计问题“是怎样转化的？”“为什么可以这样转化？”“一定是这样转化吗？”以驱动学生自主建构转化策略;又如“认识多边形”一单元，设计问题“边长的长度有什么特点？”“角度的大小有什么特点？”“是轴对称图形吗？”以驱动学生内化平面图形的特征和研究方法;再如设计问题“定怎样的标准？”“如何去测量？”“得什么结果？”以驱动所有计量单位的学习。好问题又该如何用？可以像上面的例子一样，一堂课、一个单元，或是一种类型的整体式驱动，当然，也可以根据需要采用嵌入式或独立式驱动，不求高、大、上，但求联、通、实。

2.让“有过程”成为教学常态

“有过程”具有“再创造”的性质，因为知识的属性有所不同，所以“再创造”的路径并不一样。其中，发现的知识以探究的方式揭示其固有规律，发明的知识以创造的方式体验其生长规律。

发现的知识不以人的主观意志为转移，不受时空限制，所得结论是稳定的、确定的。以苏教版教材为例，从三年级开始，每个学期都安排一个探索规律的知识专题，如“间隔排列”“有趣的乘法计算”“简单的周期”等，一共8个。其他年级是结合相关内容探索简单的数和图形的变化规律。教材中与之类似的内容就更多了。这种类型的知识，适合用探究的方式来学习，学生主要经历的是不完全归纳的“再创造”过程，以培养合情推理的能力。而发明的知识在创造时间、创造空间和创造样式等方面是存在明显的偶然性和特殊性的，所得结论一般是规定且暂时稳定的，仍然存在继续发展的可能，如分数的产生、确定位置的方法和统计的样式等。这种类型的知识，适合用创造的方式来学习，学生在经历知识的生长、发展和建构的“再创造”过程中，抽象建模的能力得到培养。显然，不同属性的知识，有着不同的“再创造”过程，如果教学路径发生偏差，就像研究“平行四边形的面积”，让学生去创造“平行四边形的面积计算”规律，抑或是学习“认识5”时，让学生去发明“5的写法”，后果不堪设想，将是无趣、低效，甚至是有害的。

3.让“有评价”成为教学内驱

“有评价”具有“方向标”的功能，评价服务于学生，让学生知道学习的状态、学习的品质和学习的效果，评价还服务于教师，驱动教师改进教学方法、提升教学质量和放大教学功能。

什么时候评价？教学需要围绕问题来对话，对话是由浅人深、循序渐进的，通常先分析条件和问题，再确定数量之间的关系，最后选择一种方法或方式解决问题。对应的，评价就有即时评价、板块評价和总体评价。其中，即时评价发生在每个板块的内部，驱动学生形成自我认识，即“在做什么”“做得怎么样”“还要做什么”等;板块评价发生在板块的结束，是对内容的阶段概括，一般承上启下、串起教学;总体评价发生在课堂的结尾，是一堂课的收官之作、点睛之笔。由谁来评价？一般而言，只要是教学的参与者，都是评价的主体。尤其是学生，以积极的姿态参与其中，改变被动听讲的学习习惯，这种角色意识的觉醒，比学习本身更重要，也更有意义。评价的内容是什么？有情感态度类的评价，如“你说得真好！”“你的眼睛真亮！”“你听得真清楚！”等，这样的评价能润滑教学，但不触及数学内容;有知识技能类的评价，如“这样画图，是将第二天和第三天的借书数量都转化成了第一天的，还有不同方法吗？”这一类评价指向数学方法，能帮助对比建构;还有策略价值类的评价，如“看来，运用画图来解决问题，比较直观、清楚和便于分析数据。我们画出了条件和问题，画出了思路和思维，更画出了不一样的精彩！”……这一类评价紧扣数学内容，触及数学本质。

4.让“有素养”成为教学追求

“有素养”具有“立德树人”的意蕴，这里的关键能力和必备品格，指向利用数学的视角观察问题、应用数学的思维分析问题和应用数学的方法解决问题，以驱动学生理性思考、科学建模和学会学习。

小学生的数学素养，可以在不同层次的追问中培养起来。

一问“是什么”，如“认识体积单位”一课中，追问“认识单位是为了测量需要，那么学习目标就仅仅是学会测量吗？”学生就能感知测量的量化本质，提炼量化的一般路径，即定标准、去测量、得结果，并顺势反思所有计量单位，从而发现：规定的标准量，其实是量化世界的起点和工具。这样的追问，层层剥茧，厘清了知识背后蕴含的本质。

二问“为什么”，如“钉子板上的多边形”一课中，追问：“当内部格点数为1时，为什么存在S=n÷2这个规律？”引导学生发现：内部格点与图形边上的顶点连成独立的三角形，三角形的个数等于边上的点子数，而面积恰好是点子数的一半。这样的追问，追本溯源，实现思维的灵活通透。

三问“还有什么”，这里可以分为三次。首先是追问“教材”，如计算“24×12”，追问：“还可以怎样计算呢？”顺势介绍铺地锦的方法、十字交叉相乘的方法、画图表征的方法等，引导学生感知方法外在多样，但数位内在对齐;其次是追问“过程”，如“三角形的面积计算”一课中，追问：“三角形可以等面积转化吗？又该怎么转化？教材为什么选择和推荐非等面积转化呢？”引导学生感知方法虽然不同，但是转化成已知图形的方向是一致的;最后追问“结果”，如“确定位置”一课中，追问：“为什么学习了用数对确定位置，还要学习用方向和距离确定位置，两者之间有什么相同点和不同点？”弄清楚确定位置都需要选择参照物，在用列和行这一对数确定位置时，参照的点是相对静止的，而在方向和距离确定位置时，可以根据需要选择合适的参照点，引导学生感知平面内确定位置的共性特征和个性特点。这样的追问，能帮助学生开阔视野，构建完整的数学视界。

从视域融合的角度看，“去数学化”恰好反映了“数学化”教学中的不足，对“去数学化”现象的深度扫描，能够帮助“当局者”更清醒地认识到实践中出现的偏差，而“去数学化”的应对策略，其实是从另外一个角度为更好地践行“数学化”思想提供了指南。弄清楚了这些，教学就可以回归现实，良性循环，而不再是不明事理，“毁人”不倦！