基于马氏距离的样品判别评价研究

2020-07-08张国俭

晋中学院学报 2020年3期

张国俭

（晋中学院数学学院，山西晋中030619）

判别分析是一种应用十分广泛的统计分析方法，在经济学、地质学、医学、气象学等学科中均有广泛的应用．判别分析的方法主要有距离判别、贝叶斯判别、费歇判别、逐步判别、非参数判别等［1～3］，对判别准则的评价方法有回代估计法、交叉确认估计法［1］（刀切法［4］）、前瞻性考核［4］等．总体而言，它们只研究了判别方法及对判别准则的评价，而没有对一个固定的样品其判别优劣评价的研究，而现实中这样的评价又具有重要的意义．有鉴于此，本文首先对两个正态总体的样品判别优劣的评价进行了研究，然后又推广到多个正态总体，提出了待判域的概念，用以鉴别距离差没有统计学意义的样品，在此基础上，提出了判别系数的概念，用以对样品判别的优劣进行评价．最后，指出了本文的不足之处以及需要进一步研究的方面．

1 准备知识

定理1.1［1］设G1和G2是两个不同的p维已知总体，其均值向量分别为μ1和μ2，协方差矩阵相等且都为Σ，x0为一样品值，记W（ix0）=+bi，ai=Σ-1μi，bi=Σ-1μi，i=1，2.则判别准则为：

定理 1.2［1］设 G1，G2，…，Gk是 k 个不同的 p 维已知总体，其均值向量分别为 μ1，μ2，…，μk，协方差矩阵相等且都为Σ，x0为一样品值，记W（ix0）=+bi，ai=Σ-1μi，bi=μi，i=1，2，…，k.则判别准则为：

对于x是p维随机向量，有如下的结论：

定理1.3［1］设x～Np（μ，Σ），又Y=ATx+b，其中b为p维常向量，AT是l×p矩阵，rank（AT）=l，则Y～Nl（ATμ+b，ATΣA）.

定理1.4若x～N（μ，Σ），则Wi（x）～N（+bi，Σai），i=1，2，…，k.

证明：x是来自p维正态总体的任一样品，由定理1.3知，随机变量Wi（x）服从正态分布.下面求Wi（x）的数学期望与方差：

证毕．

注：这里为了整篇文章的符号统一，上面有些定理中的符号做了适当的修改，只是所用的符号不同，不会影响整个定理的正确性.

2 显著性检验

大家只对判别准则的评价进行了研究，对于一个固定的样品，并没有对其判别评价的研究，而现实中后者又有重要的意义．比如，有某种疾病，样本分为患病和不患病两类．在马氏距离判别准则下，如果某样品的数据指标离两个总体的距离相等，就无法对其进行判别，即使把其归为其中的一类，其实际意义也不大．同理，如果其数据指标虽然不等，但很接近，其实际意义也不大．如果此样品为患者，说明此样品刚患病，其数据指标不明显．如果此样品不是患者，说明此样品患病的趋势已经很明显，稍不加注意就可能患病，应该进行药物控制或多加强锻炼．所以，患病和不患病中间还有一个比较模糊的区域．下面对样品的判别函数的差异进行显著性检验，提出了待判域的概念，用以对数据指标没有明显所属的样品进行鉴别，同时提出了判别系数的概念，用以对样品的判别优劣进行评价．

对一个固定的样品来说，不同的观测有不同的观测向量，所以可以把它看作一个随机向量.设样品x=（x1，x2，…，xp）T是p维空间中的一个随机向量，由于它取自协方差阵皆为Σ的正态总体中的一个，故可设x～Np（μ，Σ）（μ未知）.而具体的数据向量x0=（x10，x20，…，xp0）T看成x的一个观测向量，下面对判别函数的差异做显著性假设检验．