亲历合情推理 探究等式规律——基于学习经验的《等式的性质》教学思考与实践

等式的性质是等式固有的一种规律。一般的教学形式是通过观察天平两边同时增加或减少（包括成倍增加或减少）相同质量的物品，而天平依旧平衡的现象，把它们转化成等式，再类比等式中的变化，逐步概括出等式的性质。这样的教学过程，虽然规范了学生的思考过程，但是也压缩了学生的思维空间。能否引导学生亲历学习过程，自主从一架天平中发现不同的等式，再依据所积累的等式，推理发现等式的两个性质？带着这样的思考，笔者对《等式的性质》这一学习内容与教学过程进行了调整与尝试，设计开展下列教学环节，收效良好。

一、探究交流，合作学习

1.课前交流，激发兴趣。

师：同学们，今天我们一起来学习《等式的性质》。等式有哪些性质呢？我们借助天平来探索。想一想，怎样让天平保持平衡？

生：左右两边放上相同重量的物品。

师：看，现在天平上放了什么？如果花盆用a表示，花瓶用b表示，怎样写出等式？

生：a+b=4b。

师：如果要将左右两边物品发生变化，但天平依旧保持平衡，你有什么办法？

生：同时放上1个花瓶。

生：可以在左边放上1个花盆，在右边也放上1个花盆。

师：刚才两名同学表达了他们的想法，其他同学的想法是怎样的呢？如何用等式表达出你们的想法呢？请同学们拿出《学习单》，按照要求小组合作学习。

2.交流汇报，积累经验。

生：在天平两边同时添上1个花盆，天平保持平衡。用式子表示为：a+b+a=4b+a。在天平左右两边同时添上1个苹果，天平依旧保持平衡。用式子表示为：a+b+c=4b+c。

生：在天平左右两边同时去掉1个花瓶，天平保持平衡，现在的等式是：a+b-b=4b-b。在天平的两边分别加上1个花瓶，天平保持平衡，现在的等式是：a+b+b=4b+b。

生：我们小组一致发现：在等式两边同时加上或减去相同的数（或物品），等式依然成立。

3.学生补充，引发思考。

师：其他同学还有不同的想法吗？

生：我在天平两边同时添上2个花盆，天平保持平衡。用式子表示为：a+b+2a=4b+2a。

4.教师引导，规范表述。

师：（指板书）我们写出了那么多的等式，你们有什么发现？

生：等式两边同时加或者减同一个数，等式两边仍然相等。

生：（众）等式两边同时加上或者减去同一个数，等式两边仍然相等。

师：一起把我们的发现说一说。

【思考：五年级学生对等式性质的思考过程感到比较抽象，需要借助一个形象的模型——天平作为支撑。教学中，教师组织学生进行集体提问、激发兴趣，再进行独立思考、小组合作，在自主尝试与直观描绘中体会“天平两边同时添上或去掉同一重量的物品，天平依旧保持平衡”。思考与交流时，指导学生有效进行合情推理，在理解多个举例情况均成立后，发现等式规律，概括等式性质1。】

二、大胆猜测，亲历过程

1.迁移经验，猜测验证。

师：同学们，刚才你们画图、写等式，通过小组合作交流，得出了等式性质1。数学上，有没有等式性质2呢？猜一猜。

生：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等。

师：（出示性质2）真的会成立吗？让我们一起来验证。

2.交流汇报，验证猜测。

师：谁愿意来交流？

生：我在天平左侧放2个苹果，天平右侧放1个西瓜，天平保持平衡，苹果用a表示，西瓜用b表示，等式为2a=b。再在天平左侧放4个苹果，右侧放2个西瓜，天平左右两边加上同样质量的物品，依旧保持平衡，等式为2a×3=b×3，6a=3b。

生：我先在天平左侧放上4个苹果，右侧放上2个西瓜，这时天平保持平衡，等式为4a=2b。接着，我将左边的4个苹果平均分成2份，去掉其中的1份，再将右边的西瓜也平均分成2份，去掉其中的1份，天平依然保持平衡，等式是4a÷2=2b÷2。

3.学生补充，完善提升。

师：你还有不一样的式子吗？

生：8a=4b，8a÷2=4b÷2。

生：3x=9y，3x÷3=9y÷3。

……

师：同学们真棒，你们勇于猜想，乐于验证，得到了等式性质2是成立的。把我们的验证成果读一读。

【思考：学生在第一教学环节中借助天平直观图独立思考与举例，进行合情推理，逐步概括得到等式性质1。这一学习过程，让学生不仅探究了数学规律，而且积累了数学探究的经验，这正是《数学课程标准》所大力倡导与推行的。第二环节教师利用学生概括等式性质1的学习经验，鼓励学生大胆猜测，归纳等式性质2，再启发学生正向迁移学习方式，尝试用多个举例解释与验证等式性质2。】

三、性质应用，拓展提升

1.利用等式性质解决问题。

生：等式右边150×3等于450，根据等式性质，右边乘3，等式左边也要乘3，所以是9t。

生：等式左边5个排球除以5，等于1个排球，根据等式性质，等式右边也要除以5，所以是5个小足球。

师：看来，同学们利用等式的性质解决了不少问题，学得不错。

2.根据等式性质判断。

如果字母a=b，下面正确的等式是（ ）

（1）①a+2=b+3 ②a-x=b+5 ③3a=b+b+b

师：看大家的选择情况，出奇一致。你们为什么都认为第3个等式是对的？

生：因为a=b,3a=a+a+a，也就是b+b+b。而第一选项，a+2=b+3，左右加的数不一样；第二选项，a-x=b+5，左右加减不同，数也不同；所以只有第三选项的等式是正确的。

（2）①a=2b ②a÷c=b÷c ③a÷7=b÷7

师：这一题，选②、选③的都有，到底哪个答案是正确的呢？把你的想法告诉你的组内同学。再来选一次。

师：从大家选择的情况来看，有不少组的同学都修改了选项。通过讨论，你的想法发生了什么变化？

生：原来我选择的是第二个选项，但经过讨论，我觉得第三个选项是正确的。因为a÷c=b÷c，c有可能为0，当c为0时，等式不能成立。而a÷7=b÷7，等式左右两边同除以7是可以的，所以选项三才正确。

师：（小结）通过小组讨论，同学们修正了自己的答案，看来数学学习就是需要这样的认真细致与相互切磋。

【思考：本环节属课堂第一层次的练习，旨在检测学生对等式两个性质的理解与掌握情况，第一题重在引导学生应用性质求出等式的一部分，并能规范表述解题的依据；第二题利用智慧课堂中的遥控器，即时呈现学生的选择情况，反馈教学效果，第一次按键选择中有16位同学答题错误，教师引导全体学生利用组间合作、同桌互助的学习形式进行讨论，第二次按键选择中43位同学均答题正确。课堂教学中，需要在尊重学生个体差异的基础上，指导与提升个别学生的学习能力与思维品质。】

3.利用等式的性质拓展应用。

师：一道趣味数学题，用今天学习的知识能解决吗？请同学们在《学习单》上试一试，把相关等式记下来，做完后，和小组里的同学交流。

师：谁愿意上来介绍你的方法？

生：我用等式①减等式②，得到△+○-（□+△）=33-27，○-□=6，记作等式④，○+□=30，左右两边同加上30，等式还是相等的，2个○=36，再根据等式性质2，两边同除以2，得到○=18。然后在等式①中求出△，在等式②中求出□。

师：［指着△+○-（□+△）=33-27］为什么左右两边仍然相等？

生：根据等式性质1，等式左右两边减去同一个相等的量，等式两边依旧相等。

师：是的，两个等式的左边减左边，就等于右边减右边。

师：谁还有不同的思考方法？

生：我把三个等式的左边都加起来，右边也都加起来：△+○+□+△+○+□=33+27+30，就得到了2（△+○+□）=90，△+○+□=45，再根据这个等式和等式①，可以求出□；根据这个等式和等式②，可以求出○；根据这个等式和等式③，可以求出△。

师：2（△+○+□）=90，△+○+□=45，这个等式怎么得来的？

生：利用等式性质2，左右两边同时除以2，等式仍然成立。

【思考：本环节属课堂第二层次的练习，一题多法，以培养学生思维的敏捷度与多样性。教学时，学生先进行独立思考、记录步骤，再在小组内进行分享交流、规范表述，最后进行集体反馈。通过上述环节，旨在培育学生观察分析、抽象概括与推理能力，体会数学表达中的优化思想，提高学生的数学学习兴趣。】

《数学课程标准》指出：在观察、实验、猜想、验证等活动中发展合情推理能力，能有条理地进行思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。本节课，在教学中利用智慧软件实现组际交流、组间互补，设计有层次的练习活动，引导学生通过观察、归纳、联想、类比等活动发现规律、猜测结论、进行验证。组织学生发现等式性质的教学过程，就是一种合情推理的过程。