挖掘教材探究题让数学融入生活

吴敏强

摘 要：数学建模是数学六大核心素养之一，培养学生数学应用的意识是数学教学的目标。本文从教材本身出发，挖掘教材探究题，阐述了教材在数学建模方面的指导作用，并从经济、空间、建筑、测绘四个方面例析教材在培养学生数学应用意识的重要作用。

关键词：数学建模;教材探究题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）09-092-2

数学建模是数学六大核心素养之一。普通高中数学课程标准指出：“数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。”这就要求教师在进行数学教学中，主动自觉的引入数学建模的思想，引领学生感悟数学与现实之间的关联。

笔者通读普通高中数学教科书（苏教版）必修系列，发现教材对于数学建模和数学应用非常重视，教材在序言、课题引入、探究思考、例题、习题、阅读材料和实习作业等方式中从不同角度，不同维度对数学建模与应用进行了编排。笔者从必修1到必修5五本教科书中从经济、空间、建筑、测绘四个方面中各挑选了一个问题并加以改编设计，以期能引导学生领略数学在生活中的广泛应用。具体如下：

一、经济领域，“赚钱”值得我们探讨

我们知道，经济学离不开数学。而在高中的课堂上，和学生探讨利用数学“赚钱”的问题，实在是把数学融入生活的绝好题材。

普通高中数学教科书（苏教版）必修1第99页的例3介绍了边际函数在经济领域中的应用，笔者充分利用本题，与学生充分互动，探讨关于“赚钱”的问题，课堂气氛活跃，让学生充分体会到数学在日常生产中的应用，具体处理如下：

例1 在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生成x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x-20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。（1）求利润函数P（x）和边际利润函数MP（x）;（2）利润函数P（x）和边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

分析：笔者首先让学生独立审题，解答教科书给出的两个问题，学生根据函数的知识，很快就给出了正确解答，具体解答不再赘述。本题的解答并不是处理的重点，为了让学生体会数学在生成生活中的应用，笔者设计了以下问题和学生探讨“赚钱”的问题：（1）思考利润和边际利润的含义;（2）为什么利润函数与边际利润函数的最大值不同;（3）如果你作为该厂的总裁，你会如何安排生产。笔者设计的三个问题是有思维梯度的，学生要搞清楚怎么“赚钱”，首先要理解边际利润，这也是问题（1）的初衷，问题（2）是为了让学生区分开利润和边际利润，加强理解。函数分析是手段，如何利用之前的分析安排生产让利润最大化才是最终的目标，所以问题（3）让本题完全开放，让数学理论完全融入了生活。

二、空间领域，“转角”不一定转得过

数学在空间的应用离不开直观想象，而直观想象本就是数学六大核心素养之一。普通高中数学教科书（苏教版）必修4中就有一个有关“转角”的探究题，非常适合带学生感受数学在空间领域的实用价值。

例2 一铁棒欲通过如图1所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）证明棒长L（θ）=95sinθ+65cosθ;（2）当θ∈（0，π2）时，作出上述函数的图像（可用计算器或计算机）;（3）由（2）中的图像求L（θ）的最小值（可用计算器或计算机）;（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值。

分析：笔者在处理本题的时候设计了以下问题：（1）请你想一下，在生活中哪些场景会遇到本题提出的问题;（2）请解答本题，并简述本题设置的四个问题的意义;（3）你能对本题进行改编吗？

设计理念：问题（1）是为了让学生把问题更彻底的融入生活，学生回答了搬家具，抬楼梯，搬龙骨等场景，使得学生对本题有了更好的理解。问题（2）是则是数学建模必须的核心部分，把实际问题数学化，促使学生找到解决问题的核心所在，为问题解答做准备。问题（3）则是本题的亮点，使本题开放化，把数学问题再次引入生活，实现强化学生数学建模核心素养的教学目标。

笔者与学生探讨总结，给出的改编题如下：

改编1：如图2，一条转角角度为120°的走廊，宽度为1m，若一根铁棒AB能水平通过此走廊，则铁棒的最长长度为 。

改编2：如图3，一条宽为a的直角走廊，现有一平板车，平板面是一宽为b（0

三、建筑领域，“挖泥”也挺好玩

普通高中数学教科书（苏教版）必修2中有一个有关建筑的问题，可以让学生领略数学在大型工程建设中有着无与伦比的作用。

例3 在图4的网格区域内拟建一座公差，每个网格小正方形的面积为20m×20m，格点处的深度（单位：m）如表所示，在此深度内的土石需要挖走。试估算：（1）应挖走的土方;（2）挖掘机挖土时，泥土因变松而使体积增加15%，如果每辆翻斗车能装运18m3，那么运走这些土石需要多少车次？

分析：笔者设计了以下问题：（1）请简述本题所解决的实际问题的目标是什么？（2）请阅读学习体积的近似计算法——“网格标高法”;（3）请用“网格标高法”解决本题。

设计理念：阅读审题是数学建模的核心，决定了解决问题的方向。问题（1）的设计是让学生在阅读中找到问题的目标与方向。信息题是高考的热点问题，而问题（2）是其实就是一个信息题，通过阅读材料“现学”，然后“现卖”来解决问题，可以培养学生的分析问题解决问题的能力。问题（3）则让学生感受数学在大型工程建设中从不缺席。

四、测绘领域，“距离”再远也不是问题

测绘从未远离我们的生活，大到铺路架桥，小则房屋建造都离不开测绘，数学与测绘的关系源远流长，可以追溯到远古，人类最早丈量土地就和数学密不可分。测量学对数学的发展起了积极的推动作用，四千多年前，我们祖先发明的测绘工具规矩（规即圆规，矩即角尺类工具），对数学的反发展产生了重要的影响;同时数学为测绘的发展提供了有力的工具。[1]

普通高中数学教科书（苏教版）必修5第21页探究拓展题，就是一个测绘中的基本问题，引导学生运用数学工具解决测绘问题，具体如下：

例5 解三角形在测量上有着广泛的应用，下面个图描述了测量找那个的一些基本问题，你能根据图示说出求解AB的过程吗？

分析：笔者在处理这个问题的时候采用了开放的教学方式，根据教材提供的6个基本问题学生分组编题，并互相交换解答。这样的处理方式可以充分调动学生生活经验，在编题中体验把数學融入生活，数学源于生活的理念，培养学生数学建模和数学应用的思想。成果如下：

[参考文献]

[1]陈珂.数学在测绘中的应用和前景分析[J].科技视界，2018（02）.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（01）.

（作者单位：苏州市吴江盛泽中学，江苏 苏州215000）