分块矩阵在行列式及逆矩阵计算中的应用研究

王从徐

(滁州城市职业学院 教育系，安徽 滁州 239000)

线性代数是高等学校理工科专业必修的基础理论课之一，逻辑严密、抽象性强，在自然科学和工程技术等领域应用广泛.分块矩阵与行列式是线性代数的重要组成部分,是重要的研究工具[1].而分块矩阵能够为高阶矩阵的求逆和高阶行列式的计算提供“打包”的思想，有助于简化计算.岳靖[2]和沈进中[3]分别探讨了分块矩阵在矩阵求逆和行列式的应用.本文首先对分块矩阵在高阶行列式及特殊的高阶矩阵求逆方面进行理论分析，并应用具体例子探讨了分块矩阵的理论运算和工程技术方面的应用.

1 分块矩阵的基本概念

定义2.1：设A是数域F上的m×n矩阵,把A分成如下形式的矩阵,

其中Aij是mi×nj矩

(i=1,2，…,r,j=1,2,…,s,m1+m2+…+mr=m,

n1+n2+…+ns=n),称为A的一个分块矩阵.

分块矩阵的应用过程，就是采用“打包”的思想,把若干个小矩阵看作其中的元素，从而实现降阶和简化计算的目的.分块矩阵的结构与矩阵类似,因此运算也可以按照普通矩阵的运算规则，进行加(减)、数乘、乘积、逆矩阵、转置和初等变换等运算.下面我们将讨论分块矩阵的若干应用.

2 分块矩阵的若干应用

2.1 在行列式计算中的应用

行列式的计算方法有两种：一种是利用性质化为特殊的行列式进行计算，另一种是采用展开加降阶的思想进行计算.利用分块矩阵的思想，可以使我们的行列式计算对象向低阶和特殊结构进行转化，从而达到简化计算的目的[4].

事实上,计算逆矩阵并非易事.对于定理1，通常需要考虑特殊的可逆矩阵.结合分块矩阵的结构和行列式的性质,考虑特殊的可逆矩阵,我们给出注1～3.

下面,我们通过例子来说明分块矩阵在行列式计算中的应用.

该题的求解通常是利用行列式的展开定理得到递推公式,然后利用递推思想进行求解.下面我们利用分块的思想进行计算.

由于B-CA-1D=diag(b-ca-1d).，所以得D2n=|A||B-CA-1D|=an(b-ca-1d)n=(ab-cd)n.

本题属于“爪”型行列式,通常是通过经行消边，转化为特殊的行列式进行求解.由于所求行列式的阶数较高,经行消边的计算量比较大.利用分块矩阵的思想进行计算.

利用克莱姆法则求解，计算

2.2 在矩阵求逆运算中的应用

求逆矩阵是矩阵中的一种重要计算.逆矩阵的求解方法常见有两种：一种是利用伴随矩阵来求解，由于伴随矩阵的结构问题，高阶矩阵的逆矩阵的计算量会非常大；另一种方法是利用矩阵的初等变换方法求逆，这是最常用的方法.利用分块矩阵的思想，将高阶矩阵往低阶矩阵或特殊矩阵上靠拢，从而达到简化计算的目的.

分块矩求逆矩阵的判定及求逆公式[3]十分繁琐,利用从一般到特殊的思想,如果子块十分特殊,考虑某些固定类型的分块矩阵求逆运算.

利用定理2则有

则计算就转化为计算三阶矩阵B-E的逆矩阵(B-E)-1和E+(B-E)-1.

为加密矩阵，求其解密矩阵.

解：解密矩阵为加密矩阵A的逆矩阵.

3 结 论

从上述分析可以看出，分块矩阵的主要思想是“打包”，利用“打包”来达到降阶和向特殊矩阵靠拢的目的.分块矩阵在高阶行列式及高阶矩阵的研究中起着重要作用，一方面可以简化运算，另一方面也可以帮我们看清楚运算过程中子块的结构特点.