一类三次微分系统的时间可逆与中心问题

杨 静，杨 鸣，陆征一

（1.中国科学院成都计算机应用研究所，四川成都610041； 2.中国科学院大学，北京100049；3.四川师范大学数学科学学院，四川成都610066）

1 预备知识

时间可逆是自然科学中最重要的对称性原理之一，其概念源于Birkhoff对三体运动的研究[1].文献[1]的模型存在对合映射，且此模型是关于这个对合映射的不动点集合对称的.周期解一直是微分动力系统关注的对象.特别是1900年Hilbert提出了著名的23个问题后，极限环和中心成为学者们不断关注的焦点.1976年，Devaney[2]给出了可逆系统的定义.特别地，对平面解析微分系统，可逆中心也是一个广泛研究的课题.关于可逆微分动力学的研究见文献[2-3].2000 年，Zhang 等[4]得到了一类特殊三次可逆系统弱中心的条件.2001年，Teixeira等[5]得到：如果系统的一次近似为（-y，x），那么系统是φ-时间可逆的当且仅当原点是它的中心，并获得当系统一次近似为（y，0）时，原点是中心的充分或必要条件.2008年，Romanovski[6]给出了寻找给定二维多项式自治微分系统是时间可逆系统的 Zariski闭集的算法.2011 年，Giné等[7]研究了退化和非退化情形下的时间可逆和中心的关系.2017年，Wei等[8]研究了广义对合微分可逆系统的性质.2018年，Han等[9]研究了平面多项式微分系统可以通过仿射变换变成时间可逆系统的条件.

对于给定的多项式微分系统

判断原点是否为该系统的中心型平衡点，一般地，用Poincaré形式幂级数法.但实际上该方法依赖于焦点量的计算，这对计算机代数系统来说是十分复杂的任务.因此，通常将得到中心充要条件的过程分为两步：首先通过计算系统的前几阶焦点量得到中心的必要条件，然后再判断这些必要条件是否充分.充分性的验证，可以通过积分因子[10]和Poincaré原理[11]来做到.实际上，时间可逆是Poincaré对称原理的一般化.这是因为，满足Poincaré对称原理的系统也是在特殊映射下的时间可逆系统，只需要映射使得系统的相图关于坐标轴对称.后面将在第二节对其进行详细讨论.即便如此，计算焦点量仍旧十分困难，特别是在阶数高的情形.理论上可以利用时间可逆系统和中心的关系，得到标准型中心焦点系统为中心的充要条件，从而避免复杂的焦点量计算.

Wang[12]考虑了一类三次系统

并给出了该系统原点为中心的充分条件.最近，唐璐等[13]利用时间可逆系统的性质得到了系统（2）的另一组原点为中心的充分条件.本文利用时间可逆系统性质，得到了其在线性对合下时间可逆的充要条件.再利用时间可逆与中心的关系，更大程度地扩展了系统原点为中心的充分条件.解决上述问题的关键在于确定多项式系统的零点.计算机代数系统中的结式、Gröbner 基方法[14]和 Regular Chain方法[15]常被用于解决这类问题.本文通过Regular Chain方法来求解多项式系统，从而得到上述多项式系统零点集的一个划分，并通过讨论这些划分中的含参系统有实数解的充要条件，得到系统是时间可逆的充要条件.

2 Poincaré对称原理与时间可逆系统

考虑 Cr微分系统（r∈N∪｛∞，ω｝），

F（x）∈R2是一个向量值函数，且原点是其对应线性系统的中心.N是正整数集合，C∞表示无穷光滑代数，Cω表示在规定区域内定义的解析函数.

定义1[5]系统（3）是时间可逆的，如果存在一个微分同胚映射φ满足φ◦φ=Id，使得

其中，XF是与系统（3）对应的向量场，Id表示恒等映射，◦表示2个映射的合成，φ*表示φ的切映射，即在局部坐标系上 φ*XF=Dxφ（x）F（x），其中Dxφ（x）是 φ 关于 x的雅可比矩阵.满足 φ ◦φ=Id的映射φ被称为对合.

引理1[11]令系统（3）的向量场

若其关于x1轴或x2轴对称，即

或

则原点必为中心.

称引理1为Poincaré原理，它给出了系统（3）为中心的充分条件，即向量场是关于x1轴或x2轴对称的.可以注意到系统（3）在满足向量场是关于x1轴或 x2轴对称的条件（5）或（6）时，也是关于映射

或

时间可逆的.一般地，有如下直接的结果.

引理2若系统（3）在映射φ下是时间可逆的，则原点是系统（3）的中心，其中

或

考虑二维多项式微分系统

其中

f（x）=o（｜x｜）是一个 2 维多项式函数，而（R2，0）表示原点的邻域.我们有引理3.

引理3[5]系统（7）是时间可逆的当且仅当原点是中心.

3 线性对合时间可逆的充要条件

下面给出系统（7）在线性映射下是时间可逆的充要条件.令

其中 λ1，λ2，δ1，δ2∈R，而

由定义1可知系统（7）在φ下时间可逆，需要满足以下条件：

1）φ是一个对合，即满足条件（不考虑B=±E这种平凡的情况）

2）（4）式成立，即

其中包含条件 φ（Ax）=-（Aφ（x）），因为

所以有λ2=δ1且-λ1=δ2.

自然地，有如下直接的结果.

引理4系统（7）在映射 φ（x1，x2）=（λ1x1+λ2x2，δ1x1+δ2x2）下时间可逆当且仅当

其中 x=（x1，x2）.

由引理4，不妨假设线性对合φ为

令

令

由引理4，系统（7）在线性对合下时间可逆的充要条件即为多项式方程组Cof关于变量λ1和λ2有实数解的充要条件.

考虑三次多项式微分系统（2）线性对合时间可逆的问题，得到了系统在线性对合下是时间可逆的充要条件.

定理1系统（2）在线性对合下是时间可逆的，当且仅当下列条件之一成立：

再由引理3，得到此条件也是原点为系统（2）的中心的充分条件.

4 定理1的证明

首先，由引理4提取出与系统（2）对应的多项式方程组Cof，含有15个方程，特别地，

使用计算机代数系统Maple上的实三角化命令RegularChain：-RealTriangularize得到了方程组Cof解集的10个正则半代数集 T1，T2，…，T10（变量序为A＞B＞C＞E＞F＞a＞b＞d＞λ1＞λ2）.定理1中除条件3）、4）和10）以外的条件都可以直接由正则半代数集 Ti（i=2，3，…，10）得到.而条件 3）、4）和10）则可通过讨论正则半代数集T1关于λ1和λ2有实解的充要条件得到的，其中，正则半代数集T1为

当 A≠B 时，由（13）和（14）式得到

将其代入（16）式，经过变换可以得到 d（25（AB）2+d2）ω =0.因为 λ2≠0，所以 d≠0，则需 ω =0.由不等条件可以得到d2-75（AB）2≠0.由 A-B≠0，d≠0即可满足 -1＜λ2＜1.从而得到定理1中条件10）.

当A=B时，由（14）式可得dλ1=0.因为 λ1=0与（13）式使得 λ2=±1，与不等式（17）矛盾，所以d=0.又因为（15）式成立，所以C=E=F=0.将A=B，C=E=F=d=0代入T1得到

当 a=0 时，（19）式化简为 bλ2（2λ1+1）=0，其中λ2≠0，而与（19）式使得，与不等式（17）矛盾，所以b=0.这就得到定理1中条件 3）.

当a≠0时，将（18）与（19）式关于变量 λ2作结式得到

因为 λ2≠0且（19）式成立，所以 λ1≠ -1.所以（20）式等于零，需要

有关于变量λ1的实解，且满足不等条件（17）.当a≠0且b=0时，（21）式可以化为

此时λ2的取值与不等式（17）矛盾；而当a≠0且b≠0时，因为Δ（-1）=-2b2＜0且 Δ（1）=2a2＞0，所以方程（21）有满足 -1＜λ1＜1的实解.又由于该解也是方程（18）和（19）的公共解，同时也需要由它解出的λ2满足不等式（17）.所以还要求Δ（0）=a2-b2≠0，即 a≠ ±b.而要求的 Δ（1/2）=-2b2≠0，Δ（-1/2）=2a2≠0 也是满足的.这就得到了定理1的条件4）.

5 讨论

Wang[12]考虑了系统（2），并借助于计算机推导和Poincaré原理给出了此系统在线性对合下时间可逆中心的一组充分条件.唐璐等[13]借助于时间可逆系统性质得到了系统（2）在线性对合下时间可逆中心的另一组充分条件.本文利用时间可逆系统性质得到了系统（2）在线性对合下时间可逆中心的充要条件.定理1中的条件1）、2）和7）～10）是不同于 Wang[12]的新的充分条件.而唐璐等[13]所得三组充分条件均属于定理1的第10）组条件.

同时，在限制A≠B，d≠0 和d2-75（A-B）2≠0的情形下回答了Wang[12]提出的一个公开问题：

猜想当如下条件成立时：

原点是系统（2）的中心.

而当限制条件不满足时，此猜想还没有结果.而文献[12，16]通过不变曲线方法，利用首次积分理论判断原点为中心，是另一种典型的中心存在性论证方式，可望在非线性对合时间可逆的中心判断方面有所作用.