分形离散裂缝页岩气藏多级压裂水平井数值试井模型

吴明录, 丁明才

(中国石油大学(华东)石油工程学院,山东青岛 266580)

页岩气储层多有裂缝发育,早期的研究通常基于连续性介质假设[1],Laubach等[2]认为储层中的裂缝应该是离散的、不规则的、经常成簇出现的,并提出了离散裂缝网络(DFN)[3-5]的概念,但他们所提出的采用随机建模生成裂缝的方法具有极大的不确定性。Darcel等[6]、Davy等[7]、Kim等[8]提出了一种应用分形理论随机生成离散裂缝网络的方法,采用这种方法生成的裂缝称为分形离散裂缝模型(FDFN),研究表明分形离散裂缝模型更加接近裂缝性油藏的实际情况,而且分形参数对裂缝的整体分布具有很好的控制作用,但并未对分形裂离散裂缝模型的动态特征进行研究。吴明录等[9]将分形离散裂缝模型与试井解释相结合,提出了分形离散裂缝数值试井模型,研究了其不稳定压力响应特征,研究发现分形参数能够很好地控制试井曲线的形态,研究结果为分形离散裂缝模型应用于裂缝性油藏建模和生产动态分析具有重要意义,但该项研究只针对普通砂岩油藏垂直井情形。页岩气藏渗流机制复杂,而且通常采用水平井多级压裂的方式进行开采。目前的页岩气藏压裂水平井试井理论,以采用点源解、线源解和格林函数等方法进行解析求解的方法为主[10-13],该方法在建立模型过程常常忽略页岩气藏储层的各向异性、非均质性以及复杂流动机制。以离散裂缝模型为基础的数值试井方法[14-18]由于求解压裂水平井压力动态时需要根据裂缝分布划分大量非结构化网格,计算量大,大大影响了现场实际应用。笔者考虑页岩气吸附解吸、黏性流、基质与裂缝间的窜流等流动机制,将分形离散裂缝网络应用于页岩气藏多级压裂水平井,建立数值试井模型,并采用嵌入式离散裂缝方法进行求解,研究水平井的拟压力响应特征及分形参数对其影响规律。

1 分形离散裂缝随机建模方法

目前,分形离散裂缝网络建模的方法主要有两种:第一种采用随机建模方法以裂缝中心分布为基础;第二种采用随机建模方法以裂缝长度分布为基础[6]。前者具有诸多优点:首先裂缝中心分布易于随机模拟生成;其次在得到裂缝中心分布的情况下,依据裂缝长度分布、裂缝方向特征便于得到裂缝的总体分布。因此本文中采用基于裂缝中心分布的建模方法。基于裂缝中心分布的离散裂缝网络模型的建模过程可以参照参考文献[6]和[9]。

2 数学模型的建立

2.1 基本假设

假设:①储层均质、水平、等厚,且基质渗透率各向同性;②储层中的气体流动符合达西定律;③储层中的裂缝是分形离散的,且所有裂缝垂直贯穿整个储层;④自由气储存在裂缝和基质孔隙中,吸附气吸附满足Langmuir等温吸附定律;⑤忽略重力和毛管力,开井生产前储层各处压力相等,均为原始地层压力;⑥水平井为射孔完井,天然气只由人工裂缝进入井筒,定产量生产。

2.2 基质系统渗流数学模型

考虑页岩基质颗粒表面吸附解吸,基质系统渗流控制方程为

(1)

其中

式中,ρs为岩石密度,g/cm3;VL为Langmuir吸附体积,cm3/g;p为压力,10-1MPa;pL为Langmuir吸附压力,10-1MPa;Vstd为标准状况(0 ℃,0.1 MPa)下天然气的摩尔体积,cm3/mol;Zg为气体压缩因子;μg为气体黏度,mPa·s;φm为基质孔隙度;Cg为气体压缩系数,cm3/(10-1MPa);ρmg为基质中页岩气的密度,g/cm3;Mg为天然气摩尔质量,g/mol;R为热力学常数,R=8.314 J/(mol·K);T为储层温度,K。

定义拟压力为

(2)

将拟压力带入式(1),可得到基质系统渗流控制方程的拟压力形式为

(3)

其中

初始条件为

ψfi=ψhi=ψmi.

(4)

封闭外边界为

(5)

式中,Γ为外边界;n为边界Γ1的外法向方向的单位向量。

2.3 人工裂缝渗流数学模型

裂缝中渗流控制方程为

(6)

其中

将拟压力代入式(6),得到裂缝系统渗流控制方程的拟压力形式为

(7)

其中

γh=βφmCgμg.

将裂缝嵌入到基质系统中,裂缝与基质网格单元间窜流量的表达式为

qm-h=Tm-hβ(ψm-ψh).

(8)

式中,Tm-h为基质与人工裂缝间的窜流系数[9]。

根据假设,天然气只通过人工裂缝进入井筒,每条人工裂缝流入井筒的天然气量为

qh-w=IWβμg(ψh-ψw).

(9)

式中,IW为人工裂缝到井筒的井指数[20]。

当水平井定产量生产时,总产量为井筒中压缩流体膨胀量和由人工裂缝流向井筒的流量的总和,有

(10)

式中,C为井筒储存系数,cm3/(10-1MPa)。

3 数学模型的求解与验证

3.1 模型的求解

应用嵌入式离散裂缝方法对以上模型进行求解。根据Shakiba[19]的研究,在将离散裂缝嵌入到基质中时,网格m与网格n之间的流动系数计算式为

(11)

式中,Tm-f和Tn-f为基质网格m、n与所嵌入的裂缝之间的流动系数,可由基质与裂缝的渗透率计算得到。

3.2 一致性验证

为验证裂缝参数对解的一致性,取相同的分形参数:裂缝中心维数Dc=1.8,裂缝主发育方向θ0=π/4,Fisher常数K=25,裂缝密度α=2.5,裂缝长度维数Dl=1.3。通过随机模拟生成4个分形离散裂缝模型,如图1所示。模拟区域为1 600 m×1 600 m,水平井长度为1 000 m,等间隔分6段压裂,每段裂缝半长为200 m。求解该模型,得到水平井拟压力响应曲线如图2所示。

图1 分形离散裂缝模型Fig.1 Fractal discrete fracture models

图2 不同裂缝网络模型的拟压力响应曲线Fig.2 Pseudo-pressure response curves for different fractal discrete fracture models

由图2可见,在相同的分形参数条件下,水平井的拟压力和拟压力导数曲线基本重合,但由于这4个模型由随机建模生成,具有一定的差异性(图1),水平井在生产过程中形成的压降漏斗不尽相同,因此其试井曲线也存在细微差别。正如弹性储容比、窜流系数等参数能够控制连续双重孔隙介质模型中试井曲线的形态一样,通过对以上4个模型的计算表明,虽然局部裂缝分布各不相同,但只要总体分形参数相同,则由不同的离散裂缝模型得到的压力响应曲线基本相同,也就是说分形参数对压力响应曲线的形态具有较好的控制作用。

4 试井曲线特征及参数敏感性

基本参数为θ0=π/4、K=25、α=2.5、Dl=1.3、Dc=1.8。

4.1 试井曲线特征

假设6条人工裂缝,且沿水平井筒呈对称分布(图1),得到该模型的拟压力响应曲线如图3所示。

由图3可见,水平井的压力响应包括6个阶段:①为井筒储存阶段,压力及其导数为斜率为1的直线;②为早期(第一)过渡流动阶段;③为线性流阶段,天然裂缝间的页岩气通过基质线性流流向人工裂缝,压力和压力导数均为斜率为0.5的直线;④为中期(第二)过渡流阶段;在流动阶段⑤,人工裂缝周围基质中的流体开始沿着天然裂缝向人工裂缝流动,并通过人工裂缝流向水平井。由于非均匀分布的天然裂缝对渗流场造成的影响,流线和等势线受裂缝分布影响较大,该阶段不是严格的径向流(流线指向半径方向,等势线为近似同心圆),因此压力导数曲线也不是水平线;⑥为边界反映阶段,反映外边界对压力响应的影响,当外边界封闭时,压力和压力导数曲线为斜率为1的直线。

图3 分形离散裂缝页岩气藏多段压裂水平井的压力响应曲线Fig.3 Pseudo-pressure response curves for multiple fractured horizontal well in fractal discrete fracture shale gas reservoir

4.2 参数敏感性

4.2.1 裂缝密度α

依次取α=0.5、2.5、4.5,分别建立离散裂缝网络多段压裂水平井模型,如图4所示。采用本文中方法对数学模型进行求解,得到水平井的试井曲线如图5所示。

由图4可见,裂缝密度α主要影响裂缝的数目,α越大,裂缝数目越多。由图5可见,裂缝密度α主要影响流动阶段⑤,α越大,压力导数曲线的“下凹”越深。在本文中,基质除了作为储容空间外,还具有一定的导流能力(在经典的Warren-Root双重孔隙介质模型中,基质主要视为流体的储容空间,通常不考虑其内部的渗流)。而且在裂缝较少时,基质仍然是主要的渗流介质,而裂缝作为连通基质的高导流通道;当裂缝较多时,裂缝才成为主要的渗流介质。因此α越大,裂缝数目越多时,裂缝所占的总系统的弹性孔隙体积越大,双重介质的特征也就越明显,表现在试井曲线上,即是压力导数曲线中期段“下凹”越深。

图4 不同裂缝密度的分形离散裂缝网络模型Fig.4 Fractal discrete fracture network models with different fracture dimension density

图5 裂缝密度对拟压力响应曲线的影响Fig.5 Effect of fracture distribution density on pseudo-pressure response curves

4.2.2 裂缝分形维数Dc和Dl

由式(1)可见,一定长度范围内的裂缝数目与α、Dc、Dl有关:α和Dc越大,Dl越小,裂缝数目越多。因此Dc与α对试井曲线的影响规律大致相同;Dl与α对试井曲线的影响规律大致相反(图5、6)。

4.2.3 裂缝主发育方向θ0

依次取θ0=0、π/4、π/2,分别建立离散裂缝网络多段压裂水平井模型,如图7所示。采用本文中方法对数学模型进行求解,得到水平井的试井曲线如图8所示。

由图8可见,裂缝主发育方向θ0对流动阶段⑤ 和⑥ 均有一定程度的影响。在阶段⑤ 之前,流体以垂直于人工裂缝方向(沿X方向)的流动为主,当θ0=0时,由于裂缝的沟通作用储层在水平方向上的渗透性最强,其对应的压力导数曲线最低;而在边界流阶段(⑥),流体以垂直于水平井的流动(沿Y方向)为主,当θ0=π/2时,储层在垂直方向上的渗透性最强,其对应的压力导数曲线最低。

图7 不同地应力主方向的分形离散裂缝网络Fig.7 Fractal discrete fracture network with different formation principal stress direction

图8 裂缝主发育方向对拟压力响应曲线的影响Fig.8 Effect of formation principal stress direction on pseudo-pressure response curves

4.2.4Fisher常数K

Fisher常数主要用于描述裂缝方向与裂缝发育主方向的偏离程度,K越大,裂缝总体发育方向的一致性越强。依次取K=5、15、45,分别建立离散裂缝网络多段压裂水平井模型,如图9所示。采用本文中方法对数学模型进行求解,得到水平井的试井曲线如图10所示。

由图10可见,Fisher常数K主要影响边界流阶段(⑥),且K越大,压力导数曲线的晚期段越高。这是因为K越大,裂缝总体发育方向一致性越强(图9(c)),这是裂缝的沟通作用使有效渗流面积变小的缘故。

图9 不同Fisher常数的分形离散裂缝网络模型Fig.9 Fractal discrete fracture network models with different Fisher constant

图10 Fisher常数对拟压力响应曲线的影响Fig.10 Effect of Fisher constant on pseudo-pressure response curves

4.2.5 Langmuir吸附体积VL和吸附压力pL

依次取VL为0.006 4、0.022 4、0.038 4 m3/kg(pL=1 MPa)及pL为1、3、10 MPa(VL=0.006 4 m3/kg)对数学模型进行求解,得到水平井的试井曲线,结果如图11所示。

VL和pL反映基质颗粒表面对页岩气的吸附解吸能力。VL越大,给定温度条件下单位质量基质饱和时,吸附的页岩气体积越大;pL越大,水平井生产过程中地层压力降低时,页岩气从基质颗粒表面解吸扩散到基质孔隙中的时间越早。由图11可见,VL和pL主要影响阶段⑤之后的拟压力和拟压力导数曲线。VL和pL越大,单位质量基质颗粒表面吸附的页岩气体积越多,当压力降低到吸附压力以下时,就会有越多的吸附气从基质颗粒表面解吸扩散到基质孔隙中,缓解水平井的压力降落,因此拟压力和拟压力导数曲线越低。

图11 Langmuir吸附体积和吸附压力对拟压力响应曲线的影响Fig.11 Effect of Langmuir adsorption volume and adsorption pressure on pseudo-pressure response curves

5 应用实例

为了验证本文中模型的可行性,用Ecrin软件模拟了双重孔隙介质气藏中一口多级压裂水平井的拟压力数据,主要参数:裂缝系统的平均渗透率为15×10-3μm2,气藏的弹性储容比为8×10-4,窜流系数为2×10-6;水平井长度为1 200 m;人工裂缝5条等间距压裂,裂缝半长为75 m。应用本文中方法计算得到水平井的拟压力动态,将其与以上模拟曲线进行拟合解释(图12),得到气藏的分形参数为:α=2.65,Dc=1.64,Dl=1.12,θ0=36.5 °,K=14.25。由图12可见,由本文中方法得到的理论曲线除早期受网格效应影响导致拟压力导数拟合较差外,总体与模拟曲线变化规律一致,整体拟合效果较好,证明本文模型应用于现场具有可行性。

图12 本文中方法与Ecrin模拟曲线拟合对比Fig.12 Comparison of proposed method with Ecrin software

6 结 论

(1)分形参数可较好地控制水平井的试井曲线形态,证明本文中模型对离散裂缝性页岩气藏试井解释具有一定的适用性。

(2)裂缝密度和裂缝分形维数主要通过影响裂缝总数目对试井曲线产生影响,裂缝密度越大、中心维数越大(或长度分布维数越小),裂缝总数目越大,裂缝的沟通作用越明显,压力导数曲线中期段“下凹”越深,双重介质的特征也就越明显。

(3)Fisher常数K主要影响边界流阶段,其值越大,压力导数曲线的晚期段越高。裂缝主发育方向θ0对边界流和之前的流动阶段均有一定程度的影响:在边界流之前,流体以垂直于人工裂缝方向的流动为主,当离散裂缝方向与人工裂缝垂直(θ0=0)时,压力导数曲线最低;在边界流阶段,流体以垂直于水平井的流动为主,当离散裂缝方向与水平井垂直(θ0=π/2)时,压力导数曲线最低。

(4)Langmuir吸附体积和吸附压力越大,基质颗粒表面对页岩气的吸附能力越强,当压力降低到吸附压力以下时,就会有越多的吸附气解吸扩散到基质孔隙中,压力和压力导数曲线越低。