关于黑麦草食植系统数学模型建立及动力学分析

唐 悦

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

1 模型建立

黑麦草是我国重要的牧草资源，在国内畜牧饲料市场上有着无可替代的经济地位[1].基于之前的数学模型并没有考虑在市场需求波动这一要素，有一定的局限性,为更准确的体现出黑麦草的刈割强度与经营者所得利润之间的关系，建立符合黑麦草资源经济分配管理的捕食者-食饵系统模型[2]：

(1)

E表示黑麦草的数量;F表示经营黑麦草草场的收益；b为市场需求指数;K表示环境最大容纳量;μ表示管理人员对黑麦草草场经营治理资金投放系数;χ表示被刈割的黑麦草转化成利润的转化率；p为对黑麦草的刈割强度;v0是黑麦草最初生长率．

2 系统分析

求解方程组：

(2)

得到两个非零解(K,0),(E*,F*),其中E*>0,F*>0,(K,0)表示在收割者利润为0，(E*,F*)表示黑麦草生物量和经营者利润都存在的情况下,存在正平衡点.

系统(1)在平衡点(K,0)处的Jacobi矩阵为：

证明 由

由函数单调性可知，函数F(E)为连续单调递减函数，又因为在函数F(E)中已求出系统的一个奇点，所以在该函数一定存在唯一点E*使得F(E*)=0，由此可得系统(1)存在唯一正平衡点(E*,F*).

平衡点(E*,F*)处的Jacobi矩阵为：

得到

因此平衡点是局部渐进稳定的[3].

3 生物学意义

本文通过分析了解黑麦草所在生态系统，掌握了黑麦草资源刈割的实际问题，建立了相应的生物数学模型，并对其进行生物动力学分析，定性地描述了黑麦草资源和刈割强度的相对变化之间的关系.适当的刈割强度，可促进黑麦草初级生产力提高，促进黑麦草资源更新.系统最终会在正平衡点(E*,F*)达到生态系统平衡[5],经营者的刈割量和黑麦草可持续生长就可以维持平衡稳定状态．还能保证黑麦草的经济效益最大化.