导函数隐零点问题的处理对策
2020-06-29牙政泽
牙政泽
摘 要：近年来，随着我国社会经济与现代化科学技术的持续发展，各个领域都取得了重大的成就，教育领域的优化改革也已经成为一种必然趋势。在教育过程之中，高考已然成为改变学生命运的重要转折点之一，其中的数学学科更是关键所在。而导函数作为高中数学的重要知识点，其具有多种解题算法，导函数在求导过程中，存在超越方程、高次幂方程等，将增加解题难度，为此应通过不同的解题方法对函数求导存在的问题进行全面解析，以此来得出正确的求导结果。文章针对导函数隐零点问题进行探讨，并对整体代换、反带消参、降次留参等解题思路进行研究。
关键词：导函数;隐零点;解题思路
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）15-0062-02
一、导函数定义解析
当函数f（x）在（A，B）区间内的任何一个节点处可导，可建立基于f（x）的导函数，一般以f ′（x）为代表。当A，B属于闭合区间时，此时f（x）在A处右导数、B处左导数均存在时，可将f ′（x）表现为[A，B]内的导函数。如果将（A，B）区间内的任意一点作为定义域内的拓展节点时，此时f（x）应在定义域的开区间内可导，其区间内的任意点值则代表f（x）的定义函数，以此来建构新函数，并可将新函数作为f（x）的导函数f ′（x），其关系式为：
f（x+△x）-f（x）
f '（x）=lim—
△x
二、高中导函数零点教学现状分析
在高中时期的数学教学过程之中，导函数零点问题作为教学重点一直深受教师与学生的关注，但是由于该题目的解题方式过于复杂、难懂，使得学生在面对该类型题目时往往会出现“无从下手”的现象。再加上高中阶段的学习时间紧、任务重，学生不愿意将大部分的学习精力以及学习时间放置到导函数零点问题研究之上。而教师在教学过程之中针对该种类型内容的教学也只是选择一些经常考查的题目及其解题方式在课堂进行讲解，让学生背诵解题思路，这种教学方法固然能够让学生找到一定的解题思路。但是当题型发生变化时，往往会失去解题的思路或是在解题过程之中出现思路混乱，无法得出正确答案。所以，针对这一类型题目的教学还是需要通过教师教学引导找到解题的正确思路并在课堂授课环节及时帮助学生梳理思路。
三、导函数零点问题分析策略
倒数问题作为高中的热点内容，其导函数的零点在解决函数单调性、最值性、不等式证明等问题的解决过程之中十分重要。但是一些零点能够判断其是否存在，一些数值上的求解却比较困难。所以，对于该类型的内容求解需要从逻辑判断以及不等式的運用等方面。在导函数零点问题教学过程之中，教师需要考虑的内容是多方面的，根据对解题类型的分析，其具体可以利用整体代换、反代消参、降次留参、分离函数、分离变量等方式进行解决。
1. 整体代换
在学生的学习过程中，代数是一种基础的数学知识，在实际的考查过程之中，其对学生的考查主要从两方面进行考虑，第一是对学生的运算能力进行考查，这就需要学生熟练掌握各种类似的公式。第二则是对学生的观察能力以及思考能力进行考查，学生要充分挖掘各个式子之中的各个关系，借助相应的解题技巧对所要求解的公式进行解答。在题型的运算过程之中，整数代换就是主要的变形技巧与主要方式之一，尤其是在一些数字运算、代数运算都具备的复杂数学题型之中。如果学生单纯地按照题目之中所给的信息进行解答，则整个运算过程就会变得非常复杂，甚至会出现无法求解出正确答案的现象。如果学生能够巧妙地运用整体代换思想，抓住题型之中的一些共同点进行整体代换，将复杂的题型简单化就能够巧妙得出结果。
例题一：设函数f（x）=e2x-alnx，求：（1）f（x）导函数f ′（x）零点数量;（2）证明：a>0时，f（x）≥2a+aln—。
步骤解析：在对例题中的（2）进行解答时，证明f（x）≥2a+aln—（a>0），可通过[f（x）]min≥2a+aln—。此时[f（x）]min可通过f ′（x）的零点进行解析，但此时
f ′（x）=0隶属于超越方程，不能实现求解，但此方程的思路可适用于满足x0的等式，e2x =—，lnx0=ln—-2x0，此时可将其进行整体代换将超越方程转化为普通方程，即e2x -alnx0转化为—+2a x0+aln—，再通过均值不等式将函数最小值进行求值，以此来对x0进行消除，得出最终结果。
2.反带消参
在诸多类型的数学考试之中，含有参数的导函数隐零点问题往往都以压轴题的形式出现，这类题型还有参数，难度也比较大。在传统的解答过程中，大都运用分类讨论思想或是分离参数思想进行解答，这就使得学生形成了一种固定的解题思维。如果学生能够在解题过程中走出原有的思维定式，并将注意力转移到消参的角度上。通过反代消参来进行解答，就会将含参数题型转变为不含参数的问题，进而获得意想不到的收获，问题也会随之解决。
例题二：已知函数f（x）=x3-3x2+x+2，曲线y=f（x）在（0，2）点处的切线，与坐标轴（x）的横坐标为-2。证明：当m<1时，曲线y=f（x）和直线y=mx-2的交点数为1。
步骤解析：当-2
h（x2）>0，问题解决思路不明显，因此可采用反带消参，建构单一函数（以零点为基准），通过虚设x2来代表从参数值，即将函数转化为1-m=-3x22+6x2，进而使问题得到简化。
3.降次留参
在导函数隐零点问题的诸多题型之中，有些题型有较高的指数以及大量的参数，学生在解题过程之中既要考虑到降次又要考虑到参数的求解。这就使得很多学生面对这种复杂问题时，会有一种“无力”感，找不到明确的解题方向。而降次留参解题方式的应用便很好地解决了这一方法。该种方法也是高中数学解题过程中的一种常用且比较实际的解答方式，其具体是指在解题过程中将含有未知数的项数的指数部分进行降次处理。且在降次过程之中对题目之中的参数继续保留，不做处理。降次之后再建立新的方程式并寻找其中的关联点，进行解答。
例题三：已知函数f（x）=—x3+x2+mx.
步骤解析：通过极点值x1，x2，与参数m之间的定向联系，对次数进行降幂处理，一直降到1为止，以求出方程内交点，通过降次留参，建立新的参数方程，进而求出m值。
4.分离函数
在高中数学导函数解题过程之中，对于求解分数性质的函数，我们可以采用拆分的办法将分式之中的分数变成常数，一些分数函数也可以拆分成一个整数式子或是分数式子，这种方法也可以认为是分离常数法。该种解题方法一般用于求解函数的整数或是函数的值域等问题之中。如例题四：
已知函数f（x）=lnx/（x+1）+1/x，证明：x>1且x ≠1时，f（x）>lnx/（x-1）。
在该类型题目解决过程之中，如果直接求解并构造出函数g（x）= lnx /（x+1）+1/x-lnx/（x-1）则会使得该式子在进行求导之后无法解答出相应的导函数零点。经过分析之后，我们可以知道，造成无法求解导函数零点是由于函数式之中含有lnx的组合形式。所以，在解题过程之中需要将不等式之中的内容进行等价变换，再将题目之中的lnx进行分离，才能够求解出该导函数的零点，进而再次分析，解答出其中的最值，使得该不等式得到证明。
5.变更主元
在我们解答一些与函数、方程、不等式等内容有关的函数题目时，我们可以将数学式子之中的主元与数学常量进行换位，或是将主元与参数的位置进行互换，参数与常量之间进行位置互换，进而产生一种认识上的转化变化，但是这种变化并不换元，而是借助这种思维方式进行题目解决的方式才叫作变更主元法。如例题五：
已知a>0，函数f（x）=ax2-x，g（x）=ln x。
（1）a=1/2，求函数y=f （x）-2g（x）的极值;
（2）在实数a，使得f（x）≥g（ax）对任意正数x恒成立？若存在，求出实数a的取值集合;若不存在，请说明理由。
解决过程之中，如果采用传统的解题方式，会使得学生面对多种变量时无法进行灵活应变。而应用变更主元法之后，可以直接令h（x）=f （x）-g（ax）=ax2-x-lnax，之后进行函数求导，发现该导函数无法求解出正确的零点之后进行主元变换，该问题也得到了解决。
6.分离变量
分离变量法是指一种应用在解决数学偏微方程、常微分方程的解题方法，该种方式在数学导函数问题解决过程之中同样适用。该种方法在运用过程之中需要借助代数将原来的方程式进行重新编排，并让方程式的一部分都只含有一个变量，其他的剩余部分与该变量之间没有关系。通过这种方式，来隔离出两个部分的数值，并将其分别等于两个常数，这两个部分的值的代数和就等于0。该种解题方式还应用了高数知识、级数求解知识以及一些其他种类、类型的解题方法，并求解出各个方程，最后将这些内容进行重新“组装”。分离变量法属于一种解答波动方程或是边值问题的解答方法。例题六如下：
已知函数 f（x）=kx，g（x）=lnx/x，如果不等式
f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）内恒成立，求解实数K的取值范围。在解题过程之中需要对这一题目进行变量分离，再构造出相應的函数，不需要再进行分类讨论，而是应当简单、直接地进行解答，从而化简整个解题的过程，得到最终的答案。
综上所述，导数作为高中数学中的重要知识点，在其研究函数过程中，将产生隐零点的问题，进而增加习题的难度，文章对导函数隐零点的问题进行分析，并通过相应的习题对解题思路进行探讨，以此来为学生提供解题方向。
[参考文献]
[1]苏艺伟.整体代换 逆向思维——求解导函数零点不可求问题中的逆向替代[J].中国数学教育，2019（Z2）：122-125.
[2]叶良铨.导函数零点不可求问题的解答策略[J].中学理科园地，2018（6）：49-50.
作者简介：牙政泽（1984—），男，壮族，广西南丹人，中学一级教师，本科，研究方向：高中数学教学。
