球体转动惯量推导过程中的启示

芮云军

摘 要 微积分是推导刚体转动惯量的基础。但是，不同的积分对象，其表达的含义不同。本文通过球体“微元法”、“微盘法”和“微面法”的比较，加深了学生对转动惯量概念的理解，同时体现了刚体转动惯量可以叠加的特性。

关键词 转动惯量 积分 微元法 微盘法 微面法 叠加

中图分类号：G642文献标识码：A

0引言

大学物理教学时，转动惯量是刚体力学的重要知识点，也是学生理解的难点。但是通过对不同刚体（直棒，圆柱体，球体）转动惯量的数学推导，可以极大地加深学生对转动惯量概念的理解。我们知道，采用“微元法”，即

也就是刚体对转轴的转动惯量等于其各“质量元”与其到转轴距离（r'）平方的乘积之和。实际上，我们也可以将公式（1）变形如下。

此时，公式（2）中的dJ 表示为刚体某一部分的转动惯量，比如微圆盘，微圆面等，而不仅仅是微质量的转动惯量。这样改变积分变量，让学生体会了刚体转动惯量可以叠加的性质，也为后续用实验方法（如扭摆，三线摆）测量多个不规则物体转动惯量做了理论指导。

1三种积分变量的比较

首先来看“微元法”，如图1（a）所示，微元的质量（dm）可以表示为立体角中微体积（dV）与密度（ ）的乘积。而微体积的长、宽、厚度分别为rsin d ，rd ，dr，所以其转动惯量可以表示为

而采用“微盘法”，可以将球体的体积分成很多圆盘的组合，如图1（b）所示。这些圆盘直径不同，但各自绕（z）轴的转动惯量的表达形式是相同的，也是學生们熟知的，即J=mr2/2。所以可以利用公式（2），计算球体的转动惯量。注意，“微圆盘”的质量可表示为 dV= r2dz，其中微圆盘半径为r=。另外相比较“微元法”，转动惯量中有系数1/2。所以

最后，我们采用“微面法”，如图1（c）所示。这个球体可以看成很多一定厚度（dr）的球面构成，每个球面绕（z）轴的转动惯量为J=（2/3）mr2。注意，“微球面”的体积可表示为 dV=4 r2dr。另外相比较“微元法”，转动惯量中有系数2/3。利用公式（2），可得

2结束语

上述推导表明，公式（1）与（2）不能混淆。前者根据转动惯量的定义，采用“微元法”，体现了各质量元（质点元）转动惯量的叠加;后者采用“微盘法”、“微面法”，体现各质量盘、质量面转动惯量的叠加，其中的系数1/2，2/3，要特别注意，不能省略。

参考文献

[1] 张金锋，刘建军，公丕锋，袁五届.基于均质球对称刚体转动惯量的计算[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2016（01）：84-86.

[2] 车晓芳.均匀球体转动惯量的多种求法[J].物理通报，2011（04）：44-45.