L-矩阵的预条件Jacobi迭代法

许云霞，雷学红

（凯里学院，贵州凯里 556011）

1 引言

考虑线性方程组：

其中A=(aij)∈Rn×n为非奇异矩阵，x,b∈Rn.不失一般性，设A=I-L-U,-L和-U分别是A的严格下三角和严格上三角部分.求解线性方程组（1）的Jacobi迭代法的迭代矩阵为

对线性方程组（1）两端左乘P使其转化为等价的线性方程组

近年来学者提出了不同的预条件因子［1-4］，为改善迭代法的收敛性和收敛速度，本文提出一种新的预条件因子，P=I+S,

2 预备知识

定义1［5］设A=(aij)∈Rn×n，如果aij≤0,i≠j，且aii≥0,0≤i,j≤n则矩阵A为L-矩阵.

定义2［6］设A=(aij)∈Rn×n，若M是非奇异矩阵，称A=M-N为A的一个分裂.若ρ(M-1N)＜1，称该分裂收敛；若M是非奇异M-矩阵且，N≥0称A=M-N为M-分裂.

引理1［6］若A为非负不可约矩阵，则

（1）矩阵A有一个正的是实特征值恰等于它的谱半径；

（2）存在对应于ρ(A)的特征向量x＞0；

（3）ρ(A)是矩阵A的单根；

（4）当矩阵A的任何元素增加时，谱半径ρ(A)也增加.

引理2［5］若A是非负矩阵，则

（1）如果存在正向量x≥0且x≠0，满足αx≤Ax，则α≤ρ(A)；

（2）如果存在正向量x，满足Ax≤βx，则ρ(A)≤β.进而，若A是不可约矩阵，如果存在向量x≥0满足0≠αx≤Ax≤βx，则α＜ρ(A)＜β，且x＞0.

引理3［6］若A=M-N是A的M-分裂，则ρ(M-1N)＜1当且仅当A是非奇异M-矩阵.

引 理4［7］设λ∈(0,1]，y∈(-∞,0)，且z∈(-∞,0)，Q=(-z)⋂(0,-z)，则集合Q非空.

3 主要结论

定理1设是方程（1）和（3）的Jacobi方法的迭代矩阵，若A是不可约L-矩阵ankakn＞0,βk∈(,-ank)⋂(0,-ank),-αk∈(0,1](k=1,2,…,n-1),≤1,则是非负不可约矩阵.

证明因为A是不可约L-矩阵，由方程（2）得

所以J是非负的.由于A不可约，得L+U是不可约的，因此J也是不可约的.下面证明

由定理1，得下面的比较定理：

证明由定理1知J是非负不可约矩阵，因此存在正向量x，使得

4 数值例子

设方程组（1）的系数矩阵：

经验证知A是不可约L-矩阵，当α1=α2=α3=β1=β2=β3=0时ρ(J)=0.5157；当α1=0.98，α2=α3=0.001,，β1=β2=β3=0.001时，=0.4557，知本文提出的预条件Jacobi迭代法的收敛速度比经典的Jacobi迭代法的收敛速度更快.