数学方差在经济领域中的应用

杨瑞云

摘要：概率统计不仅在解决数学问题中扮演着重要的角色，也是研究经济学问题的有效工具，其有助于提高工作效率、增加经济收益。例如：随机事件、参数估计、回归分析、假设检验以及随机变量的数字特征。本文就数学中最常见的数学方差在经济生活中的具体应用进行分析。

关键词：数学方差;离散程度;经济问题

在20世纪90年代之前，世界上人们关注的还是宏观经济，宏观经济指整个国民经济活动总量，当概率统计被应用到经济生活中，人们才把目光转移到微观经济当中。当司空见惯的经济中的常识可以被数学中的理论解释，每一件经济学事件都有理可依的时候，经济学就有了极大的进步，有了质的飞跃。经济学不再是一个空想主义，不再是难以想象的几何空间，从此经济学可以被形象的描绘出来，经济学与人们的生活联系起来[1]。著名的诺贝尔经济学奖获得者马克威茨曾说过：“伟大的经济学家无一例外都是数学家。”可见经济学是建立在数学的基础上，经济学与数学是紧密不可分割。

1 方差定义以及性质概述

1.1 方差的定义

方差是用来描述波动情况的一个不可忽视的数字。与平均数不同的是，方差不会受极大值或者级小的值的影响，因此能更为准确的体现一组数据的波动情况。在一组数据中，如果方差越大则稳定性越差;方差越小则稳定性越好。

1.2 方差的性质

（1）设a是常数，则D（a）=0

（2）设X是离散随机变量，a是常数，则D（aX）=a2D（X），D（X+a）=D（X）

（3）设X与Y 是两个离散的随机变量，则D（XY）=D（X）D（Y）Cov（X，Y）

2 方差在经济领域中的实际应用

2.1 在投资决策中的应用

组合投资是为了分散较大的非系统性风险，每一只股票或者债券的组合的投资收益与其相对应的风险是通过数理统计计算得出。专业的投资者都不是盲目的进行投资，在进行投资之前都会进行投资的预算计量，在投资收益一定的情况下选择风险相对较小的投资组合，同样的，在投资风险相同的情况下选择收益情况更好的投资组合[2]。方差的大小直接显示了投资组合风险的高低，那么在相同的收益下可以选择方差较小的组合，从而来分散风险。以下以一个例子做出说明。

假设一投资者想投资持有一只股票，现在他有三只股票可以选择，分别为A股票、B股票、C股票三支股票，当经济景气的时候投资的概率p1为20%，当经济适中打时候投资的概率p2为40%，当经济困难时候投资的概率p3为40%。三只股票的年收益（万元）在不同经济的情况下变化，具体情况如下表。

由数学期望可知，C股票的数学期望最高，B股票的数学期望最小，那么C股票的预期收益会较高，B股票的预期收益就相对来说比较低;那么就可能选择股票C，现在来考虑它们的方差。

由三只股票的方差来看，A股票的方差最大，B股票的方差最小，说明B股票的收益的波动性也越小，其承受的风险相对来说就比其他两只股票小，综合来看选择股票B是相对最正确的选择。

2.2 在农产品选择中的应用

当数学还没有名字的时候就已经被人们应用到实际生活中了。市场上每一种农产品的种子的选择也都是经历重重检验与考察，一个种子品种的选择不是一次试种比另一种品种的种子强就可以优胜，而是通过无数次的比较从而确定。以下通过一个例子说明。

两种大豆的品种分别为大豆一号与大豆二号，通过连续试种9年的单位面积的产出量，具体数据如下表：

由两种品牌的方差可以看出，大豆一号的方差相对来说比大豆二号的小，从而说明大豆一号的单位面积产出量相对大豆一号较为稳定，波动较小。通过比较两个品种的数学期望和方差，从而选择方差较小的大豆一号品种上市。虽然大豆二号的数学期望更高，但是种植不是博弈，农民们更想要的是长久的收益，稳定的产量，所以选择大豆一号。

2.3 在公司管理中的应用

上市公司的重大决策往往是通过股东大会表决执行的，然而并不是每一个提议都会被通过，但是每一个提议都要有理可言。通常一个公司决定要收购另一个公司都会考虑收购带来的成本与收益，当收益能完全覆盖成本并且还有额外收益的时候，此次收购或者并购才算成功的[3]。通常公司的收益用数学期望来表示，公司的风险可以用方差来计量，那么公司的选择是选择期望值较大点的且方差值相对较小的决策。以下通过一个例子来说明：

一汽车公司想要收购另一汽车配件公司，收购成功的概率p1为0.7，收购失败的概率 p2为0.3。收购成功的话每年收益200万元，收购失败的话损失500万元。收购成功时间记为A，失败记为B。

由题意可知此次收购的数学期望计算如下

3 修正方差与方差

通常我们的方差的计算是通过标准差的连加再除以n，然而修正方差此时除以的不再是n而是n-1，为什么我们除以的不再是n而是n-1呢？其实样本方差要除以n-1是因为这样的话，得到的结果才是符合总体方差的无偏估计量。我们发现传统的方差的计算方法虽然可以解决一些问题，但是对于总体实际情况的估计度量还是过于粗糙，不够精细。传统方差相对于修正方差而言，因为分子是n，大于 n-1，所以没有修正过的方差小于修正过的方差，没有修正过的方差的波动情况更小，稳定性更好，传统的方差不能够反映出总体的实际波动情况，相比较而言修正方差更能准确的描绘出总体的稳定情况。虽然修正方差对于估计总体的无偏程度更加贴切也更加符合真实的总体情况，我们文中用到的却是没有经过修正过的方差，但是我们需要的是比较不同情况下的方差的大小情况，追求的并不是更加贴合总体的真实情况，与此同时我们对于不同的选择决策运用的是同一种方法，即没有修正过的方差，所以得到的结果仍然是准确的，符合我们想要达到的结果 。

修正方差通常在计量较为精确的总体情况时被用到，它的无偏性能把误差缩小到一定的程度，甚至忽略不计。从而能准确的把握总体的情况。通常修正方差被运用在抽样检测一些较为精密的仪器设备，检测一些具有危害性的气体，还有一些较为稀有珍贵的材料上。

4 总结

数学方差的统计学意义在经济学上具有举足轻重的地位，与此同时数学方差在经济生活中同样具有不可小觑的地位。例如：著名的博弈理论、生产经营、投资决策、抽样检查等等。经济生活离不开数学，当人们还没有意识到数学的存在的时候就已经在使用数学方法了，例如古代的结绳计数，经济生活充斥着数学，而方差在数学中扮演了非常重要的地位。即使經济生活可以离开数学方差，但是拥有了数学方差才会使经济生活得到极大的进步，拥有跨世纪的飞跃。同样，当数学只是为了计算而计算，不服务于经济社会的时候，那么数学就是失去了它存在的意义，更不会被人们所重视。只有为经济服务的数学方差才是有存在价值的数学方差，只有数学的助力，经济生活才能达到更发达的阶段。

参考文献

[1]田兵.单因素方差分析的数学模型及其应用[J].阴山学刊（自然科学），2013，27（02）：24-27.

[2]董斌斌.数学期望与方差在实际生产中的应用[J].科技信息，2011（01）：254-255.

[3]丁迎秀.数学期望与方差在经济分析中的应用[J].数学教学研究，2010，29（11）：62-64.