渗透数史文化 提升核心素养

陈月霜

摘 要：2003年《普通高中数学课程标准》要求将“数学史选讲”编入高中选修课程，2014年3月30日，教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中提出以学生发展核心素养为统领的“育人目标”，要立德树人，数学育人，要发展学生的核心素养。越来越多的教师希望通过数学史与数学教育的整合，数学文化的渗透，实现这一目标。本文结合课堂教学实例，探究在高中数学教学中，如何进行数学史渗透。

关键词：数学史渗透;核心素养;高中数学

培养学生的核心素养，让学生具有文化底蕴的同时，学会从数学的角度去思考问题，发现并解决问题，实现数学的育人功能，这一目标的实现需要数学史这一燃力。数学文化需要传承，而数学史的渗透便是一种文化的传承。如何将数学史料、数学文化以“润物细无声”的方式渗透入高中的数学课堂，在传承中提升学生的核心素养？作为一线的教师，在课改背景下，在实现课标想法的激励下，进行着不断的思考和课堂探索实践。个人认为它的渗透可以是：1. 展渊源、通思想，让数学知识和原理融汇贯通。2. 在情感、态度、价值观的渗透中指导学生的学习、解题，遇到困难时学习前人的不放弃，培养坚韧的意志品格。3. 数学源于生活又用于生活，让学生学会用数学的角度看问题，明确数学是有用的。在具体的课堂教学中可以从以下几个方面进行渗透。

一、 在教学目标中渗透

课堂中教师如何教，学生怎么学？对教与学，以直接指向作用的便是教学目标，它使得教师和学生有一致的目标。准确的目标设定不仅发挥教师的主导作用，更有利于学生主体作用的体现，真正做到教和学的积极统一。无论是“教学目的”的提出还是“教学目标”的制定，它都必须以课程标准所限定的范围和各个教材内容所应达到的深度为依据，都须服从、服务于国家的教育目的。简单说，教学目标的制定应依据课程标准和教材的要求，《普通高中数学课程标准（实验）》在教学内容上增加了数学史方面的内容，指出要通过数学史的学习使学生“体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神”。课标还指出：“数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容，不单独设置，渗透在每个模块或者专题中。”

故而以《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》（人教A版）第二章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆的定义和方程”为例，《普通高中数学课程标准》（2017年版）对本节课内容的要求是：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。特制定以下目标：

1. 经历古人对圆锥曲线的探究历程，在了解曲线命名由来同时，体会其蕴含着的数学文化，提升学生直观想象的核心素养。

2. 通过对“旦德林双球”模型的探究及合作动手画椭圆的过程，抽象出椭圆的定义，提升逻辑推理和数学抽象等核心素养。

3. 能够将与椭圆有关的实际问题抽象成数学问题，并用“坐标法”解决问题。体会到数学来源于生活、应用于生活的理念，重点提升数学建模等核心素养。

二、 在定义（概念）、原理教学中渗透

事物的发生与发展总有其源由与过程，数学知识亦是如此。传统的数学课堂教学中教师倾向于灌输式教学，把数学定义、概念、定理直接抛给学生，把大量时间用于知识点应用的训练上。机械式的训练不仅让学生在理解上困惑，也觉得数学冰冷，失去了数学的“本心”。而数学史能让我们正本清源，在如何教的问题上启示我们有意识地引用数学史料知识，由灌输式教学转向揭示式教学、经历式体验教学，揭示原理、概念的产生过程的教学。在定义、定理、概念的讲授前引入相关数学史，让学生在史学材料的学习过程中对知识的产生、由来有一个真实的认知，知其从何来，为何来，为何用，对数学知识的理解有更好的帮助、更深刻的记忆。对知识有了充分的认知与理解，对知识应用更是有一层次的提升。学生对知识从被动接受到深入掌握，对知识点的来龙去脉能娓娓道来，从之前的厌恶变为理解后的喜爱，数学不再那么冰冷，而变得有温度了。

案例一：

数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”的章引言中提到椭圆的起源、椭圆的应用、椭圆的研究方法，故而在第二节“椭圆的定义和方程”的教学中设计了“探椭圆历史之旅”的环节：

1. 梅内克缪斯（公元前375年-公元前325年）从西波克拉对倍立方问题的研究中受到启发。他取三种圆锥（即直角、锐角和钝角的圆锥），用垂直于锥面一母线的平面截每种锥面，分别得到了拋物线、椭圆和双曲线的一支。这是为什么我们把椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线的原因。

2. 阿波罗尼奥斯（公元前262年-公元前190年）提出“用平面截同一个圆锥得到三种圆锥曲线”，并用纯几何方法证明了一条非常重要的性质：椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值，但证明过程非常复杂。

3. 旦德林（1794年-1847年）构造双球模型，巧妙证明椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值。

在这一部分通过史料使学生了解椭圆的起源与发展，体验圆锥曲线文化的发展历程，感受古代数学家的理性与智慧，激发学生的学习兴趣。在了解平面截圆锥，形成圆锥曲线以及分析旦德林双球结构的过程中，有助于发展学生直观想象等核心素养。同时对于梅内克缪斯起初目标是解决立方倍积问题，未获成功，转而研究圆锥曲线，成为研究圆锥曲线第一人。这一史料的学习也可以鼓励学生在遇到困难时不放弃、不气馁，尝试另一个角度另一种思路或许会有另一种收获。激励学生不畏困难，勇于思考，敢于一头扎进数学的学习中，为学生数学品质的形成和数学核心素养的提高发挥重要作用。

案例二：

在环节3：“研椭圆定义之理”中引用课本【探究与发现】中提到的旦德林双球证明椭圆上的点满足的几何性质，借助几何画板的直观演示“旦德林双球”模型：

（1）通过几何画板观察椭圆上的点A運动时，|AE|+|AF|值的情况（如图1）。

（2）通过几何画板将平面抽取出来，在平面内观察点A运动时|AE|+|AF|为定值。

（3）证明：AB、AF为同一个球的两条切线，|AB|=|AF|，|AC|=|AE|，|AE|+|AF|=|AC|+|AB|。

又两个球与圆锥侧面的公共点形成的曲线是两个圆，且这两个圆所在平面是平行的，这两个平面与圆锥的底面也是平行的，所以这两个平面与圆锥围成的封闭几何体是圆台，又BC是圆台的母线，|AC|+|AB|=|BC|，所以|AE|+|AF|=|AC|+|AB|=|BC|为定值。

教师引导学生依据旦德林双球结构发现两个固定的点，E、F与椭圆在同一平面内，由借助于圆锥空间几何体研究椭圆转化为直接在平面内研究椭圆。这是人们对椭圆研究的一个巨大进步，这也是数学化归思想的体现，化不熟悉为熟悉、化复杂为简单，三维化为二维处理。同时，通过先计算点A运动时，AE、AF的值，根据结果猜测为定值，再进行严格的数学证明，渗透了科学研究的一般方法。学生的逻辑推理、数学运算得到了发展，这一史料的应用让学生经历前人的思维过程，产生共情体验的同时也帮助学生有更好的理解，克服心理对数学的障碍，提升数学核心素养，让数学史以顺应式的方式融入课堂教学中。

三、 在学生活动中渗透

学生是课堂的主人，一节课中若只有教师一堂言而没有学生的参与不仅苍白而且失败，只有学生“动”起来，课堂才不是一潭死水。学生活动体现学生的主动性和参与性，促进学生动手操作和逻辑思维素养的培养和提高。而在学生的活动中把数学史融入其中，不仅能加深学生的印象更能帮助学生更好地掌握知识点。

案例：

环节3.2.学生活动：用绳子画椭圆，完善性质的逆命题，建构椭圆定义

发现了：当常数等于两定点距离时，其轨迹为线段;当常数小于两定点距离时，它的轨迹不存在。

教师：除了画椭圆，还可以通过折纸折出椭圆：我们在圆形的纸片内任意选不同于圆心的一个点M后把纸片折起，让圆过点M，之后把纸片展开，便得一条折痕，重复折下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓就是椭圆。你能说一下为什么吗？教师先通过几何画板展示，课后同学们可以动手进行该活动，作为一项作业，活动后写下自己的想法与体会。生活中如何画一个椭圆？观看木匠画椭圆视频，探究其原因。提炼其数学信息，建立数学模型。

介绍历史上椭圆的画法：

世界上最早的椭圆画法是由阿基米德发现的同心辅助圆画法，但太烦琐，且不够精确。为了画出更精确的椭圆，阿基米德不断研究发明了可以用最简单的方式绘制精确椭圆的阿基米德圆规。但是它只能用来绘制固定形状的椭圆，没有办法改变椭圆的离心力，直到荷兰数学家小弗朗西斯·范·舒腾发明了一种可以自由调节的曲线尺。这种工具不但可以用来画椭圆，还能用来绘制抛物线和双曲线等其他种类的曲线。

教师分析其中一个画椭圆的原理，有兴趣的学生课后了解椭圆规的结构，探究其因。（双曲线、抛物线）

这个设计是应用椭圆定义探究由教材上P49第7题改编的折纸。史上椭圆的画法的引入将与椭圆有关的实际问题抽象成数学问题，并用“坐标法”解决问题。让学生体会到数学来源于生活、应用于生活的理念的同时提升数学建模等核心素养。

四、 在数学应用中渗透

数学知识发展至今，并不只是向学生传递课本知识，更多的是为了让他们在学习和探究中可以熟练引用所学知识解决现实问题。光会背诵公式、定理，解数学题，这并不是对数学知识的掌握;会应用数学知识解决实际生活生产中的问题，这才是真正的理解掌握。如何让学生体会到数学是有用的？由实际问题抽象出数学元素并建立数学模型是数学知识的应用体现，但不是所有学生一下子就能够做到这一步的，需要过程和经历。而在这个时候通过相关数学史料的学习。

案例：

环节4：椭圆曲线之应用（通过传说了解椭圆的声学性质）

教师：你是否听过“杰尼西亚的耳朵”，你知道其中的奥秘么？

故事是：在很久以前的意大利西西里岛的一个山洞里关着叙拉古的囚犯，他们密谋逃跑多次都失败了，但又找不出内奸。他们没有放弃，转为仔细观察这个山洞，山洞形状比较古怪，洞壁能够把囚犯们讨论的内容反射到狱卒耳朵里去了。因为是杰尼西亚这个暴君下令关押他们的，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”。

学生经过讨论后回答：山洞内壁构成椭圆形状，囚犯和狱卒分别位于椭圆的两个焦点处，由椭圆的性质和声学原理，囚犯们发出的声音经过山洞内壁反射后，便会传到狱卒的耳朵里。

教师：其实，这仅为杰尼西亚的耳朵上半段传说，故事还有下半段。囚犯得知是狱卒偷听到他们谈话后，愤怒着要打狱卒，准备向上扔绳子打狱卒。当囚犯走到崖底大约需要40米。囚犯、狱卒、崖底大致在一条直线上，测得沿与该直线垂直的方向到达山洞内壁约需64米。你帮囚犯们计算一下用最短多长的绳子才能打到狱卒。

以囚犯、狱卒所在的直线为x轴，囚犯、狱卒连线段的中点为原点建系，

易得c=60

所以绳子最短要120米才能打到狱卒。

以上是借助椭圆的课堂教学，探究数学史、数学文化渗透的途径;当然在实际课堂教学中，一节课没有办法引用这么多史料知识，但每节的侧重不同，可以有选择性的进行融合渗透，数学史料是服务于教学内容的，一定要把握好度，根据教学内容适当融入，不能本末倒置。

参考文献：

[1]禄文夫.高中数学课教学中数学史内容的巧妙融入分析[J].新课程，2019（5）.

作者简介：陳月霜，福建省厦门市，厦门第二外国语学校。