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让思维再往前走一步

2020-06-26张绍华

小学教学研究 2020年6期
关键词:策略

张绍华

【摘要】在运用教材进行教学的过程中,笔者发现有一些练习题不容错过,值得深度开发,花上一节课的时间与学生们分享。这些题目是学生们数学学习中思维的难点、触发点和渗透点。用好这“一题”,以探究问题的策略为切入点进行教学设计,开发为“一课”,让一道题引领学生的思维再往前走一步。

【关键词】一题一课 探究问题 策略

一、课程开发的背景

自学习10以内加减法开始,学生就不断接触到这样的组题(下称“加减题组”):

在教师的引导下,学生们慢慢能够完整地表达出:第一个加的数是1,之后加的数比前一个大1,结果也一个比一个大1。后来只要学习了新的加减法计算(包括口算和笔算),从新授到练习再到复习,都会有机会接触这样的组题,但学生并没有机会深入体会到加减法中的这些“规律”。

仔细翻翻教材(本文以苏教版数学教材为例),类似的题目还真不少,下图是一年级上册总复习中的一道题(下称“复习题”),当时讲解了,人人会做,可是之后再遇到这样的问题或是稍有变式,很多学生便不知所措,也就是說,这道题的解答只给学生留下了答案,并没有给学生留下方法与智慧。

于是,笔者将类似的这些题目挑选出来,开发为一节课,以期望发挥其更大的价值,引领学生的思维再往前走一步。

二、“一题”的选择

教材中的练习题,其主要价值是知识的巩固与运用,适合开发为“一课”的题目毕竟是少数。那么如何将这些题目遴选出来呢?笔者主要从以下三个角度考虑:

1.学生思维的难点

“层次性”是练习题设计的基本特征之一,既然有层次性,那么总有习题成为一部分学生的学习难点。一年级的学生,解决问题的方式基本限于将所看到的条件进行运算,理解了一种排队问题了,但以后遇到排队问题的变式题,又无从下手了。所以虽然题目做过了,学生依然不懂不会,需要教师引导学生深入研究,真正获得解决问题的方法和策略。

2.学生思维的触发点

有些题目从知识的层面看并不难。例如四年级上册有一道思考题(下称“思考题”),按照教材的设计,学生只要画一画,观察比较,找到其中的规律即可。但如果我们将问题的呈现改一下:平面上有50个点 (任意3个点不在一条直线上) ,过其中两点画一条直线,最多可以画多少条直线?通过对这个问题的研究,可以触发学生对“解决复杂问题,可以从简单想起”这一探究问题策略的体会,而不仅仅只是做了一道题、发现一个规律。

有些题目的价值是多元的,如果能够找到它对高阶思维的触发点,当然不容错过。

3.学生思维的渗透点

根据“学习进阶”理论,学生对某一知识特别是核心的概念、知识以及实践的认知是一个不断发展、完善、加深的过程,并不是在某一节课或是阶段就能一步到位的。比如长方体、圆柱,从一年级开始就有了初步认识,到后面还要进一步认识其特征、会计算其表面积和体积。一年级上册有这样一题(下称“卷纸题”):同样一张长方形纸,可以卷出不同的柱体,然而它们的容积不同(如下图)。容积虽是六年级的内容,是否可以借此让一年级的学生体会一下呢?这样的渗透,会使学生有机会带着对相关知识的思考期待下一阶段的学习。

三、“一课”的开发

原本几分钟就解决的一道题,如何开发成一节课呢?结合现有的题目笔者尝试以“探究问题的策略”为切入点进行课程开发。下面简述几个片段,来谈谈笔者的设计思路与内容开发。

1.四年级上册“思考题”开发——从简单想起

老子语:“天下难事,必作于易;天下大事,必作于细。”当面对复杂的问题无从下手时,不妨从简单想起。

【案例】“从何想起”教学片段——一波三折 体会策略

初次尝试:不知从何想起

师:算一算,积的个位数字是几?

学生尝试解答,并提出自己的困难:100个3相乘,乘数太多,算不完;积越乘越大,计算难度越来越大;一旦有一个积算错,就全白算了,很难保证能得到正确答案……

二次尝试:尝试从“几个3”想起

师:面对这么多困难,这个问题到底该从何想起呢?谁能给点思路?

生(讨论):可以先算几个3相乘看看,有没有什么规律;题目只要求积的个位是几,所以每次乘的时候,只要算积的个位就可以了……

(通过尝试,学生发现规律,解决问题)

再次尝试:大胆从简单想起

师:如果把这里的3换成任意一个自然数,你都能得到答案吗?

生:能!

师:我题目还没出呢,你们哪来的底气就说能呢?

生:不管是100个几相乘,我们都可以先算几个,找到规律就能求出答案了!

【思考:100个3相乘,课程刚开始就把学生难住了,很多学生算了一会就没信心继续了。也有学生执着地算着,但也表示越算越难,还需要很多时间,一节课肯定算不完了。学生们被复杂的问题难倒了。当然也有学生不甘于此,想着另辟蹊径:先少算几个看看能不能有什么规律。这次尝试中,学生发现算到第5个3,积的个位开始重复出现了,算到第8个3,两组重复数出现了,据此规律,原来的难题便迎刃而解了。学生突然体会到,要解决复杂的问题,可以先从简单的角度思考。当教师提出“如果把这里的3换成任意一个自然数,你都能得到答案吗?”学生信心满满,因为他们有了“先从少数几个算起”的好方法。】

解决新问题:方法迁移

平面上有50个点 (任意3个点不在一条直线上),过其中两点画一条直线,最多可以画多少条直线?

【思考:既然100个3相乘可以从“几个3相乘”想起,那么过50个点画直线也可以从“过几个点画直线”想起。学生在方法迁移的过程中,体会到 “从简单想起”的策略。在应用策略解决问题的过程中,不仅感叹于“从简单想起”的奇妙,也体会到之所以从简单想起可以解决复杂问题,在于“规律”,从简单中寻求规律,再运用规律解决复杂的问题。】

2. 一年级上册“卷纸题”开发——猜想→验证

就数学方法论的研究而言, 就有两种不同的研究对象: 论证 (解决问题)的方法和猜测(发现问题)的方法。“猜想→验证”是我们探索新知常用的方法。

【案例】“谁装得红豆多”教学片段——“猜想→验证”之现场

现场一

当这两个圆柱放在学生们眼前,有的学生是凭感觉、通过观察猜的。但更多的学生是经历了思考的:

生1:一样多,因为一个高,但它瘦;一个矮,但它胖。就是抵消了。

生2:我也觉得一样多,但理由和她不一样,我觉得把那个胖胖矮矮的往上挤一挤,就和那个高高瘦瘦的一样了。

生3:它们都是用一样的纸卷出来的,肯定一样多。

……

【思考:是的,学生们的结论都是错的,可是他们的猜想是何等珍贵,生3的回答显然是在进行合情推理;“把那个胖胖矮矮的往上挤一挤”,这是等积变形的思想!当学生用她最稚嫩、朴素的语言触碰到数学的本质、核心时,难道这不是最美妙的时刻吗?现场实验结果,令大多数学生不得其解。他们初尝了一种滋味:即使已是理由充分,答案也许还是错的。恰恰是这样的滋味让学生们从对结果的期待与兴奋,转向静静地思考。】

现场二

当学生们目睹了两个圆柱的实验结果,再讨论两个长方体时:

依然有学生说一样多,但不少学生表示:应该是第一个长方体装得红豆多,因为我们刚才的那个实验,就是矮矮胖胖的圆柱装得多,所以我想,现在也应该是矮矮胖胖的长方体装得多。

【思考:学生们根据实验的结果对自己原先的判断进行审视和调整。他们重视实验的价值,并根据实验中的数据进行类比,这无疑又是一次理性思考的突破。】

现场三

师:这次你觉得哪个装得红豆多?

生1:应该一样多,它们一样高,也一样胖。

生2:我觉得长方体多一些,因为它多出四个角。

生3:我也觉得一样多,它们一样高,你们再看,把它们俩对在一起,长方体多出了四个角,正好补在缺的那个弯弯的地方。

……

【思考:现场实验结果再一次令多数学生大跌眼镜:明明一样高一样胖了呀?在这次猜想中,学生们明显更加谨慎、周到了。发言的学生还请求老师把两个图形对接在一起,然后指着图形对大家说:“你们再看,把它们俩对在一起,长方体多出了四个角,正好补在缺的那个弯弯的地方。”由此可以看出,学生有了更加理性的思考。】

现场四

学生们已经在以上两个环节中成功地进行了类比,但是当最后一次讨论,这两个图形(下图左)哪个装得红豆多时,他们都能从前一次实验(下图右)中得以类比,但还是呼吁:做实验!学生表示:我还是想看一下实验结果,才放心。

【思考:人们在科学探索中,何尝不是如此,即使已是“严谨”“周密”的推理,但结论未必正确。学生们似乎隐隐觉察到这一点。这本身就是一种理性的思考,一种科学的精神。】

3.一年级上册“复习题”开发——直观画图

苏教版数学教材中,“画图”的策略在四年级下册才正式亮相,其实一年级的学生就已经有“画图”需求了,因为学生的认知特征,他们更需要用直观的方式帮助自己理解问题、解决问题。

【案例】“调皮的‘1”教學片段

“1”躲躲闪闪——初试画图

第一题出来,有些学生无从下手:图上“我”的后面明明只有5个人呀?还有的学生知道结果是9人,可是面对题目中的算式,不知该写什么;全班有4个学生画了图。

于是教师展示了一个学生的图:

师:谁能看懂他的图?

生1:他用一个方框表示举旗的小朋友,用8个圆圈表示后面的8个小朋友。

生2:可是书上明明只有5个小朋友啊?

师:是啊,书上不是有图吗?画得又好看,为什么这个小朋友还要画图呢?

生1:他的图没有书上漂亮,但它很清楚。

生2:书上,有些小朋友被大树挡住了!而他画的图把8个小朋友都画出来了。

【思考:一个“清楚”道出了画图的价值:能够清楚地表达数量间的关系。学生们也意识到了数学中的画图与色彩、美观等非数学元素无关,关键是要帮助我们理解数量间的关系。也正因为这个学生的图,让躲躲闪闪的“1”慢慢清晰地展现在学生们眼前。】

“1”清清楚楚——亲近画图

第二题出来,这次,大部分学生都画了图:

师:这次,你们为什么都先画图呢?

生1:画图,就能把大树后面挡住的小朋友画出来了。

生2:画了图,我就能看出,这个小男孩前面应该有7个小朋友。

生3:大家看图,就知道一共8人,减去说话的这个小男孩,就是他前面的7个人了。

【思考:这个环节,已无须教师过多地干预,学生们自觉画图,体会到了画图的好处,并能够结合图,将算式中减去的“1”弄得清清楚楚。】

“1”无处可逃——迷恋画图

第三题亮出,学生们便开始埋头画图,只是这幅图画起来有些难度,学生们画画、数数,又想想再画画。

意想不到的事情发生了,学生们有多种解题方法:

方法一:4+1+7=12

方法二:5+8-1=12

方法三:4+8=12

方法四:5+7=12

并且对于每一种方法,学生们都能结合图,清楚地说出算式的意义。

【思考:这次,学生们算是迷恋上画图了,不仅是独立做题时在画图,列式时都在看图,特别是后面当小伙伴说出那么多种方法后,学生们都在仔细看图,试图从中找到算式的意义。当他们发现,每一个算式都能在图中获得合理的解释时,感觉画图真好!】

意犹未尽一:

当大家都在感叹画图的好处时,一个学生一盆凉水浇下来:我不需要画图,也能把这题做出来!

师:你是怎么想的?

生:“从前往后数,第5只是小鹿”,那我就能想象出来小鹿前面站了4只小动物,它又说“从后往前数,第8只是小鹿”,我就能想象出来小鹿后面站了7只动物,所以4+1+7=12(只)。

(一片掌声又一阵安静)

终于有一个学生说:我知道了,他是在脑子里画图的!

意犹未尽二:

下课了,又有一个小姑娘追过来:要是后面不是8人,是很多很多人,怎么办,画起来太麻烦了。教师回答说:这确实是个问题哦,你能不能想想办法。结果当天家庭作业,她就给予了回应(见下图)。

作业讲评时,笔者就问学生们:这样画图行吗?有什么好处?

学生:可以,她用数代替小圆圈,一样看得清楚,以后要是数大了,用这个方法特别好。

【思考:至此,学生们已爱上了画图,可以在头脑中画一画,也可以用笔画一画;可以用图形表示,也可以用数据表示。他们在思考着,如何用更简洁、更合理的方式理解和表达数量间的关系,从而顺利地解决问题。】

4. 一年级上册“加减题组”开发——多元表征

莱什认为:学生必须同时具备以下条件才是真正理解了一个数学概念。第一, 他必须能将所学数学概念放入不同的表征系统之中;第二, 在给定的表征系统内,他能够很好地处理这个概念;第三,他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统中,即在不同表征系统之间任意切换。因此多元表征可以促进学生对概念的理解。

【案例】 “加减法的秘密”教学片段

(1)多元表征,让学生再思考

8+2=                     8+4=                    8+7=

当学生顺利完成口算,并发现“一个加数是8,另一个加数越来越大,和也越来越大。”教师提出:“你能想办法表示出这个发现吗?可以讲一讲故事、摆一摆圆片,也可以画一画图。”

来看看学生们的表征,他们尽可能地调动了自己的所有经验:

讲故事——现实情景表征

公交车上原来有8人,上来了2人,这时有10人;如果原来还是有8人,但上来了4人,就是12人;还是原来有8人,上来了7人,一共就是15人。原来都是8人,上来的人越多,车上的总人数就越多。

摆圆片——实物操作表征

学生说出摆圆片的过程,并强调:每组都是8个圆片,哪组增加的圆片越多,那么这组的圆片总数就越多。

画图——图像表征

学生强调:每次都是8,加的数越大,和就越大,你们看,长方形都越来越长了!

符号表征

教师说:“我用‘——表示一个加数不变,用“↑”表示另一个加数越来越大,可以吗?那么和也越来越大,怎么表示呢?”学生表示可以,并说和越来越大也用向上的箭头表示。虽然不是学生主动选择的,但他们接受了这样的符号表征,因为他们在后来的交流中,也会用手势表达箭头方向,并在减法规律研究中,用“↓”表示越来越小。

【思考:对照莱什提出的数学概念外在表征的五种形式,每次学生都会说的“第一个加的数是1,第二个加的数比前一个大1,结果也一个比一个大1。”是口头语言表征。可如果每次学生都停留在口头语言表征层面,并不能代表也不能促进学生真正理解概念。“逼迫”他们调动已有经验,尝试多元表征,才能实现概念的真正理解。在上述环节中,我们看到,学生不仅能讲故事,还能指出:“原来都是8人,上车的人越多,车上的总人数就越多。”摆圆片时强调“每组都是8个圆片,哪组增加的圆片越多,那么这组的圆片总数就越多。”画图时强调“长方形都越来越长了!”不是流于形式的讲、摆、画,学生在表征时会积极处理这个概念。】

(2)表征转换,促进概念理解

当学生交流了自己讲的故事、摆的圆片后,教师指出:谁能把讲故事和摆圆片结合起来,指着圆片说说公交车上的故事呢?于是学生一边指着圆片,对应地讲着故事。

【思考:这是现实情景表征与实物操作表征的结合,也是转换。事实证明,这种转换能够让学生“更明白”。其实,之前学生摆圆片时强调的“每组都是8个圆片,哪组增加的圆片越多,那么这组的圆片总数就越多。”这句话更接近口头语言表征,学生已经在自觉地将其与实物操作表征进行转换了。在后面的环节中,学生进行图像表征时,也会自觉地将其与现实情景表征(讲故事)或口头语言表征(强调“每次都是8,加的数越大,和就越大,你们看,长方形都越来越长了!”)或是符号表征(用手势画箭头)等多种表征进行转换。】

在“一题一课”的课程实践中,笔者看得到学生们的成长。比如,当他們面临新难题时,虽然不能确定是否能解决问题,但一定会有信心进行各种尝试:从简单想起、画一画图或是举一些例子看看。在平时,只要遇到题组练习,就会忍不住多想一想:有什么特点、什么规律、为什么会有这样的规律…… “一题一课”的课程开发还在探索与实践的路上,这一路上,师生相伴一起感受着数学的魅力,分享着思考的快乐。

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