让思维再往前走一步

张绍华

【摘要】在运用教材进行教学的过程中，笔者发现有一些练习题不容错过，值得深度开发，花上一节课的时间与学生们分享。这些题目是学生们数学学习中思维的难点、触发点和渗透点。用好这“一题”，以探究问题的策略为切入点进行教学设计，开发为“一课”，让一道题引领学生的思维再往前走一步。

【关键词】一题一课 探究问题 策略

一、课程开发的背景

自学习10以内加减法开始，学生就不断接触到这样的组题（下称“加减题组”）：

在教师的引导下，学生们慢慢能够完整地表达出：第一个加的数是1，之后加的数比前一个大1，结果也一个比一个大1。后来只要学习了新的加减法计算（包括口算和笔算），从新授到练习再到复习，都会有机会接触这样的组题，但学生并没有机会深入体会到加减法中的这些“规律”。

仔细翻翻教材（本文以苏教版数学教材为例），类似的题目还真不少，下图是一年级上册总复习中的一道题（下称“复习题”），当时讲解了，人人会做，可是之后再遇到这样的问题或是稍有变式，很多学生便不知所措，也就是說，这道题的解答只给学生留下了答案，并没有给学生留下方法与智慧。

于是，笔者将类似的这些题目挑选出来，开发为一节课，以期望发挥其更大的价值，引领学生的思维再往前走一步。

二、“一题”的选择

教材中的练习题，其主要价值是知识的巩固与运用，适合开发为“一课”的题目毕竟是少数。那么如何将这些题目遴选出来呢？笔者主要从以下三个角度考虑：

1.学生思维的难点

“层次性”是练习题设计的基本特征之一，既然有层次性，那么总有习题成为一部分学生的学习难点。一年级的学生，解决问题的方式基本限于将所看到的条件进行运算，理解了一种排队问题了，但以后遇到排队问题的变式题，又无从下手了。所以虽然题目做过了，学生依然不懂不会，需要教师引导学生深入研究，真正获得解决问题的方法和策略。

2.学生思维的触发点

有些题目从知识的层面看并不难。例如四年级上册有一道思考题（下称“思考题”），按照教材的设计，学生只要画一画，观察比较，找到其中的规律即可。但如果我们将问题的呈现改一下：平面上有50个点 （任意3个点不在一条直线上） ，过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线？通过对这个问题的研究，可以触发学生对“解决复杂问题，可以从简单想起”这一探究问题策略的体会，而不仅仅只是做了一道题、发现一个规律。

有些题目的价值是多元的，如果能够找到它对高阶思维的触发点，当然不容错过。

3.学生思维的渗透点

根据“学习进阶”理论，学生对某一知识特别是核心的概念、知识以及实践的认知是一个不断发展、完善、加深的过程，并不是在某一节课或是阶段就能一步到位的。比如长方体、圆柱，从一年级开始就有了初步认识，到后面还要进一步认识其特征、会计算其表面积和体积。一年级上册有这样一题（下称“卷纸题”）：同样一张长方形纸，可以卷出不同的柱体，然而它们的容积不同（如下图）。容积虽是六年级的内容，是否可以借此让一年级的学生体会一下呢？这样的渗透，会使学生有机会带着对相关知识的思考期待下一阶段的学习。

三、“一课”的开发

原本几分钟就解决的一道题，如何开发成一节课呢？结合现有的题目笔者尝试以“探究问题的策略”为切入点进行课程开发。下面简述几个片段，来谈谈笔者的设计思路与内容开发。

1.四年级上册“思考题”开发——从简单想起

老子语：“天下难事，必作于易;天下大事，必作于细。”当面对复杂的问题无从下手时，不妨从简单想起。

【案例】“从何想起”教学片段——一波三折 体会策略

初次尝试：不知从何想起

师：算一算，积的个位数字是几？

学生尝试解答，并提出自己的困难：100个3相乘，乘数太多，算不完;积越乘越大，计算难度越来越大;一旦有一个积算错，就全白算了，很难保证能得到正确答案……

二次尝试：尝试从“几个3”想起

师：面对这么多困难，这个问题到底该从何想起呢？谁能给点思路？

生（讨论）：可以先算几个3相乘看看，有没有什么规律;题目只要求积的个位是几，所以每次乘的时候，只要算积的个位就可以了……

（通过尝试，学生发现规律，解决问题）

再次尝试：大胆从简单想起

师：如果把这里的3换成任意一个自然数，你都能得到答案吗？

生：能！

师：我题目还没出呢，你们哪来的底气就说能呢？

生：不管是100个几相乘，我们都可以先算几个，找到规律就能求出答案了！

【思考：100个3相乘，课程刚开始就把学生难住了，很多学生算了一会就没信心继续了。也有学生执着地算着，但也表示越算越难，还需要很多时间，一节课肯定算不完了。学生们被复杂的问题难倒了。当然也有学生不甘于此，想着另辟蹊径：先少算几个看看能不能有什么规律。这次尝试中，学生发现算到第5个3，积的个位开始重复出现了，算到第8个3，两组重复数出现了，据此规律，原来的难题便迎刃而解了。学生突然体会到，要解决复杂的问题，可以先从简单的角度思考。当教师提出“如果把这里的3换成任意一个自然数，你都能得到答案吗？”学生信心满满，因为他们有了“先从少数几个算起”的好方法。】

解决新问题：方法迁移

平面上有50个点 （任意3个点不在一条直线上），过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线？

【思考：既然100个3相乘可以从“几个3相乘”想起，那么过50个点画直线也可以从“过几个点画直线”想起。学生在方法迁移的过程中，体会到 “从简单想起”的策略。在应用策略解决问题的过程中，不仅感叹于“从简单想起”的奇妙，也体会到之所以从简单想起可以解决复杂问题，在于“规律”，从简单中寻求规律，再运用规律解决复杂的问题。】

2. 一年级上册“卷纸题”开发——猜想→验证

就数学方法论的研究而言， 就有两种不同的研究对象： 论证 （解决问题）的方法和猜测（发现问题）的方法。“猜想→验证”是我们探索新知常用的方法。

【案例】“谁装得红豆多”教学片段——“猜想→验证”之现场

现场一

当这两个圆柱放在学生们眼前，有的学生是凭感觉、通过观察猜的。但更多的学生是经历了思考的：

生1：一样多，因为一个高，但它瘦;一个矮，但它胖。就是抵消了。

生2：我也觉得一样多，但理由和她不一样，我觉得把那个胖胖矮矮的往上挤一挤，就和那个高高瘦瘦的一样了。

生3：它们都是用一样的纸卷出来的，肯定一样多。

……

【思考：是的，学生们的结论都是错的，可是他们的猜想是何等珍贵，生3的回答显然是在进行合情推理;“把那个胖胖矮矮的往上挤一挤”，这是等积变形的思想！当学生用她最稚嫩、朴素的语言触碰到数学的本质、核心时，难道这不是最美妙的时刻吗？现场实验结果，令大多数学生不得其解。他们初尝了一种滋味：即使已是理由充分，答案也许还是错的。恰恰是这样的滋味让学生们从对结果的期待与兴奋，转向静静地思考。】

现场二

当学生们目睹了两个圆柱的实验结果，再讨论两个长方体时：

依然有学生说一样多，但不少学生表示：应该是第一个长方体装得红豆多，因为我们刚才的那个实验，就是矮矮胖胖的圆柱装得多，所以我想，现在也应该是矮矮胖胖的长方体装得多。

【思考：学生们根据实验的结果对自己原先的判断进行审视和调整。他们重视实验的价值，并根据实验中的数据进行类比，这无疑又是一次理性思考的突破。】

现场三

师：这次你觉得哪个装得红豆多？

生1：应该一样多，它们一样高，也一样胖。

生2：我觉得长方体多一些，因为它多出四个角。

生3：我也觉得一样多，它们一样高，你们再看，把它们俩对在一起，长方体多出了四个角，正好补在缺的那个弯弯的地方。

……

【思考：现场实验结果再一次令多数学生大跌眼镜：明明一样高一样胖了呀？在这次猜想中，学生们明显更加谨慎、周到了。发言的学生还请求老师把两个图形对接在一起，然后指着图形对大家说：“你们再看，把它们俩对在一起，长方体多出了四个角，正好补在缺的那个弯弯的地方。”由此可以看出，学生有了更加理性的思考。】

现场四

学生们已经在以上两个环节中成功地进行了类比，但是当最后一次讨论，这两个图形（下图左）哪个装得红豆多时，他们都能从前一次实验（下图右）中得以类比，但还是呼吁：做实验！学生表示：我还是想看一下实验结果，才放心。

【思考：人们在科学探索中，何尝不是如此，即使已是“严谨”“周密”的推理，但结论未必正确。学生们似乎隐隐觉察到这一点。这本身就是一种理性的思考，一种科学的精神。】

3.一年级上册“复习题”开发——直观画图

苏教版数学教材中，“画图”的策略在四年级下册才正式亮相，其实一年级的学生就已经有“画图”需求了，因为学生的认知特征，他们更需要用直观的方式帮助自己理解问题、解决问题。

【案例】“调皮的‘1”教學片段

“1”躲躲闪闪——初试画图

第一题出来，有些学生无从下手：图上“我”的后面明明只有5个人呀？还有的学生知道结果是9人，可是面对题目中的算式，不知该写什么;全班有4个学生画了图。

于是教师展示了一个学生的图：

师：谁能看懂他的图？

生1：他用一个方框表示举旗的小朋友，用8个圆圈表示后面的8个小朋友。

生2：可是书上明明只有5个小朋友啊？

师：是啊，书上不是有图吗？画得又好看，为什么这个小朋友还要画图呢？

生1：他的图没有书上漂亮，但它很清楚。

生2：书上，有些小朋友被大树挡住了！而他画的图把8个小朋友都画出来了。

【思考：一个“清楚”道出了画图的价值：能够清楚地表达数量间的关系。学生们也意识到了数学中的画图与色彩、美观等非数学元素无关，关键是要帮助我们理解数量间的关系。也正因为这个学生的图，让躲躲闪闪的“1”慢慢清晰地展现在学生们眼前。】

“1”清清楚楚——亲近画图

第二题出来，这次，大部分学生都画了图：

师：这次，你们为什么都先画图呢？

生1：画图，就能把大树后面挡住的小朋友画出来了。

生2：画了图，我就能看出，这个小男孩前面应该有7个小朋友。

生3：大家看图，就知道一共8人，减去说话的这个小男孩，就是他前面的7个人了。

【思考：这个环节，已无须教师过多地干预，学生们自觉画图，体会到了画图的好处，并能够结合图，将算式中减去的“1”弄得清清楚楚。】

“1”无处可逃——迷恋画图

第三题亮出，学生们便开始埋头画图，只是这幅图画起来有些难度，学生们画画、数数，又想想再画画。

意想不到的事情发生了，学生们有多种解题方法：

方法一：4+1+7=12

方法二：5+8-1=12

方法三：4+8=12

方法四：5+7=12

并且对于每一种方法，学生们都能结合图，清楚地说出算式的意义。

【思考：这次，学生们算是迷恋上画图了，不仅是独立做题时在画图，列式时都在看图，特别是后面当小伙伴说出那么多种方法后，学生们都在仔细看图，试图从中找到算式的意义。当他们发现，每一个算式都能在图中获得合理的解释时，感觉画图真好！】

意犹未尽一：

当大家都在感叹画图的好处时，一个学生一盆凉水浇下来：我不需要画图，也能把这题做出来！

师：你是怎么想的？

生：“从前往后数，第5只是小鹿”，那我就能想象出来小鹿前面站了4只小动物，它又说“从后往前数，第8只是小鹿”，我就能想象出来小鹿后面站了7只动物，所以4+1+7=12（只）。

（一片掌声又一阵安静）

终于有一个学生说：我知道了，他是在脑子里画图的！

意犹未尽二：

下课了，又有一个小姑娘追过来：要是后面不是8人，是很多很多人，怎么办，画起来太麻烦了。教师回答说：这确实是个问题哦，你能不能想想办法。结果当天家庭作业，她就给予了回应（见下图）。

作业讲评时，笔者就问学生们：这样画图行吗？有什么好处？

学生：可以，她用数代替小圆圈，一样看得清楚，以后要是数大了，用这个方法特别好。

【思考：至此，学生们已爱上了画图，可以在头脑中画一画，也可以用笔画一画;可以用图形表示，也可以用数据表示。他们在思考着，如何用更简洁、更合理的方式理解和表达数量间的关系，从而顺利地解决问题。】

4. 一年级上册“加减题组”开发——多元表征

莱什认为：学生必须同时具备以下条件才是真正理解了一个数学概念。第一， 他必须能将所学数学概念放入不同的表征系统之中;第二， 在给定的表征系统内，他能够很好地处理这个概念;第三，他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统中，即在不同表征系统之间任意切换。因此多元表征可以促进学生对概念的理解。

【案例】 “加减法的秘密”教学片段

（1）多元表征，让学生再思考

8+2=                     8+4=                    8+7=

当学生顺利完成口算，并发现“一个加数是8，另一个加数越来越大，和也越来越大。”教师提出：“你能想办法表示出这个发现吗？可以讲一讲故事、摆一摆圆片，也可以画一画图。”

来看看学生们的表征，他们尽可能地调动了自己的所有经验：

讲故事——现实情景表征

公交车上原来有8人，上来了2人，这时有10人;如果原来还是有8人，但上来了4人，就是12人;还是原来有8人，上来了7人，一共就是15人。原来都是8人，上来的人越多，车上的总人数就越多。

摆圆片——实物操作表征

学生说出摆圆片的过程，并强调：每组都是8个圆片，哪组增加的圆片越多，那么这组的圆片总数就越多。

画图——图像表征

学生强调：每次都是8，加的数越大，和就越大，你们看，长方形都越来越长了！

符号表征

教师说：“我用‘——表示一个加数不变，用“↑”表示另一个加数越来越大，可以吗？那么和也越来越大，怎么表示呢？”学生表示可以，并说和越来越大也用向上的箭头表示。虽然不是学生主动选择的，但他们接受了这样的符号表征，因为他们在后来的交流中，也会用手势表达箭头方向，并在减法规律研究中，用“↓”表示越来越小。

【思考：对照莱什提出的数学概念外在表征的五种形式，每次学生都会说的“第一个加的数是1，第二个加的数比前一个大1，结果也一个比一个大1。”是口头语言表征。可如果每次学生都停留在口头语言表征层面，并不能代表也不能促进学生真正理解概念。“逼迫”他们调动已有经验，尝试多元表征，才能实现概念的真正理解。在上述环节中，我们看到，学生不仅能讲故事，还能指出：“原来都是8人，上车的人越多，车上的总人数就越多。”摆圆片时强调“每组都是8个圆片，哪组增加的圆片越多，那么这组的圆片总数就越多。”画图时强调“长方形都越来越长了！”不是流于形式的讲、摆、画，学生在表征时会积极处理这个概念。】

（2）表征转换，促进概念理解

当学生交流了自己讲的故事、摆的圆片后，教师指出：谁能把讲故事和摆圆片结合起来，指着圆片说说公交车上的故事呢？于是学生一边指着圆片，对应地讲着故事。

【思考：这是现实情景表征与实物操作表征的结合，也是转换。事实证明，这种转换能够让学生“更明白”。其实，之前学生摆圆片时强调的“每组都是8个圆片，哪组增加的圆片越多，那么这组的圆片总数就越多。”这句话更接近口头语言表征，学生已经在自觉地将其与实物操作表征进行转换了。在后面的环节中，学生进行图像表征时，也会自觉地将其与现实情景表征（讲故事）或口头语言表征（强调“每次都是8，加的数越大，和就越大，你们看，长方形都越来越长了！”）或是符号表征（用手势画箭头）等多种表征进行转换。】

在“一题一课”的课程实践中，笔者看得到学生们的成长。比如，当他們面临新难题时，虽然不能确定是否能解决问题，但一定会有信心进行各种尝试：从简单想起、画一画图或是举一些例子看看。在平时，只要遇到题组练习，就会忍不住多想一想：有什么特点、什么规律、为什么会有这样的规律…… “一题一课”的课程开发还在探索与实践的路上，这一路上，师生相伴一起感受着数学的魅力，分享着思考的快乐。