数学与GeoGebra的美丽邂逅

范玉香

随着科学技术的迅猛发展和5G（第五代移动通信技术）时代的来临，科技和互联网已经改变了我们的生活和学习方式。一支笔、一块黑板、一个PPT已经不能满足现代学生对知识渴望的要求。在与时俱进的时代，根据数学新课程标准，我们不但要提升学生的综合素质，发展核心素养，还要注重培养学生的科学文化素养和终身学习的能力。同时，新课程标准对数学学科提出了六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数学分析。怎样落实培养目标、怎样在数学课堂上培养学生的数学核心素养，成为现代数学教学的研究方向。

在过去的数学课堂上，许多重要的数学概念教学不曾被一些老师重视，对概念、定理的教学是采用“直接告诉法”，为了追求分数，一些老师把更多的时间和精力放在题海中，殊不知，没有理解概念基础上的数学学习，在高考中也是难以取胜的，学生的数学素养是难以形成的。一些老师对概念教学的忽视，还有另外一个原因，那就是数学概念教学很难开展，高度抽象的数学概念像立在老师和学生面前的一座大山，想跨越过去，不是那么容易。现在，想要翻越这座“大山”，现代教育技术可以为老师和学生实现这个“梦想”。本文以电脑版GeoGebra Classic 5.0软件为例，探索动态教学在数学概念教学中的应用。

一、GeoGebra简介

GeoGebra是2001年由Markus Hohenwarter在萨尔茨堡大学做硕士论文时开创的软件。GeoGebra是一款开源（Open-source）、免费的数学软件，它具有功能多、易上手、好用、省钱省时省力等特点;它有电脑版、手机版和网页版，满足了各种需求。几何是Geometry，代数是Algebra，GeoGebra刚好是两者的组合，实际上，GeoGebra不仅是一款结合了几何和代数的数学软件，还是一款结合了微积分、数据表、图形，统计和计算的多功能软件，在数学、物理、地理都有广发应用。鉴于Geogebra的强大功能和明显的优势，它将会给我们的数学课堂带来更多样的教学方式和学习方式，它应该成为老师教学、学生学习的好伴侣。

二、GeoGebra是一款易操作的软件

说GeoGebra易上手、好用，那是因为它操作方便，三年级的小学生也可以很容易学会它的基本操作。图1和图2是我家三年级的小朋友第一次用GeoGebra设计的手绘万花筒。主要步骤只有两步，如图3，然后，进行属性设置，再拉动手绘图就可以得到不同的花形。小朋友都会觉得很好玩、有趣。

三、GeoGebra在函数概念中的应用

从初中到高一，数学学科成为了大部分学生学习上的一大难题。高度抽象的函数概念让很多同学一头雾水。利用GeoGebra的输入栏，我们可以很方便地得到想要的函数图象，在教学上的，这种形象具体的呈现，能有效帮助学生理解函数概念是两个变量之间的对应关系这一特点。周期性，是三角函数中的一个重要性质，利用GeoGebra的输入栏，直接得到y=sinx的函数图象，利用滑动条，可以观察一个周期内的函数图象与下一周期图象重合，从而让学生达到理解周期性的概念（如图4、图5）。另外，利用GeoGebra还可以很容易做出其他周期函数图象，让学生领悟到，周期性并不是三角函数的“专利”（如图5），让学生走出“只有三角函数才有周期性”的误区。

四、GeoGebra在导数概念中的应用

导数是微积分的核心概念之一。教材（人教A版选修2-2第一章）通过气球膨胀率和高台跳水两个具体的例子，从平均变化率过渡到瞬时变化率，利用形象直观的“逼近”方法得到导数概念，利用GeoGebra的动态效果（如图6，图7），在函数图象上任意取两点A、B，当点B不断“逼近”点A时，割线BA的斜率就会越来越接近在点A处的切线的斜率，让学生经历导数概念从“静”到“动”的学习过程，帮助学生对导数概念的理解。

五、GeoGebra在圆锥曲线概念中的应用

圆锥曲线的形成，从“形”上得到，可以用一个平面去截圆锥（如图8），当平面与圆锥轴的夹角不同时，我们就得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。图8是人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程的章头图，在看到这幅章头图的时候，我第一个想法是，把这个动态过程呈现给学生，让数学教材也可以“动”起来。这样的想法，在GeoGebra里很容易就可以实现（如图9、图10），在拖动滑动条β的时候，就可以呈现截口曲线的变化。

圆锥曲线的形成可以由平面截圆锥而成，这是从“形”上体现圆锥曲线的特征，那么怎么从“数”这一方面得到圆锥曲线呢？Geogebra在这方面也体现了它特有的优势。首先，设置滑动条a，区间可以设置为[-5，5]，然后在输入栏输入，拉动滑动条，就可以得到椭圆，再设置输入框，在输入框中把“+”号，分别改为“-”“*”“/”号，拉动滑动条就可以得到：到两定点的距离之和（差、积、商）为定值的点的轨迹。在高中教材中，只涉及到平面内，到两定点的距离之和（差）为定值的点的轨迹，对于平面内，到两定点的距离之商（积）为定值的点的轨迹并没有描述;我们知道，到两定点的距离之商为定值的点的轨迹（即阿波罗尼斯圆）又经常隐藏在考题中。那么，到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是什么呢（如图11、图12）？这里可以引起学生的求知欲，进而引导学生进行课外探索。在GeoGebra中，通过拖动滑动条可以探索常数a的变化对曲线的影響，从而引起学生探索的兴趣。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。”特别在数学概念的教学中，利用GeoGebra强大的数形结合特点，使高度抽象的概念化身为相对具体的、可视的图象表征，体现了数形结合的思想的优势，帮助学生加深对数学概念的理解，构建良好的知识结构体系。利用GeoGebra的优异特征，帮助学生理解高中数学概念，可以达到形象、生动、有趣、高效的教学效果，进而引导学生进行课外探索，对落实核心素养发挥了一定作用。意大利著名儿童教育家蒙台梭利说过：“我听过了，我就忘了;我看见了，我就记得了;我做过了，我就理解了。”虽然，这句话主要是对儿童的教育而说的，但对正在学习的每一位学生来说，何尝不是这样呢？

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张志勇.基于GEOGEBRA的数学实验与可视化教学[M].长春：东北师范大学出版社，2018.