“度”与“渡”：基于小初衔接的小学数学教学

摘要：缺乏小初衔接的小学数学教学会导致学生升入初中后数学学习脱节。在小学数学教学中把握“度”与“渡”的策略是：找到知识的生长点，看到知识迈向初中的发展点，在高年级阶段适当延伸教学内容，有意识地用小初衔接的“中间地带”教法，帮助学生“渡”向远方，接驳小学与中学。

关键词：小初衔接;“度”与“渡”;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）05B-0043 -04

在新课程背景下，如何立足小学，远眺初中，做好小初衔接呢？

在小学数学的教学过程中，教师该把握好教学的“度”，找到当下知识的生长点，看到知识的发展点，在高年级阶段适当延伸教学内容，拓展学生的数学思维，为初中的数学学习搭桥铺路。同时，教师还应该把握好教学方法的“渡”，注重形象思维向抽象思维的过渡训练。高年级阶段，教师应在“算术与代数”“常量与变量”“算术解法与方程解法”几个思维转折点上多花些气力，有意识地用小初衔接的“中间地带”教法，帮助学生“渡”向远方，接驳小学与中学。

下面就以“数与代数”的内容为例加以阐述。

一、用字母表示数：从“数量”的理解过渡到对“关系”的探讨

笔者访问初中数学教师得知，很多初一的学生对于含有字母的式子理解不够到位，只要式子中有字母，做题的正确率就不高。从用字母表示数过渡到一般抽象的含有字母的代数式，是认知上的一个大飞跃，很多刚升入初一的学生适应不了这样的思维转化。

反观小学课本，以苏教版教材为例，五年级上册“用字母表示数”单元安排了7道例题，分别列举了用字母表示数和用字母表示式的问题模型。在整个单元学习内容中，包括了含有字母的式子以及代入计算和化简形如ax+bx的式子。从小初衔接的角度看，在小学教学“用字母表示数”可按这样递进的脉络进行教学：

（一）把握教学的“度”：用字母可以表示数

1.用字母表示任意的数

教学时，教师可以列举四则混合运算中的运算律，如加法交换律：a+b= b+a，乘法结合律：ax bx c=ax（bxc），通过举例让学生感知：这里的字母a、b、c不管表示什么数，仍然符合运算律。用字母来表示运算律显得简洁明了，体现了用字母表示数的价值[1]。两个例子让学生体会到：字母可以表示任意的数。

2.用字母表示不确定的数

用字母真的可以表示任意的数吗？

教师借鉴俞正强教师的教学，用一个信封，若干支粉笔为教具，先让学生看见教师在信封里放了多少支粉笔，所以可以用确定的数字来表示，比如1、2、3等，再让学生看不见教师在信封里放了多少支粉笔，因为不确定信封里粉笔的数量，所以只能用字母来表示这个不确定的数，比如字母a、b、c等。因为信封的容量有限，里面所装粉笔的数量也是有限的，它一定大于0，同时又会小于信封的最大容量。简单的教具，不简单的教学方法，帮助学生理解：可以用字母表示不确定的数，且这个数有一定的取值范围。进退有度，避免机械，为初中学习做铺垫。

（二）指向衔接的“渡”：突出“关系”，强调“运算”

1.用含有字母的式子表示数量关系

首先，我们可以跟学生一起梳理出常见的数量关系式，如S=vt表示路程、时间和速度之间的关系，C=4a表示正方形的周长，S=a2表示正方形的面积等;再结合具体的实际问题得到一些数量关系，如书本例题2：甲乙两地之间的公路长280千米，已经行驶了b千米，还剩下（ 280-b）千米。当学生理解了含有字母的式子所表示的数量关系后，教师需要让学生明白：字母每取一个值，含有字母的式子就有唯一确定的值。这样的教学让学生感悟到：含有字母的式子表示的数量关系可以表示事物间的普遍联系，突出“关系”。

2.用字母表示数参与运算

本单元教学要让学生明白可以用字母来表示特定的未知数，虽然不知道x是多少，但是却可以参与运算，强调运算。举一个生活中的例子：已知一本练习本10元，但是一个文具盒的单价不知道，可以用字母x表示，买了这两样文具一共花了40元。那么就可以写出式子：lO+x=40。算出x=30，文具盒是30元。

我们还可以在课堂中进行适当拓展：

（1）若a+b=6，求a+b+c=____

（2）若a+b=c.a+b+c=500 c=____

（3）-个等腰三角形如图1所示。若等腰三角形周长为24，则a=

有了这样的训练，学生就能明白把未知的数看成x，且可以看成已知的数参与运算，强调“运算”。

在进行“用字母表示数”单元教学时，这样四层递进脉络的教学安排不显突兀，为初中学习代数式做了知识和思想观念上的铺垫。

二、负数：从“了解负数”过渡到“理解负数”

人教版数学教材七年级上册第一单元“有理数”单元的目标是：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数;能借助数轴理解相反数和绝对值的意义。小学里对负数的总体教学要求定位为“了解”，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。

对比两个学段的教学目标。小学阶段，我们该如何把握好教材的“度”，如何设计好教学方法的“渡”，才能让学生从“了解负数”顺利过渡到“理解负数”呢？

（一）把握教学的“度”：夯实基础，深度理解概念中的两个关键点

1.负数和正数的根本属性是表示意义相反的量

“意义相反—可分為两类：一类是自然意义上的相反，比如收入与支出、盈利与亏损等;一类是人为规定的相反，比如零上温度与零下温度，海平面之上和海平面之下等[2]。很多版本的教材都是以温度计来引入负数的，然后归纳总结：“正数和负数是一组意义相反的量。”

就学生而言，他们更容易理解基于生活经验的自然意义的相反量。他们能理解收入100元，又支出100元，一收一支相互抵消了。玩游戏中，赢了3局，又输了3局，一赢一输相互抵消了。在教学中，我们需要补充一些生活中的例子，让学生真正理解正数和负数是一对意义相反的量。

2.正确认识0所蕴含的“基准”意义

我们来看一道初一的数学题：

如图2，A、B、C、D四个点在一条没有标明原点的数轴上。

（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为____;

（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为____;

（3）若点A和点D表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点0的位置。

这道题考测的是学生对于“0”的分界点是否能灵活变通。反观小学教材，关于0的分界点，书中是这么告知的：“通常，我们规定海平面的平均高度为0米。”这样的告知学生真的能理解分界点的意义吗？

我们是否可以进行这样的拓展：

（1）想一想，小花的身高是130厘米，可以表示为一1厘米吗？

（2）如果把“基准”定为135厘米，小花的身高可以表示为多少厘米？

（3）如果把小花的身高表示为+4厘米，你能想到什么？

（4）同样是小花的身高，为什么有多种不同的表示方式？

围绕小花身高这一问题情境，教师通过拓展，旨在让学生明白：正数和负数的分界点不一定都是0。有些时候，“基准”是人为规定的，“基准”不同，同一个对象所表示的方式也不同。这样的教学虽有些拔高，但还是可以实现的，其目标是指向初中的学习，实现小初无缝对接。

（二）指向衔接的“渡”：拓展外延，为学习有理数运算积累经验

笔者和初中教师交流得知，有些初一的学生不知道负分数、负小数等基本概念，有些学生对于负数的绝对值理解较为困难。由此反推小学教学，在“负数”单元的学习中，教师应该充分利用数轴，把生活中的负数上升为纯数学的理性表征，既帮助学生在小学阶段的轨道里冲刺跑，又适当衔接初中的学习。

在“负数”单元中，例题4第一次出现数轴。

例题4

教师可以让学生先在数轴上找到2和一2，引导学生发现：2和-2到0点的距离一样长，一2和2是一对相反意义的数，然后，在數轴上找出更多表示意义相反的数，按照整数一小数一分数这样的思路拓展延伸，让学生知晓负分数、负小数这样的数学概念。最后教师让学生思考：-a 一定是负数吗？借助数轴，数形结合，打破思维定式。

在单元练习中第二次出现数轴时，教学应该往 纵深处推进。 教师可以让学生先想一想：4和-4哪个数更接近0？再观察小青蛙在数轴上的运动轨迹：一只小青蛙从0开始，先跳到一2，再跳到-4，一共跳了几格？有什么发现？教师启发学生思考：在数轴上找到一个点，它到0点的距离是3，可能是哪个数？借助数轴，不断拓展负数的外延，初步渗透绝对值相等概念和分类讨论的方法，为初中学习有理数运算积累经验[3]。

三、方程：从“算术思维”过渡到“代数思维”

教过大循环的教师都知道，小学生在学习方程时会出现的普遍问题：①不喜欢用方程来解决问题;②不知道设谁为未知数;③列出80+40=x这样的方程。这些问题教师不能通过简单的口头纠错来解决，必须深入分析，弄清楚学生为什么出现这些问题，再设计合理的教学过程让学生体验。学生在体验中获得理解，为升入初中后继续学习方程做好铺垫与衔接。

（一）把握教学的“度”：深度辨析易混淆的知识点

1.等式与算式

等号赋有多重意义，可以表示为经过具体运算后依次得到的结果，如：8x （4+2）=8×6=48，“=”表示结果是48;也可以表示为左右双方的等价性[4]，如书本例题1中根据天平得到的x+50=150，2x=200这两个等式，“=”表示天平的左右两边质量相等。因此，算式表示的是一个结果，而等式表示的是两个量之间的相等关系，须有一个等量，也用“=”连接。

2.等量关系与数量关系

教学中教师可以枚举学生熟悉的“行程问题”题型来帮助学生辨析“数量关系”和“等量关系”的区别。题目1：“从甲地到乙地，货车每小时行60千米，4小时行完。甲乙两地相距多少千米？”解决这类问题时，我们可以根据“速度×时间=路程”这个数量关系式来解答。同时，由于数量关系中的三个量是互逆的，还可以得到“路程÷速度=时间”和“路程÷时间=速度”另两道数量关系式。题目2：“从甲地到乙地，货车每小时行60千米，4小时行完。客车每小时行80千米，3小时行完。甲乙两地相距多少千米？我们分析题意可知，两辆车的速度和行驶时间都不同，但走的都是同一段路，“路程”一定，它是客车和货车之间的一个等量，可以得到“货车速度×货车时间=客车速度×客车时间”这个等量关系式，由此让学生感悟：数量关系是可以互逆的，而等量关系表示两个量相等[5]。

（二）指向衔接的“渡”：根据等量关系列方程解决实际问题

1.找准等量关系，列出正确的方程

只有正确厘清了“等量关系”和“数量关系”，才能在解决实际问题时列出正确的方程。在教学中，教师需要让学生经历寻找实际问题中数量之间的相等关系一列出方程—解答方程这样一个学习过程[6]。其中，寻找“等量关系”应该是课堂中的重点环节。“简易方程”单元只列举了四类不同的问题情境，教师还需要补充其他的问题模型，比如“行程问题”“工程问题”“销售问题”等。每一种题型都要求学生“先找到等量关系，再列出方程解答”。 在小学阶段，多花些气力在寻找“等量关系”上，将来升入初中后，遇到复杂的实际问题，学生才能读懂题目中的关键字词，找准等量关系，列出正确的方程。

2.择优比较，体会方程核心价值

在小学教科书中，题目之间的数量关系比较简单，用算术方法都能求解，所以学生都不会主动选择方程。在教学时教师可以用变式题组的方式来进行教学，让学生体会到单有“算术”方法不够，唯有“算术+方程”组合才能行天下，为升入初中后学生主动用方程求解做好学习方法上的铺垫。

教师先出示题目1：“小明今年14岁，妈妈的年龄比小明年龄的3倍还少2岁，妈妈多少岁？”学生会不约而同地选择算术解法。教师再出示题目2：“小明今年14岁，比妹妹年龄的2倍还少2岁，妹妹多少岁？”此时，学生可能会出现三种不同的解法。（14-2）÷2=6（岁），14÷2-2=5（岁），（14+2）÷2=8（岁）。通过讨论分析，学生会发现这道题目需要画出线段图进行逆向思考，用算术方法解答很容易错，如果用方程解会方便很多。教师继续出示题目3：“小明爸爸现在的年龄是他30年前年龄的3倍，爸爸多少岁？”学生会不约而同地选择用方程解。学生会发现，只要把题目中爸爸现在的年龄设为x，然后顺着题意思考，就能找到题目中的等量关系，用方程解很方便。最后教师指出：算术方法是逆向思维，适合解答一部分题目;而方程方法是顺向思维，适合解答更多复杂的题目，就像初中教材所说：“从算术到方程是数学的进步。”

小学数学从做题意义上讲很简单，但从奠基意义上讲却很不简单。小学数学教师需要“胸怀九年”，拥有教小学、想初中的意识，了解学生学习的知识基础，准确定位当下教学的“度”;同时，还需要“登高眺远”，知晓学生学习的下一站，做好知识和方法的铺垫，将学生“渡”向远方，实现小初无缝对接。

参考文献：

[1][2]张奠宙.小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：29，66.

[3]斯苗儿.找准起点，基于学生的经验展开教学[J].小学数学教育，2015（5）：27.

[4]郑毓信.算术与代数的区别与联系[J].小学教学研究，2011（19）：13.

[5]俞正强.种子课2.0-如何教对数学课[M].北京：教育科学出版社，2020：3.

[6]贲友林，基于模型思想的教材编写与教学实施[J].教育视界，2016（2）：12.

责任编辑：石萍

作者简介：葛善勤，南通市城中小学（江苏南通，226001）教师。