一类带有阶段结构的动力学模型的稳定性分析

徐娟

一类带有阶段结构的动力学模型的稳定性分析

徐娟

（扬州工业职业技术学院 基础科学部，江苏 扬州 225000）

构造一类具有阶段结构的动力学模型，讨论了该模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，分析了2类平衡点的局部和全局的稳定性态．利用Matlab软件进行数值模拟，验证了理论研究的结论．建议对晚期患者采取隔离以减小阈值，控制疾病的流行和发展．

传染病；动力学模型；稳定性

在生物数学领域，用动力学的方法研究传染病模型是当今学术的热点问题[1-2]．传染病的发病机制较为复杂，疾病的特征和传播途径亦有所不同，为了更好地描述疾病的流行规律，研究者常常把具有常数输入率[3-5]、垂直传染率[6]、指数出生和死亡[7-8]、一般的种群增长方程[9]、媒体影响[10-14]和接种疫苗[15-17]等因素引入模型，使得模型更加符合疾病流行的特点，这类文献大都有了较明确的结论．另外，一些传染病的发生和传播具有阶段性特征，如白喉和梅毒等疾病只在成年群体中发生[18-20]，手足口病和水痘等病毒只在幼年群体间传播[21-22]，而乙型肝炎这类疾病在不同时期会表现出不同程度的传染性[23-24]．文献[25]假设易感者感染病毒后以一定比例成为轻症患者和重症患者，未经有效治疗的部分轻症患者会发展成为重症患者，治愈后的患者将再次成为易感者，且该传染病不会致命，建立了模型

1 模型的建立

具体的模型为

同时系统（2）有极限系统

2　模型的定性分析

2.1　基本再生数

2.2　平衡点的存在性

2.3　平衡点的局部稳定性

2.4　平衡点的全局稳定性

2.5　施加控制

3 数值模拟

图1 时的数值模拟

图2 时的数值模拟

4　结语

[1] 木村资生．群体遗传学的数学理论[M]．上海：上海科学技术出版社，1962

[2] 孙兰荪，孟新柱，焦建军．生物动力学[M]．北京：科学出版社，2009

[3] 杨亚莉，李健全．一类病毒自身发生变异的传染病模型的全局分析[J]．生物数学学报，2008，23（2）：101-106

[4] 王娟，杨金根，李文生．具有治疗的急慢性传染病模型的稳定性与分支[J]．信阳师范学院学报，2008，21（4）：491-493

[5] 杨亚莉，李健全，张吉广．一类带有接种的传染病模型的全局分析[J]．西北大学学报，2009，39（5）：729-731

[6] 邹琴，高淑京．一类具有垂直传染的SIS传染病模型的全局分析[J]．赣南师范学院学报，2009（3）：14-16

[8] 申素慧，原三领．一类总人数变化的SEIR和SEIS组合的传染病模型[J]．上海理工大学学报，2009，31（3）：223-228

[9] 李益群，任谨慎，李健全．一类带有一般出生率的SIS传染病模型的全局分析[J]．数学实践与认识，2009，39（23）：176-181

[10] 郭树敏，李学志．考虑心理因素和饱和治疗的H7N9禽流感动力学模型分析[J]．数学实践与认识，2018，48（6）：170-175

[11] 张培钰，刘茂省．随机噪音和媒体报道影响的传染病模型分析[J]．数学实践与认识，2018，48（6）：186-194

[12] 常玉婷，刘茂省．带有媒体影响上限的传染病模型研究[J]．数学的实践与认识，2016，46（11）：218-224

[13] 邢伟，高晋芳．一类受媒体报道影响的SEIS传染病模型的定性分析[J]．西北大学学报，2018，48（5）：639-643

[14] 刘俊利，刘璐菊．具有媒体报道的传染病模型稳定性[J]．河南科技大学学报，2016，37（2）：88-91

[15] 李一鸣，刘红．一类具有两次接种的时滞SVIR传染病模型[J]．数学的实践与认识，2020，50（2）：307-312

[16] 刘娜，方洁．一类带有脉冲疫苗接种的分数阶SIS传染病模型的稳定性分析[J]．数学的实践与认识，2019，49（3）：254-259

[17] 王来全，魏成花．一类对易感人群实施脉冲接种的传染病模型的稳定性[J]．数学的实践与认识，2018，48（2）：125-131

[18] JIA J W，LI Q Y．Qualitative analysis of an SIR epidemic model with stage structure[J]．Applied Mathematics& Computation，2007，193（1）：106-115

[19] WU C F，WENG P X．Stability analysis of a SIS model with stage structured and distributed maturation delay[J]．Nonlinear Analysis：Theory Methods & Application，2009，71（12）：892-901

[20] TENG Z D，NIE L F，XU J B．Dynamical behaviors of a discrete SIS epidemic model with standard incidence and stage structure[J]．Advances in Difference Equations，2013（1）：1-23

[21] LIU L，LI X，ZHUANG K．Bifurcation analysis on a delayed SIS epidemic model with stage structure[J]．Electronic Journal of Differential Equations，2007（77）：249-266

[22] XIAO Y N， CHEN L S．An SIS epidemic model with stage structure and a delay[J]．Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2002，18（4）：607-618

[23] 原存德，胡宝安．具有阶段结构的SI传染病模型[J]．应用数学学报，2002，25（2）：192-203

[24] 辛京奇，王文娟．一类具有阶段结构和接种的SIR传染病模型[J]．数学的实践与认识，2009，39（12）：103-108

[25] 王伟，李健全，杨亚莉，等．一类带有阶段结构的传染病模型的定性分析[J]．空军工程大学学报，2008，9（1）：86-88

Stability analysis of a dynamic model with stage structure

XU Juan

（Department of Basic Science，Yangzhou Vocational and Technical College，Yangzhou 225000，China）

A dynamic model with stage structure is constructed，the existence of disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point of the model is discussed，the local and global stability state of the two kinds of equilibrium points is analyzed．The conclusion of theoretical study is verified by numerical simulation with Matlab software．It is suggested that the isolation measures should be adopted to reduce the threshold value for patients with advanced stage and control the epidemic and development of the disease．

infectious disease；dynamic model；stability

O175.13∶Q-332

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.04.003

1007-9831（2020）04-0011-05

2019-12-19

徐娟（1982-），女，江苏扬州人，讲师，硕士，从事应用数学研究．E-mail：76027094@qq.com